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中级微观经济学复习题


四、计算题 1. 一个垄断者在一个工厂中生产产品而在两个市场上销售,他的成本曲线和两 2 个市场的需求曲线方程分别为: = Q1+Q2)+10 Q1+Q2) Q1=32-0.4P1; 2=18-0.1P2 TC ( ( ; Q (TC:总成本,Q1,Q2:在市场 1,2 的销售量,P1,P2:试场 1,2 的价格) ,求: (1)厂商可以在两市场之间实行差别价格,计算在利润最大化

水平上每个试场 上的价格,销售量,以及他所获得的总利润量 R。 答案:Q1=8, Q2=7, P1=60, P2=110,利润为 875。 (2)如果禁止差别价格,即厂商必须在两市场上以相同价格销售。计算在利润 最大化水平上每个市场上的价格,销售量,以及他所获得的总利润 R。 答案:P=70, Q1=4, Q2=11, 利润为 675。 2.某垄断厂商在两个市场上出售其产品,两个市场的需求曲线分别为:市场 1:

q1 ? a1 ? b1 p1 ;市场 2: q2 ? a2 ? b2 p2 。这里的 q1 和 q 2 分别是两个市场上的 销售量, p1 和 p 2 分别是两个市场上索要的价格。该垄断企业的边际成本为零。
注意, 尽管垄断厂商可以在两个市场上制定不同的价格,但在同一市场上只能以 同一价格出售产品。 (1) 参数 a1 、 b1 、 a 2 、 b2 在什么条件下,该垄断厂商将 不选择价格歧视? 答案:

a1 a2 ? b1 b2
? bi

(2) 现在假定市场需求函数为 qi ? Ai pi (i=1,2) ,同时假定该垄断厂商 的边际成本 MC ? 0 且不变。那么,在什么条件下该垄断厂商的最优选择 不是价格歧视? 答案: b1 ? b2 3. 某竞争行业所有厂商的规模都相等,都是在产量达到 500 单位时达到长期 平均成本的最低点 4 元, 当用最优的企业规模生产 600 单位产量时,每一个企业 的短期平均成本为 4.5 元,市场需求函数为 Q=70000-5000P ,供给函数为 Q=40000+2500P,求解下列问题: (1)市场均衡价格是多少?该行业处于短期均衡还是长期均衡? 由均衡条件知:70000-5000P=40000+2500P 解得:P=4,Q=50000 均衡价格与长期平均成本的最低点相等,故处于长期均衡。 答案:4 元,处于长期均衡。 (2)当处于长期均衡时,该行业有多少厂商? n=50000/500=100 答案:100 家 (3)如果市场需求变化为 Q=100000-5000P,求行业与厂商新的短期均衡价格与 产量,在新的均衡点,厂商盈利还是亏损? 由均衡条件知:100000-5000P=40000+2500P 得均衡价格 P=8 元,Q=60000 每个厂商 q=60000/100=600

1

此时厂商的短期平均成本为 4.5 元,所以厂商盈利(8>4.5)。 答案:8 元,产量为 600 单位,盈利。 4.某消费者的效用函数有 U=XY4,他会把收入的多少用于商品 Y 上? 假设商品 X 的价格为 Px,商品 Y 的价格为 Py,收入为 M。 ?U ?U 由 U=xy4 得: ? 4 xy 3 。他对 x 和 y 的最佳购买的条件是, ? y4 , ?y ?x 4 3 y 4 xy MUx/Px=MUy/Py 即为: ? Px Py 变形得, Px · x ? 把 Px · x ?
1 Py · y 4

1 Py · y 代入预算方程 Px·x+Py·y=M 4

1 Py · y ? Py · y ? M 4 4 Py · y ? M 5

这就是说,他收入中有 答案:4/5 的收入

4 用于购买商品 Y。 5

5.已知某垄断者的成本函数为 TC=0.5Q2+10Q 产品的需求函数为 P=90-0.5Q, 计算 利润为极大的产量,利润和价格。 TC=0.5Q2+10Q, 对 TC 求导,得 MC=Q+10; AR=P=90-0.5Q,则 TR=AR*Q=90Q-0.5Q2 对 TR 求导,得 MR=90-Q; 令 MC=MR,得 Q=40, 进而 P=70,L=1600 答案:产量为 40,价格为 70,利润为 1600 6.已知某完全竞争的成本不变行业中的单个厂商的长期总成本函数 LTC(Q)= Q3-8Q2+30Q (1)求该行业长期均衡时的价格和单个厂商的产量。 LAC(Q)=LTC(Q)/Q= (Q3-8Q2+30Q)/Q = Q2-8Q+30 dLAC(Q) 令 ? 0 ,即有: dQ dLAC(Q) 2Q-8=0,解得 Q=4 ? 2Q ? 12 ? 0 dQ d 2 LAC (Q) ? 2 >0 且 dQ 2 解得 Q=4,所以 Q=4 是长期平均成本最小化的解。 以 Q=4 代入 LAC(Q) ,得平均成本的最小值为:LAC=42-8×4+30=14 由于完全竞争行业长期均衡时的价格等于厂商的最小的长期平均成本,所以,
2

该行业长期均衡时的价格 P=14,单个厂商的产量 Q=4。 (2)求市场的需求函数为 Qd=870-5P 时,行业长期均衡时的厂商数目。 由于完全竞争的成本不变行业的长期供给曲线是一条水平线,且相应的市 场长期均衡价格是固定的,它等于单个厂商的最低的长期平均成本,所以,市 场的长期均衡价格固定为 P=14。以 P=14 代入市场需求函数 Q=870-5P,便可以 得到市场的长期均衡数量为 Q=870-5×14=800。现已求得在市场实现长期均衡 时,市场均衡数量 Q=800,单个厂商的均衡产量 Q=4,于是,行业长期均衡时的 厂商数量=800÷4=200(家) 。 7. 两个捕鱼企业的成本函数为: C (qi ) ? Qqi (i ? 1,2) ,其中 Q ? q1 ? q2 。已知市 场上鱼的价格恒定为 P 。求: (1)当实现纳什均衡时,两家企业的捕鱼量和利润; 答案:捕鱼量均为 P/3;利润均为

P2/9。

(2)若两家企业合并成一家,那么捕鱼量和利润又是多少? 答案:捕鱼总理为 P/2;利润总量为 P2/4。 8. 一 个 垄 断 厂 商 拥 有 两 个 工 厂 , 两 工 厂 的 成 本 函 数 分 别 为 : 工 厂 1 , 2 TC ? 5 ? 9Q1 ? Q12 ; TC 工厂 2, ? 4 ? 10Q2 ? 0.5Q2 ; 市场的需求曲线为 P ? 31 ? Q , 求总产量、产品价格以及各个工厂的生产数量。 答案:总产量为 8,价格为 23,Q1=3,Q2=5。

9.厂商的生产函数为 Q ? 24 L 3 K 3 , 生产要素 L 和 K 的价格分别为 ? ? 4 , ? 8 。 r 求厂商的长期成本函数。 因为 Q=24L1/3K2/3,所以 MPL=8L-2/3K2/3,MPK=16L1/3K-1/3 带入生产者均衡条件 MPL/ PL= MPk/ Pk ,得 L=K C=4L+8K=12L Q=24L1/3K2/3=24L,L=1/24 Q C=12L=1/2 Q 1 长期成本函数为 C ? Q 2 10.已知某完全竞争行业中的单个厂商的短期成本函数为 C=0.1Q3-2Q2+15Q+ 10 。试求: (1)当市场上产品的价格为 P=55 时,厂商的短期均衡产量和利润。 因为 STC=0.1Q3-2Q2+15Q+10 dSTC 所以 SMC= =0.3Q3-4Q+15 dQ 根据完全竞争厂商实现利润最大化原则 P=SMC,且已知 P=55,于是有: 0.3Q2-4Q+15=55 整理得:0.3Q2-4Q-40=0 解得利润最大化的产量 Q*=20(负值舍去了) 以 Q*=20 代入利润等式有:
3

1

2

=TR-STC=PQ-STC =(55×20)-(0.1×203-2×202+15×20+10) =1100-310=790 即厂商短期均衡的产量 Q*=20,利润л =790 答案:产量为 20,利润为 790。 (2)当市场价格下降为多少时,厂商必须停止生产? 当市场价格下降为 P 小于平均可变成本 AVC 即 P ? AVC 时,厂商必须停产。 而此时的价格 P 必定小于最小的可变平均成本 AVC。 根据题意,有: TVC 0.1Q 3 ? 2Q 2 ? 15Q AVC= =0.1Q2-2Q+15 ? Q Q dAVC dAVC 令 ? 0,即有 : ? 0.2Q ? 2 ? 0 dQ dQ 解得 Q=10
d 2 AVC ? 0 .2 ? 0 dQ 2 故 Q=10 时,AVC(Q)达最小值。 以 Q=10 代入 AVC(Q)有: 最小的可变平均成本 AVC=0.1×102-2×10+15=5 于是,当市场价格 P5 时,厂商必须停产。 答案:下降到 5 元; (3)厂商的短期供给函数。 根据完全厂商短期实现利润最大化原则 P=SMC,有:0.3Q2-4Q+15=p 整理得 0.3Q2-4Q+(15-P)=0



4 ? 16 ? 1.2(15 ? P ) 0.6 根据利润最大化的二阶条件 MR? ? MC ? 的要求,取解为: 4 ? 1.2 P ? 2 Q= 0.6 考虑到该厂商在短期只有在 P ? 5时 才生产,而 P<5 时必定会停产,所以, 该厂商的短期供给函数 Q=f(P)为:

解得 Q ?

4 ? 1.2 P ? 2 ,P ? 5 0.6 Q=0 P<5 答案:当 P<5 时,无供给; 答案:当 P≥5 时,Q=0.5+ [答案中有根号]

Q=

11.在偏远小镇上, 某企业是当地劳动力的唯一雇主。该企业对劳动力的需求函 数为 W=12-2L,劳动的供应函数为 W=2L。 (1) 该企业的边际劳动成本是多少? 劳动供应的总成本=2L2,边际成本=4L 答案:边际成本为 4L。 (2) 该企业将雇佣多少劳动?工资率是多少?
4

4L=12-2L,L=2,W=2L=4 答案:雇用 2 个;工资率为 4; 12.假设某企业为其产品和要素市场上的完全垄断者,其生产函数为 Q=2L,其中 L 为生产中使用的劳动力数量。若该企业的需求函数为 Q=110-P,劳动的供给函 数为 L=0.5W-20。求生产者的产量为多少?在此产量下,劳动使用量 L,商品价 格 P 和工资 W 各为多少? 答案:Q=30,P=80,L=15,W=70.

13. 双寡头垄断企业的成本函数分别为: C1=20Q1 , C2=2Q2 ,市场需求曲线为 P=400-2Q,其中 Q=Q1+Q2 (1)求出古诺均衡下的产量、价格和利润; 答案: Q1 =80, Q2 ? 30 , P ? 180 , ? 1 ? 12800 , ? 2 ? 3600 。 (2)求出斯塔克博格模型下的产量、价格和利润 280 80 39200 25600 答案: Q1 ? , Q2 ? , P ? 160 , ? 1 ? ,?2 ? 。 3 3 3 9 14.某甲拥有财富 100 万元,明年他有可 25%的可能性会丢失一辆价值 36 万元的 小汽车,假设他的效用函数为 U ? W , W 为他的财富。请解答以下问题: (1)如果他不参加明年的保险,他的期望效用是多少? EU=25%· (100-36)1/2+75%·1001/2=0.25·8+0.75·10 =9.5 (2)如果他参加保险,他最多愿意支付多少保险费用? 设保险费为 R,则(100-R)1/2=9.5 得 R=9.75 即最多愿意支付 9.75 万元的保险费。
3 2 15.完全竞争行业中某厂商的成本函数为 STC ? Q ? 6Q ? 30Q ? 40 , 成本用美元 计算,假设产品价格为 66 美元。 (1)求利润极大时的产量及利润总额; 3 2 厂商的成本函数为 TC ? Q ? 6Q ? 30Q ? 40

2 2 则 MC ? 3Q ? 12Q ? 30 ,又知 P=66 元。 2 2 根据利润极大化的条件 P=MC,有: 66 ? 3Q ? 12Q ? 30 ,

解得:Q=6,Q=-2(舍去) 。 3 2 最大利润为: ? ? TR ? TC ? PQ ? (Q ? 6Q ? 30Q ? 40) ? 176 (元) (2) 由于竞争市场供求发生变化, 新的均衡价格为 30 美元, 在新的价格水平下, 厂商是否会发生亏损?如果会,最小的亏损额是多少? 由于市场供求发生变化, 新的价格为 P=30 元, 厂商是否发生亏损要根据 P=MC
5

所决定的均衡产量计算利润为正还是为负。 均衡条件都为 P=MC,即 30 ? 3Q 2 ? 12Q 2 ? 30 , 则 Q=4,或 Q=0(舍去) 。 此时利润 ? ? TR ? TC ? PQ ? (Q 3 ? 6Q 2 ? 30Q ? 40) ? ?8 可见,当价格为 30 元时,厂商会发生亏损,最小亏损额为 8 元。 (3)该厂商在什么情况下才会退出该行业? 由 TC ? Q 3 ? 6Q 2 ? 30Q ? 40 得: TVC ? Q3 ? 6Q 2 ? 30Q TVC 有: AVC ? ? Q 2 ? 6Q ? 30 Q dAVC dAVC 令 ? 0 ,即 ? 2Q ? 6 ? 0 , dQ dQ 解得:Q=3 当 Q=3 时 AVC ? 21 ,可见只要价格 P<21,厂商就会停止生产。 16.已知成本函数为 C (Q) ? Q 2 ? 5Q ? 4 ,求厂商的供给函数和利润函数.

17.一个企业的生产函数为 Q ? Q( x1 , x2 , ? xn ) ,Q 为产出,xi 为投入的第 i 种要素 的数量。 (1) (2) 来产出 用数学方法给出该企业处于规模报酬递增的表达; 证明:把该规模报酬递增的企业一分为二,产出之和小于原

6

18.假定两个具有相同偏好的人同居一室,他们的效用来自看电视的时间 x 与所 吃的零食量 y。效用函数由下式给出

ui ( x,yi ) ? x 3 yi3

1

2

(i=1, 2)

又假定每个人要花 30 元, px ? 10 元, p y ? 10 元,并且假定两人是一起看电视的 (禁止单独收看电视)。问:这两个人该如何配置自己的收入,才符合萨缪尔森 规则?

19.甲有 300 单位商品 x,乙有 200 单位 y,两人的效用函数都是 u( x, y) ? xy 。请 推导出所有满足帕累托有效的配置。两人通过交换达到帕累托有效配置,求出两 人进行交换的价格体系,并求出交换结果。 (1)设甲乙两人的消费束为:甲 ( x1 , y1 ) ,乙 ( x 2 , y 2 ) , 题设的约束条件为: x1 ? x 2 ? 300 ① y1 ? y 2 ? 200 帕累托有效配置的条件是:甲、乙两人的无差异曲线相切,即 MU x1 MU x2 MRS x1 , y1 ? MRS x2 , y2即 ? MU y1 MU y2 于是我们有: 联立①②得:
y1 y 2 = ② x1 x 2 y1 300 ? y1 2 = ? y1 ? x1 x1 200 ? x1 3

因此,所有满足 Pareto 最优的状态的契约线为: y1 ? (2)令 x 价格为 1,y 的价格为 p ,
7

2 x1 。 3

先求甲的效用最大化条件: max U1 ( x1 , y1 ) ? x1 y1
s.t. x1 ? py1 ? 300

解得:

x1 ? 150 , y1 ?

150 ; p

再求乙的效用最大化条件: max U 2 ( x2 , y2 ) ? x2 y2
s.t. x2 ? py2 ? 200 p

解得: x2 ? 100 p, y 2 ? 100 ; 由第(1)问中解得的 Pareto 最优条件: y1 ?
2 x1 3

可求得: p ? 1.5 。 此时 x 1 ? 150, y1 ? 100 , x 2 ? 150, y 2 ? 100 也就是说,社会最终的价格体系为:X 的价格为 1,Y 的价格为 1.5;交换结 果为:甲消费 150 单位的 X,消费 100 单位的 Y;乙也消费 150 单位的 X,消费 100 单位的 Y。 20.某个消费者的效用函数为 u ( x1 , x2 ) ? x12 x2 ,商品 1 和 2 的价格分别为 p1 和 p2 , 此消费者的收入为 m。 求该消费者的马歇尔需求函数、 间接效用函数和支出函数。 解:解线性规划:

其拉格朗日函数为: 使 L(?)最大化要求 λ ,x1,x2 满足一阶条件

1 式除以 2 式,得:

代 4 入 3 式,得 1 x 的需求函数:

代 5 入 4 式,得 2 x 的需求函数:

代 5、6 两式入效用函数中,得到当效用最大化时有间接效用函数:

8

又消费者效用最大化意味着 即可得到支出函数:

y = e(p,v(p, y))

21. 证明:如果一个人拥有的初始财富为 W*,他面临一场赌博,赌博的奖金和罚 金都为 h,赌博的输赢概率都是 50%。若这个人是风险厌恶型的,则他决不会参 加赌博。 风险厌恶型意味着 u ( g ) < u[E ( g )] ,若 g 是题目中的赌局,即 u ( g ) < u[E ( g )] = u (w* ) 也就说 w * >g ,他不会参加该赌博. 22、Luke 只喜欢两片奶酪(X)+三片面包(Y)的三明治。 (1)用X、Y 定义这种效用函数,并求Luke 对X、Y 的需求函数。 (2)若价格PX=PY=2,并且Luke 能花在食品的收入为72,求Luke 的最优选择。 (3)若PX 上涨P′X=4,求Luke 最优决策。 (4)X 的变化多少是由于收入效应、多少是由于替代效应的?用图形表示。 (5)求 Luke 的支出方程。

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