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第1讲导数的综合应用


第1讲 [最新考纲]

导数的综合应用

1. 利用导数研究函数的单调性、 极(最)值, 并会解决与之有关的方程(不等式) 问题; 2.会利用导数解决某些简单的实际问题.

知 识 梳 理 1.生活中的优化问题 通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题,一般地,对于 实际问题,若函数在给定的定义域内只有一个极

值点,那么该点也是最值点. 2.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

3.导数在研究方程(不等式)中的应用 研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式;反过来方程的根的个 数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等,又可转化为函数的单调性、极值与 最值的问题,利用导数进行研究. 辨 析 感 悟 1.函数最值与不等式(方程)的关系 (1)(教材习题改编)对任意 x>0,ax2+(3a-1)x+a≥0 恒成立的充要条件是 a ?1 ? ∈?5,+∞?.(√) ? ? (2)(2011· 辽宁卷改编)已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点, 则 a 的取值范围是(- ∞,2ln 2-2].(√) 2.关于实际应用问题 (3)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定.(√) (4)若实际问题中函数定义域是开区间,则不存在最优解.(×) (5)(2014· 鹰潭模拟改编)已知某生产厂家的年利润 y(单位: 万元)与年产量 x(单

1 位:万件)的函数关系式为 y=-3x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润 的年产量为 9 万件.(√) [感悟· 提升] 1.两个转化 一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类 讨论与数形结合思想的应用; 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理, 如(2). 2.两点注意 一是注意实际问题中函数定义域,由实际问题的意义和解析式共同确定,如 (3). 二是在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么可直接根据实 际意义判定是最大值还是最小值,如(4);若在开区间内有极值,则一定有最优解.

考点一

导数与生活中的优化问题

【例 1】 (2013· 重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度). 设 该蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表 面积有关,侧面的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米, 该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. 解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh=200πrh 元,底面的总成本为

160πr2 元. 所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 又根据题意得 200πrh+160πr2=12 000π, 1 所以 h=5r(300-4r2), π 从而 V(r)=πr2h=5(300r-4r3).

因 r>0,又由 h>0 可得 r<5 3, 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3). π π (2)因 V(r)=5(300r-4r3),故 V′(r)=5(300-12r2), 令 V′(r)=0,解得 r=5 或-5(因 r=-5 不在定义域内,舍去). 当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5,5 3)时,V′(r)<0,故 V(r)在(5,5 3)上为减函数. 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8. 即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大. 规律方法 求实际问题中的最大值或最小值时, 一般是先设自变量、 因变量,

建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数的最值的方法求解,注意结果应 与实际情况相结合.用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在开区间 内只有一个极值点,那么依据实际意义,该极值点也就是最值点.

【训练 1】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙 需要建造隔热层. 某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层, 每厘米厚的隔热层建 造成本为 6 万元. 该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位: 万元)与隔热层厚度 x(单 k 位:cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 3x+5 8 万元.设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. 解 (1)设隔热层厚度为 x cm,由题设, k . 3x+5 40 . 3x+5

每年能源消耗费用为 C(x)=

再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 又建造费用为 C1(x)=6x.

则隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)=20C(x)+C1(x)=20× 40 +6x 3x+5



800 +6x(0≤x≤10). 3x+5 2 400 ,令 f′(x)=0, ?3x+5?2

(2)f′(x)=6- 即

2 400 25 2=6.解得 x=5 或- (舍去). 3 ?3x+5?

当 0<x<5 时,f′(x)<0,当 5<x<10 时,f′(x)>0, 故 x=5 是 f(x)的最小值点,对应的最小值为 f(5)=6×5+ 当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元. 考点二 导数在方程(函数零点)中的应用 800 =70. 15+5

【例 2】 (2013· 北京卷)已知函数 f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,求 b 的取值范围. 解 由 f(x)=x2+xsin x+cos x,

得 f′(x)=x(2+cos x), (1)∵y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切. ∴f′(a)=a(2+cos a)=0 且 b=f(a), 则 a=0,b=f(0)=1. (2)设 g(x)=f(x)-b=x2+xsin x+cos x-b, 令 g′(x)=f′(x)-0=x(2+cos x)=0,得 x=0. 当 x 变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表: x g′(x) g(x) (-∞,0) - ? 0 0 1-b (0,+∞) + ?

所以函数 f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,且 g(x)的最小值为 g(0)=1-b. 当 1-b≥0 时,即 b≤1 时,g(x)=0 至多有一个实根,曲线 y=f(x)与 y=1 最多有一个交点,不合题意. 当 1-b<0 时,即 b>1 时,有 g(0)=1-b<0, g(2b)=4b2+2bsin 2b+cos 2b-b>4b2-2b-1-b>4b-2b-1-b>0.

∴y=g(x)在(0,2b)内存在零点, 又 y=g(x)在 R 上是偶函数,且 g(x)在(0,+∞)上单调递增,∴y=g(x)在(0, +∞)上有唯一零点,在(-∞,0)也有唯一零点. 故当 b>1 时,y=g(x)在 R 上有两个零点,则曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个 不同交点. 综上可知,如果曲线 y=f(x)与直线 y=b 有且只有两个不同交点,那么 b 的 取值范围是(1,+∞). 规律方法 (1)在解答第(2)问时,可转化为判定 f(x)=b 有两个实根时实数 b

应满足的条件,并注意 g(x)的单调性、奇偶性、最值的灵活应用,另外也可作出 函数 y=f(x)的大致图像,直观判定曲线交点个数,但应注意严谨性,进行必要的 论证. (2)该类问题的求解,一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质,并借助 函数图像,根据零点或图像的交点情况,建立含参数的方程(或不等式)组求解, 实现形与数的和谐统一. 1-a 1 【训练 2】 (2012· 天津卷节选)已知函数 f(x)=3x3+ 2 x2-ax-a,x∈R, 其中 a>0. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围. 解 (1)f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).

由 f′(x)=0,得 x=-1 或 x=a(a>0). 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-1) + ? -1 0 极大值 (-1,a) - ? a 0 极小值 (a,+∞) + ?

故函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间是(-1, a). (2)由(1)知 f(x)在区间(-2,-1)内单调递增, 在区间(-1,0)内单调递减,

?f?-2?<0, 从而函数 f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点当且仅当?f?-1?>0, ?f?0?<0.
1 a<3. 1? ? 所以 a 的取值范围是?0,3?. ? ? 考点三 导数在不等式中的应用

解得 0<

【例 3】 (2014· 泰安一模)已知函数 f(x)=xln x. (1)若函数 g(x)=f(x)+ax 在区间[e2,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围; (2)若对任意 x∈(0,+∞),f(x)≥ 审题路线 -x2+mx-3 恒成立,求实数 m 的最大值. 2

(1)转化为 g′(x)≥0 在[e2,+∞)上恒成立问题.

(2)代入 f(x)?分离出 m?构造函数 t(x)?求 t′(x)?根据单调性求 t(x)的最值 ?得出 m 的范围?得出结论. 解 (1)由题意得 g′(x)=f′(x)+a=ln x+a+1,

∵函数 g(x)在区间[e2,+∞)上为增函数, ∴当 x∈[e2,+∞)时,g′(x)≥0, 即 ln x+a+1≥0 在[e2,+∞)上恒成立, ∴a≥-1-ln x,令 h(x)=-ln x-1, 当 x∈[e2,+∞)时,ln x∈[2,+∞), ∴h(x)∈(-∞,-3],∴a 的取值范围是[-3, +∞). (2)∵2f(x)≥-x2+mx-3, 即 mx≤2xln x+x2+3, 2xln x+x2+3 又 x>0,∴m≤ , x 令 t(x)= 2xln x+x2+3 3 = 2ln x + x + x x,

2 2 3 x +2x-3 ?x+3??x-1? ∴t′(x)= x+1-x2= = , x2 x2

令 t′(x)=0 得 x=1 或-3(舍). 当 x∈(0,1)时,t′(x)<0,t(x)在(0,1)上单调递减,

当 x∈(1,+∞)时,t′(x)>0,t(x)在(1,+∞)上单调递增. t(x)min=t(1)=4,∴m≤t(x)min=4,即 m 的最大值为 4.

规律方法

(1)若可导函数 f(x)在指定的区间 D 上单调递增(减),求参数范围,

可转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是 否可以取到. (2)由不等式的恒成立求参数问题.首先要构造函数,利用导数研究函数的单 调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可 分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数最值问题. 1 【训练 3】 (2014· 临川模拟)已知 x=2 是函数 f(x)=3x3-bx2+2x+a 的一个 极值点. (1)求函数 f(x)的单调区间; 2 (2)若当 x∈[1,+∞)时,f(x)-3>a2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解 (1)∵f′(x)=x2-2bx+2,且 x=2 是 f(x)的一个极值点,∴f′(2)=4-4b

3 +2=0,解得 b= , 2 ∴f′(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2). 由 f′(x)>0 得 x>2 或 x<1, ∴函数 f(x)的单调增区间为(-∞,1),(2,+∞); 由 f′(x)<0 得 1<x<2, ∴函数 f(x)的单调减区间为(1,2). (2)由(1)知,函数 f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, ∴当 x=2 时,函数 f(x)取得极小值也是最小值, 2 故 f(x)min=f(2)=a+3. 2 2 当 x∈[1,+∞)时,f(x)-3>a2 恒成立等价于 a2<f(x)min-3,即 a2-a<0, ∴0<a<1. 故实数 a 的取值范围是(0,1).

1.利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题, 要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 2.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意 义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较. 3. 要充分理解列表在研究函数极值过程中的重要性, 以及列表的操作步骤与 算法思想,能利用导数研究函数的极值与最值.

答题模板 4——构建函数模型证明不等式恒成立问题 2 【典例】 (12 分)(2013· 辽宁卷)(1)证明:当 x∈[0,1]时, 2 x≤sin x≤x; x3 (2)若不等式 ax+x2+ 2 +2(x+2)cos x≤4 对 x∈[0,1]恒成立, 求实数 a 的取值 范围. [规范解答] 2 (1)记 F(x)=sin x- 2 x,

2 则 F′(x)=cos x- 2 . π? π? ? ? 当 x∈?0,4?时,F′(x)>0,F(x)在?0,4?上是增函数; ? ? ? ? ?π ? ?π ? 当 x∈?4,1?时,F′(x)<0,F(x)在?4,1?上是减函数. ? ? ? ? 又 F(0)=0,F(1)>0,所以当 x∈[0,1]时,F(x)≥0, 2 即 sin x≥ 2 x.(3 分) 记 H(x)=sin x-x,则当 x∈(0,1)时,H′(x)=cos x-1<0, 所以,H(x)在[0,1]上是减函数,则 H(x)≤H(0)=0, 即 sin x≤x. 2 综上, 2 x≤sin x≤x,x∈[0,1].(5 分)

x3 (2)记 f(x)=ax+x2+ 2 +2(x+2)cos x-4,则 3x2 f′(x)=a+2x+ 2 +2cos x-2(x+2)sin x.(6 分) 记 G(x)=f′(x),则 G′(x)=2+3x-4sin x-2(x+2)cos x. 1 当 x∈(0,1)时,cos x>2,因此 2 G′(x)<2+3x-4·2 x-(x+2)=(2-2 2)x<0. 于是 f′(x)在[0,1]上是减函数,因此,当 x∈[0,1]时, f′(x)<f′(0)=a+2,故当 a≤-2 时,f′(x)<0,从而 f(x)在[0,1]上是减函 x3 数,所以 f(x)≤f(0)=0,即当 a≤-2 时,不等式 ax+x + 2 +2(x+2)cos x≤4 对 x
2

∈[0,1]恒成立.(9 分) x3 下面证明,当 a>-2 时,不等式 ax+x + 2 +2(x+2)cos x≤4 对 x∈[0,1]不
2

恒成立. 由于 f′(x)在[0,1]上是减函数,且 7 f′(0)=a+2>0,f′(1)=a+2+2cos 1-6sin 1. 7 当 a≥6sin 1-2cos 1-2时,f′(1)≥0,所以当 x∈(0,1)时,f′(x)>0,因此 7 f(x)在[0,1]上是增函数,故 f(1)>f(0)=0;当-2<a<6sin 1-2cos 1-2时,f′(1) <0. 又 f′(0)>0, 故存在 x0∈(0,1)使 f′(x0)=0, 则当 0<x<x0 时, f′(x)>f′(x0) =0,所以 f(x)在[0,x0]上是增函数,所以当 x∈(0,x0)时,f(x)>f(0)=0. x3 所以当 a>-2 时, 不等式 ax+x2+ 2 +2(x+2)cos x≤4 对 x∈[0,1]不恒成立. 综上,实数 a 的取值范围是(-∞,-2].(12 分) [反思感悟] 利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面,也是高考 的一个新热点,其关键是构造适当的函数,判断区间端点对应的函数值与 0 的关 系,实际就是利用求导的方法去研究函数的单调性,并通过单调性证明不等式.

答题模板

运用导数证明不等式 f(x)>g(x)成立的一般步骤:

第一步:构造 h(x)=f(x)-g(x); 第二步:求 h′(x); 第三步:判断 h(x)的单调性; 第四步:确定 h(x)的最小值; 第五步:证明 h(x)min>0 成立; 第六步:得出所证结论.

【自主体验】 (2014· 渭南质检)已知函数 f(x)=sin x(x≥0),g(x)=ax(x≥0). (1)若 f(x)≤g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; 1 (2)当 a 取(1)中的最小值时,求证:g(x)-f(x)≤6x3. 解 (1)令 h(x)=sin x-ax(x≥0),则 h′(x)=cos x-a.

①若 a≥1,h′(x)=cos x-a≤0, h(x)=sin x-ax(x≥0)单调递减,h(x)≤h(0)=0, 则 sin x≤ax(x≥0)成立. π? ? ②若 0<a<1,存在 x0∈?0,2?,使得 cos x0=a, ? ? 当 x∈(0,x0),h′(x)=cos x-a>0,h(x)=sin x-ax(x∈(0,x0))单调递增, h(x)>h(0)=0,不合题意. ③当 a≤0,结合 f(x)与 g(x)的图像可知显然不合题意. 综上可知,a≥1. (2)当 a 取(1)中的最小值为 1 时, g(x)-f(x)=x-sin x. 1 设 H(x)=x-sin x-6x3(x≥0), 1 则 H′(x)=1-cos x-2x2. 1 令 G(x)=1-cos x-2x2, 则 G′(x)=sin x-x≤0(x≥0),

1 1 所以 G(x)=1-cos x-2x2 在[0,+∞)上单调递减,此时 G(x)=1-cos x-2 x2≤G(0)=0, 1 即 H′(x)=1-cos x-2x2≤0, 1 所以 H(x)=x-sin x-6x3 在 x∈[0,+∞)上单调递减. 1 所以 H(x)=x-sin x-6x3≤H(0)=0, 1 则 x-sin x≤6x3(x≥0). 1 所以,当 a 取(1)中的最小值时,g(x)-f(x)≤6x3.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值 范围是( ). B.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) ).

A.(-1,2) C.(-3,6)

2.已知函数 f(x)=x2+mx+ln x 是单调递增函数,则 m 的取值范围是( A.(-2 2,+∞) C.(-∞,2 2) B.[-2 2,+∞) D.(-∞,2 2]

3.某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位产品,成本 增 加 100 元 , 已 知 总 营 业 收 入 R 与 年 产 量 x 的 年 关 系 是 R = R(x) = 1 ? ?400x- x2?0≤x≤400?, 2 ? ? ?80 000?x>400?, A.100 C.200

则总利润最大时,每年生产的产品是( B.150 D.300

).

4.若关于 x 的不等式 x3-3x2-9x+2≥m 对任意 x∈[-2,2]恒成立,则 m 的

取值范围是(

). B.(-∞,-20] D.[-12,7]

A.(-∞,7] C.(-∞,0]

5.(2013· 潍坊模拟)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时, 1? ? 1? ? 不等式 f(x)+xf′(x)<0 成立, 若 a=30.3f(30.3), b=(logπ3)f(logπ3), c=?log39?f?log39?, ? ?? ? 则 a,b,c 间的大小关系是( A.a>b>c C.c>a>b 二、填空题 6.要做一个底面为长方形的带盖的箱子,其体积为 72 cm3,其底面两邻边 长之比为 1∶2,则它的长为________,宽为________,高为________时,可使表 面积最小. 7. (2013· 江西九校联考)已知函数 f(x)的定义域为[-1,5], 部分对应值如下表: x y -1 1 0 2 2 0 4 2 5 1 ). B.c>b>a D.a>c>b

f(x)的导函数 y=f′(x)的图像如图所示.

(1)f(x)的极小值为________; (2)若函数 y=f(x)-a 有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是________. 8.(2014· 延安模拟)已知函数 f(x)=ax3-3x+1 对 x∈(0,1]总有 f(x)≥0 成立, 则实数 a 的取值范围是________ . 三、解答题 1 9.设函数 f(x)=2x2+ex-xex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若当 x∈[-2,2]时,不等式 f(x)>m 恒成立,求实数 m 的取值范围. b 10.(2014· 青岛一模)设函数 f(x)=ln x,g(x)=ax+x ,函数 f(x)的图像与 x 轴

的交点也在函数 g(x)的图像上,且在此点有公切线. (1)求 a,b 的值; (2)试比较 f(x)与 g(x)的大小. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.(2014· 洛阳统考)若函数 f(x)=2x3-9x2+12x-a 恰好有两个不同的零点, 则 a 可能的值为( A.4 C.7 ). B.6 D.8

2. (2014· 高安中学模拟)已知对任意实数 x, 都有 f(-x)=-f(x), g(-x)=g(x), 且 x>0 时,f′(x)>0,g′(x)>0,则 x<0 时( A.f′(x)>0,g′(x)>0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 二、填空题 a2 3.(2014· 南昌模拟)设 0<a≤1,函数 f(x)=x+ ,g(x)=x-ln x,若对任意 x 的 x1,x2∈[1,e],都有 f(x1)≥g(x2)成立,则实数 a 的取值范围是________. 三、解答题 3 4.已知函数 f(x)=ax3-2(a+2)x2+6x-3. (1)当 a>2 时,求函数 f(x)的极小值; (2)试讨论函数 y=f(x)的图像与 x 轴公共点的个数. ).

B.f′(x)>0,g′(x)<0 D.f′(x)<0,g′(x)<0

能力提升练——导数及其应用 (建议用时:90 分钟) 一、选择题 π 1.(2014· 新余模拟)若曲线 f(x)=xsin x+1 在 x=2处的切线与直线 ax+2y+1 =0 互相垂直,则实数 a 的值为( A.-2 ). B.-1

C.1

D.2

2.(2014· 上高二中模拟)曲线 y=ex 在点 A 处的切线与直线 x-y+3=0 平行, 则点 A 的坐标为( A.(-1,e-1) C.(1,e) ). B.(0,1) D.(0,2)

4? 1 ? 3.(2014· 山东省实验中学诊断)曲线 y=3x3+x 在点?1,3?处的切线与坐标轴 ? ? 围成的三角形面积为( 2 A.9 1 C.3 ). 1 B.9 2 D.3 ).

1 4.(2014· 长安一中模拟)函数 f(x)=x+ x的单调递减区间是( A.(-1,1) C.(-1,0),(0,1) B.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1),(1,+∞)

5.设函数 g(x)=x(x2-1),则 g(x)在区间[0,1]上的最小值为( A.-1 2 3 C.- 9 B.0 3 D. 3 ).

).

x 6.(2014· 宜春模拟)函数 y=3+sin x 的图像大致是(

1 7.(2014· 金溪一中模拟)已知函 数 f(x)=sin x-2x(x∈[0,π]),那么下列结论 正确的是( ).

π? ? A.f(x)在?0,2?上是增函数 ? ? ?π ? B.f(x)在?6,π?上是减函数 ? ? ?π? C.存在 x∈[0,π],f(x)>f?3? ? ?

?π? D.任意 x∈[0,π],f(x)≤f?3? ? ? 8.(2014· 汉中模拟)若函数 f(x)=2x2-ln x 在其定义域内的一个子区间(k-1, k+1)内不是单调函数,则实数 k 的取值范围是( A.[1,+∞) C.[1,2) 3? ? B.?1,2? ? ? ?3 ? D.?2,2? ? ? ).

2 9.(2014· 青岛一模)已知函数 f(x)=x3+bx2+cx 的图像如图所示,则 x1 +x2 2等

于(

). 2 A.3 8 C.3 4 B.3 16 D. 3

10.(2013· 湖北卷)已知函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数 a 的取值 范围是( ). 1 B.(0,2) D.(0,+∞)

A.(-∞,0) C.(0,1) 二、填空题

x2+a 11.若函数 f(x)= 在 x=1 处取极值,则 a=________. x+1 1 1 3 12.(2014· 白鹭洲中学模拟)f(x)=2x-4sin x- 4 cos x 的图像在点 A(x0,f(x0)) 1 处的切线斜率为2,则 tan 2x0 的值为________. m 13. (2014· 扬州模拟)已知函数 f(x)=ln x- x (m∈R)在区间[1,e]上取得最小 值 4,则 m=________. 14.(2014· 镇安中学模拟)已知 f(x)=xex,g(x)=-(x+1)2+a,若存在 x1,x2 ∈R,使得 f(x2)≤g(x1)成立,则实数 a 的取值范围是________ . 三、解答题

15.(2013· 广东卷改编)设函数 f(x)=(x-1)ex-kx2. (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x∈[0,+∞)上是增函数,求实数 k 的取值范围. 16.(2014· 江西九校联考)已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=± 1 处取得极值. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若过点 A(1,m)(m≠-2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范 围. 17.(2014· 西工大附中模拟)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 30 元,并且每件产品须向总公司缴纳 a 元(a 为常数,2≤a≤5)的管理费,根据多 k 年的统计经验,预计当每件产品的售价为 x 元时,产品一年的销售量为ex(e 为自 然对数的底数)万件, 已知每件产品的售价为 40 元时, 该产品一年的销售量为 500 万件.经物价部门核定每件产品的售价 x 最低不低于 35 元,最高不超过 41 元. (1)求分公司经营该产品一年的利润 L(x)万元与每件产品的售价 x 元的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润 L(x)最大,并求出 L(x) 的最大值. 参考公式:(eax+b)′=aeax+b(a,b 为常数). 2 18.(2014· 临川二中模拟)已知函数 f(x)= x+aln x-2(a>0). (1)若对于任意 x∈(0,+∞)都有 f(x)>2(a-1)成立,试求 a 的取值范围; (2)记 g(x)=f(x)+x-b(b∈R),当 a=1 时,函数 g(x)在区间[e-1,e]上有两个 零点,求实数 b 的取值范围. 解 2 a ax-2 (1)f′(x)=-x2+ x= x2 .

2 由 f′(x)>0,解得 x>a; 2 由 f′(x)<0,解得 0<x<a. 2? ?2 ? ? 所以 f(x)在区间?a,+∞?上单调递增,在区间?0,a?上单调递减. ? ? ? ? 2 ?2? 所以当 x=a时,函数 f(x)取得最小值,ymin=f?a?. ? ?

因为对于任意 x∈(0,+∞)都有 f(x)>2(a-1)成立, ?2? 所以只需满足 f?a?>2(a-1)即可. ? ? 2 2 2 则2+aln a-2>2(a-1),即 aln a>a. a 2? 2 2 ? 由 aln a>a,解得 0<a< e.所以 a 的取值范围是?0, e?. ? ? 2 (2)依题意得 g(x)= x + ln x+x-2- b,其定义域为 (0 ,+∞).则 g′(x)= x2+x-2 x2 .由 g′(x)>0 解得 x>1; 由 g′(x)<0 解得 0<x<1. 所以函数 g(x)在区间(0,1)上为减函数,在区间(1,+∞)上为增函数.又因为 函数 g(x)在区间[e-1,e]上有两个零点,

?g?e ?≥0, 所以?g?e?≥0, ?g?1?<0,

-1

2 解得 1<b≤e +e-1,

2 ? ? 所以 b 的取值范围是?1,e+e-1?. ? ?

古人相马不相皮,瘦马虽瘦骨法奇;世无伯乐良可嗤,千金市马惟市肥。 ——欧阳修


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