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红对勾文科数学1-1


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必考部分

必考部分·第一章

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第一章
集合与常用逻辑用语

必考部分·第一章

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第一节


<

br />合

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第一章·第一节

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考纲解读 1.了解集合的含义,元素与集合的属于关系;能用列举法或描述 法表示集合. 2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了 解全集与空集的含义. 3.理解并会求并集、交集、补集;能用Venn图表达集合的关系与 运算.

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第一章·第一节

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考情剖析 1.对集合的含义与表示的考查主要涉及集合中元素的互异性以及 元素与集合之间的关系,考查利用所学的知识对集合的性质进行初步 探究的基本逻辑能力. 2.对于两个集合之间关系的考查主要涉及以下两个方面: ?1?判断给定两个集合之间的关系,主要是子集关系的判断 . ?2?以不等式的求解为背景,利用两个集合之间的子集关系求解参 数的取值范围问题.

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第一章·第一节

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3.集合的基本运算在高考命题中主要与简单不等式的求解、函数 的定义域或值域的求法相结合考查集合的交、并、补运算,以补集与 交集的基本运算为主,考查借助数轴或Venn图进行集合运算的数形结 合思想和基本运算能力.

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第一章·第一节

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自主回顾· 打基础

合作学习· 速通关

提升素养· 破难点

课时作业

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强根基·固本源

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1.集合与元素

确定性、互异性、无序性 . (1)集合中元素的特性:__________________________
(2)集合与元素的关系:若a属于A,记作 a∈A ;若b不属于 A,记作 a?A (3)集合的表示方法: 列举法、描述法、图示法.

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第一章·第一节

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(4)常见集合的符号表示 数集 符号 自然 数集 ___ N 正整数集 整数集 _______ N*或 N+ ____ Z 有理 数集 _____ Q 实数集 ____ R

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1.集合A={x|x2=0},B={x|y=x2},C={y|y=x2},D ={(x,y)|y=x2}相同吗?它们的元素分别是什么? 提示:这4个集合互不相同,A是以方程x2=0的解为元 素的集合,即A={0};B是函数y=x2的定义域,即B=R; C是函数y=x2的值域,即C={y|y≥0};D是抛物线y=x2上 的点组成的集合.

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2.0与集合{0}是什么关系??与集合{?}呢? 提示:0∈{0},?∈{?}或??{?}.

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第一章·第一节

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2.集合间的基本关系 表示 关系 相等 文字语言 符号语言

集合A与集合B中的所有元素 A?B且B?A 都相同 A中任意一个元素均为B中的 元素 A中任意一个元素均为B中的 ?A=B A?B或B?A

子集

真子集

元素,且B中至少有一个元素 不是A中的元素

A B或B A

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表示 关系 空集

文字语言 空集是任何集合的子集,是 任何非空集合的真子集

符号语言 ??A ? B(B≠?)

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3.对于集合A,B,若A∩B=A∪B,则A,B有什么关 系? 提示:A=B.假设A≠B,则(A∩B) (A∪B),与A∩B= A∪B矛盾,故A=B.

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3.集合的基本运算 集合的并集 符号 表示 集合的交集 集合的补集 若全集为U, A∪B A∩B 则集合A的补 集为?UA

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集合的并集 图形 表示 意义

集合的交集

集合的补集

{x|x∈A,或x {x|x∈A,且x ∈B} ∈B}

?UA={x|x∈ U,且x?A}

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4.同一个集合在不同全集中的补集相同吗? 提示:一般情况下不相同,如A={0,1}在全集B= {0,1,2}中的补集为?BA={2},在全集D={0,1,3}中的补集为 ?DA={3}.

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1.若集合M={x∈N|x≤ 10 },a=2 2 ,则下面结论 中正确的是( A.{a}?M C.{a}∈M ) B.a?M D.a?M

解析:∵M={x∈N|x≤ 10}={0,1,2,3},∴a?M.
答案:D

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第一章·第一节

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2.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM= ( ) A.U C.{3,5,6} B.{1,3,5} D.{2,4,6}

解析:∵U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},∴?UM= {3,5,6}.

答案:C

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第一章·第一节

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3.若集合A={x|x<1},B={x|x≥a},且A∩B≠?,则 实数a的取值范围为( A.{a|a≤1} C.{a|a≥1} ) B.{a|a<1} D.{a|a>1}

解析:∵A∩B≠?,∴a<1,故选B.

答案:B

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4.已知集合A={1,2},若A∪B={1,2},则集合B有 ________个.

解析:∵A={1,2},A∪B={1,2}, ∴B?A,∴B=?,{1},{2},{1,2}.

答案:4

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5.已知集合M={1,m+2,m2+4},且5∈M,则m的 值为________.

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解析:∵5∈{1,m+2,m2+4}, ∴m+2=5或m2+4=5,即m=3或m=± 1. 当m=3时,M={1,5,13};当m=1时,M={1,3,5}; 当m=-1时M={1,1,5}不满足互异性. ∴m的值为3或1.
答案:1或3

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抓重点·破疑难

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集合的概念

【例1】

(1)(2013· 山东卷)已知集合A={0,1,2},则 )

集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( A.1 C.5 B.3 D.9

(2)已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},且1 ∈A,则2 014a的值为________.

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从集合的三特性入手. 【解析】
? ?x=0, 或? ? ?y=2 ? ?x=2, 或? ? ?y=1 ? ?x=0, (1)因为x,y∈A,所以? ? ?y=0 ? ?x=1, 或? ? ?y=1 ? ?x=1, 或? ? ?y=2 ? ?x=0, 或? ? ?y=1 ? ?x=2, 或? ? ?y=0

? ?x=1, 或? ? ?y=0 ? ?x=2, 或? ? ?y=2,

所以B={0,-1,-2,1,2},所以集

合B中有5个元素,应选C.

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(2)当a+2=1,即a=-1时,(a+1)2=0,a2+3a+3=1 与a+2相同, ∴不符合题意. 当(a+1)2=1,即a=0或a=-2时, ①a=0符合要求. ②a=-2时,a2+3a+3=1与(a+1)2相同,不符合题 意. 当a2+3a+3=1,即a=-2或a=-1. ①当a=-2时,a2+3a+3=(a+1)2=1,不符合题意.
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②当a=-1时,a2+3a+3=a+2=1,不符合题意. 综上所述,a=0. ∴2 014a=1.
【答案】 (1)C (2)1

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?1?研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看 元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄清其元 素表示的意义是什么.

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?2?要特别注意集合中元素的互异性,在解题过程中最容易 被忽视,因此要对计算结果进行检验,防止所得结果违背 集合中元素的互异性.

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(1)(2013· 大纲全国卷)设集合A={1,2,3},B={4,5},M ={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( A.3 C.5 B.4 D.6 )

(2)已知集合A={m+2,2m2+m,-3},若3∈A,则m 的值为________.

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解析:(1)A={1,2,3},B={4,5}, ∵a∈A,b∈B,∴a+b=5,6,7,8. ∴M中共有4个元素. (2)∵3∈A,∴m+2=3或2m2+m=3, 3 解得m=1或m=-2. 当m=1时,m+2=2m2+m=3,不满足集合元素的互 异性,

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3 1 3 当m=-2时,A={-3,2,3}满足题意.故m=-2.

3 答案:(1)B (2)-2

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集合的关系

【例2】

(2012· 湖北卷)已知集合A={x|x2-3x+2

=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A?C ?B的集合C的个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

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(2)已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A? B,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=________. (1)先化简集合A、B,再构造集合C;(2)利用数 轴可求a的取值范围.

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第一章·第一节

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【解析】 {1,2}.

(1)由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,∴A=

由题意知B={1,2,3,4}, ∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4}, {1,2,3,4}. (2)由log2x≤2,得0<x≤4,即A={x|0<x≤4},而B= (-∞,a),

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第一章·第一节

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由于A?B,如下图所示,则a>4,即c=4.

【答案】 (1)D (2)4

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第一章·第一节

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1.判断两集合的关系常有两种方法:一是化简集合,从表 达式中寻找两集合间的关系;二是用列举法表示各集合, 从元素中寻找关系.

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2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关 系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解 决这类问题常常需要合理利用数轴、 Venn图帮助分析.

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已知集合A={y|y= -x2+2x},B={x||x-m|<2 013}, 若A∩B=A,则m的取值范围是( )

A.[-2 012,2 013] B.(-2 012,2 013) C.[-2 013,2 011] D.(-2 013,2 011)

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第一章·第一节

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解析:集合A表示函数y= -x2+2x 的值域,由t=-x2 +2x=-(x-1)2+1≤1,可得0≤y≤1,故A=[0,1]. 集合B是不等式|x-m|<2 013<x<m+2 013, 所以B=(m-2 013,m+2 013). 因为A∩B=A,所以A?B. 013的解集,解之得m-2

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? ?m-2 如图,由数轴可得? ? ?m+2

013<0, 013>1,

解得-2 012<m<2 013.
答案:B

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第一章·第一节

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集合的基本运算

【例3】

(1)(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知集合A= )

{1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=( A.{1,4} C.{9,16} B.{2,3} D.{1,2}

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(2)(2013· 山东卷)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4} 的子集,且?U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩?UB=( A.{3} C.{3,4} B.{4} D.? )

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(3)设函数f(x)=lg(1-x2),集合A={x|y=f(x)},B={y|y =f(x)},则图中阴影部分表示的集合为( )

A.[-1,0]

B.(-1,0)

C.(-∞,-1)∪[0,1) D.(-∞,-1]∪(0,1) 借助于列举法、文氏图或数轴进行集合的运 算.

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第一章·第一节

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【解析】

(1)∵A={1,2,3,4},

∴B={x|x=n2,n∈A}={1,4,9,16},A∩B={1,4},选 A. (2)∵U={1,2,3,4},且?U(A∪B)={4} ∴A∪B={1,2,3}, 又B={1,2},∴3∈A,4?A,?UB={3,4} ∴A∩?UB={3},选A.

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(3)因为A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1<x<1},则 U=1-x2∈(0,1], 所以B={y|y=f(x)}={y|y≤0},A∪B=(-∞,1), A∩B=(-1,0], 故图中阴影部分表示的集合为(-∞,-1]∪(0,1),选 D.
【答案】 (1)A (2)A (3)D

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1.集合的运算口诀,集合运算的关键是明确概念.集合的交、 并、补运算口诀如下:交集元素仔细找,属于 A且属于B; 并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集 U是大范围,去 掉U中A元素,剩余元素成补集.

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2.解决集合的混合运算的方法 ,解决集合的混合运算时,一 般先运算括号内的部分,当集合是用列举法表示的数集 时,可以通过列举集合的元素进行运算;当集合是用不等 式形式表示时,可运用数轴求解 .

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(1)(2013· 重庆卷)已知集合U={1,2,3,4},集合A= {1,2},B={2,3},则?U(A∪B)=( A.{1,3,4} C.{3} B.{3,4} D.{4} )

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1 (2)如图,已知R是实数集,集合A={x|log 2 (x-1)>0},
? ? ? ?2x-3 ? B= x? <0 x ? ? ? ? ? ?,则阴影部分表示的集合是( ? ?

)

A.[0,1] C.(0,1)

B.[0,1) D.(0,1]

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解析:(1)A∪B={1,2,3}, ∴?U(A∪B)={4}. (2)图中阴影部分表示集合B∩(?RA),又A=
? ? ? 3 ? ? {x|1<x<2},B= x 0<x<2 ? ? ? ? ? ?, ? ?

∴?RA={x|x≤1,或x≥2}, B∩(?RA)={x|0<x≤1}.
答案:(1)D (2)D

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1.集合的元素必须满足“三性”: 确定性、互异性、无序性.要解决与集合有关的问 题,一方面,要善于抓住集合元素的“三性”;另一方 面,在解答完毕之时,不要忘记检验集合的元素是否满足 这“三性”.

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2.解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数 集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. 3.要注意A?B、A∩B=A、A∪B=B、?UA??UB、 A∩(?UB)=?这五个关系式的等价性. 4.注意空集?的特殊性,在解题中,若未能指明集合 非空时,要考虑空集的可能性,如A?B,则有A=?或A≠? 两种可能,此时应分类讨论.

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提升素养·破难点
研经典·明考向

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应用创新展示(一) 集合中的创新性问题化解有妙招 【典例】 已知集合M为点集,记性质P为“对?(x,y)

∈M,k∈(0,1),均有(kx,ky)∈M”.给出下列集合:① {(x,y)|x2≥y},②{(x,y)|2x2+y2<1},③{(x,y)|x2+y2+x +2y=0},④{(x,y)|x3+y3-x2y=0},其中具有性质P的点 集的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

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审题视角 把动点坐标代入不等式、方程去识别,若满足, 则具有性质P;若不满足,可取特殊点来说明.

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规范解答 1 1 1 2 对于①:取k= 2 ,点(1,1)∈{(x,y)|x ≥y},但( 2 , 2 )? {(x,y)|x2≥y},故①是不具有性质P的点集. 对于②:?(x,y)∈{(x,y)|2x2+y2<1},则点(x,y)在椭圆 2x2+y2=1内部,所以对0<k<1,点(kx,ky)也在椭圆2x2+ y2=1的内部,即(kx,ky)∈{(x,y)|2x2+y2<1},故②是具 有性质P的点集.

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规范解答 12 5 1 1 2 对于③:(x+2) +(y+1) =4,点(2,-2)在此圆上,但点 1 1 (4,-4)不在此圆上,故③是不具有性质P的点集. 对于④:?(x,y)∈{(x,y)|x3+y3-x2y=0},对于k∈ (0,1),因为(kx)3+(ky)3-(kx)2· (ky)=0?x3+y3-x2y=0, 所以(kx,ky)∈{(x,y)|x3+y3-x2y=0},故④是具有性质P 的点集. 综上,具有性质P的点集的个数是2.故选B.

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解决与新定义有关的集合问题,首先,进行转化, 即准确理解新定义的实质,紧扣新定义进行推理论 点 证,将其转化为我们熟知的基本运算.如本例中, 拨 判断所给的4个集合是否具有性质P,其求解的实质 提 是把点(kx,ky),0<k<1代入4个集合中,判断点(kx, 升 ky),0<k<1是否是该集合中的元素.其次,举反例, 当不满足新定义的要求时,只需通过举反例即可说 明其不满足,以达到快速判断结果的效果.

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1.已知A={(x,y)|y=|lnx|},B=
? ?x2 y2 ? ? ? ??x,y?? + =1? 4 ? ? ? ?9 ?

,则A∩B的子集个数为( B.4 D.8

)

A.3 C.2

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解析:A∩B中元素的个数就是函数y=|lnx|的图象与椭 x2 y2 圆 9 + 4 =1的交点个数,如图所示.由图可知,函数图象 和椭圆有两个交点,即A∩B中有两个元素,故A∩B的子集 有22=4个.

答案:B

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2.(2013· 福建卷)设S,T是R的两个非空子集,如果存 在一个从S到T的函数y=f(x)满足:(ⅰ)T={f(x)|x∈S};(ⅱ) 对任意x1,x2∈S,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),那么称这两 个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是 ( ) A.A=N*,B=N B.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0<x≤10} C.A={x|0<x<1},B=R D.A=Z,B=Q
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解析:对于A可构造函数f(x)=x-1,x∈N*,验证成 立. 对于B可构造函数f(x)= 证成立.
? 1? 对于C可构造函数f(x)=tan?x-2?π,x∈(0,1)验证成立. ? ? ? ?-8 ? ? ?2.5x+2.5,

x=-1, -1<x≤3,



故D是错误的.
答案:D
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