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(高考第一轮)第一轮复习学案-互斥事件概率


高三数学第一轮复习学案---互斥事件概率
一、 教学目标: 了解互斥事件的意义, 会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。 二、教学重点:互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式是重点;互斥事件、对立事件的 概念及二者的联系与区别及应用是难点。 三、教学过程: (一)主要知识: 1.不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。 2.其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。

3.从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此互 不相交。事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合,是全集中由事件 A 所含的结果组成 的集合的补集。 4.由于集合是可以进行运算的,故可用集合表示的事件也能进行某些运算。设 A、B 是 两个事件,那么 A+B 表示这样一个事件:在同一试验中,A 或 B 中至少有一个发生就 表示 A+B 发生。我们称事件 A+B 为事件 A、B 的和。 它可以推广如下:“ A1 ? A2 ? ? ? An ”表示这样一个事件,在同一试验中, A1, A2,?, An 中至少有一个 发生即表示 A1 ? A2 ? ? ? An 发生,事实上,也只有其中的某一个会发生。 5.如果事件 A、B 互斥,那么事件 A+B 发生的概率,等于事件 A、B 分别发生的概率的 和。即 P(A+B)=P(A)+P(B)。 6.由于 A ? A 是一个必然事件,再加上 P(A+B)=P(A)+P(B) ,故 P( A ? A) ? P( A) ? P( A) ? 1 ,于是 P( A )=1-P(A) ,这个公式很有用,常可使概率的计算得到 简化。当直接求某一事件的概率较为复杂时,可转化去求其对立事件的概率。 7.值得注意的是,如果两个事件不互斥,就不能运用上面的公式。例如把抛掷一个正方 形玩具(各面分别标有数 1 ~ 6)作为一次试验,事件 A 表示出现奇数(指向上的数是奇数) , 事件 B 表示向上的数不超过 3。那么 A 与 B 就不互斥,因为如果出现 1 或 3,都表示 A 与 B 同时发生了。现在再看 A+B 这一事件,这个事件包括 4 种结果,出现 1、2、3 和 5。所 以 P( A ? B) ? ,而 P( A) ? ,P( B ) ? ,显然 P(A+B) ? P(A)+P(B) 。 (二)例题分析: 例 1:①在所有的两位数 是( C) A
2 3 1 2 1 2

?10,99? 中,任取一个数,则这个数能被 2 或 3 整除的概率
2 3
D

5 6

B

4 5

C

1 2

②从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是 ( C) A.至少有 1 个白球,都是白球 B 至少有 1 个白球,至少有 1 个红球, C 恰有 1 个白球,恰有 2 个白球, D 至少有 1 个白球,都是红球。 ③从编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的十个球中,任取 5 个球,则这 5 个球的

编号之和为奇数的概率是



1 ) 2

思维点拨:正确理解互斥事件 、对立事件的概念。 例 2: (1)今有标号为 1,2,3,4,5 的五封信,另有同样标号的五个信封,现将五封信任 意地装入五个信封,每个信封装入一封信,试求至少有两封信配对的概率 。 解:设恰有 2 封信配对为事件 A,恰有 3 封信配对为事件 B,恰有 4 封信(也即 5 封信配对) 为事件 C,则“至少有 2 封信配对”事件等于 A+B+C 且 A、B、C 两两互斥。

? P( A) ?

3 C52 ? 2 C5 1 , P ( B ) ? , P(C ) ? 5 , 5 5 A5 A5 A5

?所求概率为 P( A) ? P( B) ? P(C ) ?
答:至少有两封信配对的概率是

31 120

31 。 120

(2)有三个人,每个人都以相同的概率被分配到四个房间中的每一间,求 ①三个人都被分配到同一个房间的概率; ②至少有二人分配到同一房间的概率。 解:① P( A) ?

4 1 。 ? 4 ? 4 ? 4 16

3 A4 5 ② P( B) ? 1 ? P( B ) ? 1 ? 3 ? 8 4

思维点拨:运用互斥事件的概率加法公式解题时, 首先要分清事件是否互斥,同时要学会 把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏。 例 3: (1)8 个篮球队中有 2 个强队,先任意将这 8 个队分成两个组(每组 4 个队)进行比 赛,则这两个强队被分在一个组内的概率是 ; (2)从一副 52 张的扑克牌中任取 4 张,求其中至少有两张牌的花色相同的概率。 (1)解法一:2 个强队分在同一组,包括互斥的两种情况:2 个强队都分在 A 组和都分在 B 组。2 个强队都分在 A 组,可看成“从 8 个队中抽取 4 个队,里面包括 2 个强队”这一事件, 其概率为

C 62 ;2 个强队都分在 B 组,可看成“从 8 个队中抽取 4 个队,里面没有强队”这 C84 C 64 C 62 C 64 3 P ? ? ? 。 ;因此 2 个强队分在同一个组的概率为 C84 C84 7 C84

一事件,其概率为

解法二: “2 个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2 个组中各有一个强队” ,而两个 组中各有一个强队,可看成“从 8 个队中抽取 4 个队,里面恰有一个强队” ,这一事件,其 概率为
1 3 1 3 C2 C6 C2 C6 4 3 P ? 1 ? ? 1? ? 。 ,因此 2 个强队分在同一个组的概率为: 4 4 7 7 C8 C8

(2)解法一:任取四张牌,设至少有两张牌的花色相同为事件 A;四张牌是同一花色为事 件 B1;有 3 张牌是同一花色, ;另一张牌是其他花色为事件 B2;每两张牌为同一花色为事件 B3;只有两张牌为同有花色,另两张牌为不同花色为事件 B4。可见 B1、B2、B3、B4 彼此互斥,

且 A= B1+B2+B3+B4。? P ( B1 ) ?

1 4 1 3 1 1 C4 C13 C4 C13C 3 C13 , P ( B ) ? 2 4 4 C 52 C 52

2 2 2 1 2 1 2 C4 C13C13 C4 C13C 32 (C13 ) P( B3 ) ? P ( B4 ) ? 4 4 C 52 C52

? P( A) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? P( B3 ) ? P( B4 ) ? 0.8945 。
解法二:由解法一知, A 为取出的四张牌的花色各不相同,? P ( A ) ?
1 4 (C13 ) ? 0.8945 。 4 C52 1 4 (C13 ) , 4 C 52

? P( A) ? 1 ? P( A ) ? 1 ?

答:至少有两张牌的花色相同的概率是 0.8945。 思维点拨:直接计算符合条件的事件个数较繁时,可间接地先计算对立事件的个数,求得对 立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率。 例 4: 在一个口袋里放着除颜色外,其他情况完全相同的 9 个小球,其中有 3 个红球、2 个黄球、4 个蓝球。今从中任意摸出两个球来,求下述事件的概率: (1) 两球皆为红球; (2) 两球皆为黄球; (3) 此二球皆为红球或皆为黄球; (4) 此二球是红球或黄球; (5) 两球皆为蓝球。 解:从 9 个球中任意取出两个球的所有不同结果数为 C 9 。 (1) 记“两球皆为红球”为事件 A, 则 P ( A) ?
2

C 32 1 ? ; 2 C 9 12
2 C2 1 ? ; 2 C 9 36

(2) 记“两球皆为黄球”为事件 B, 则 P( B) ?

(3)记“此二球皆为红球或皆为黄球” 为事件 C,
2 C 32 ? C 2 1 ? ; 则 P (C ) ? 2 9 C9

(4)记“此二球是红球或黄球” 为事件 D, 则 P( D) ?

C 52 5 ? ; 2 C 9 18

(5)记“两球皆为蓝球” 为事件 E,

则 P( E ) ?

2 C4 1 ? ; 2 C9 6

思维点拨:事件 A+B 及其发生的概率 练习: 变式:袋中有 5 个白球,3 个黑球,从中任意摸出 4 个,求下列事件发生的概率: (1) 摸出 2 个或 3 个白球; (2) 至少摸出 1 个白球; (3) 至少摸出 1 个黑球。 解:从 8 个球中任意摸出 4 个共有 C 8 种不同的结果。记从 8 个球中任取 4 个,其中恰有 1 个白球为事件 A1,恰有 2 个白球为事件 A2,3 个白球为事件 A3,4 个白球为事件 A4,恰有 i 个黑球为事件 Bi ,则 (1) 摸出 2 个或 3 个白球的概率:
3 1 C 52 C 32 C5 C3 6 P1 ? P( A2 ? A3 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? ? ? ; 4 7 C8 C84
4

(2) 至少摸出 1 个白球的概率:

P2 ? 1 ? P( B4 ) ? 1 ? 0 ? 1 ;
(3) 至少摸出 1 个黑球的概率: (4)

P3 ? 1 ? P ( A4 ) ? 1 ?

C 54 13 ? C84 14

例 5、要向一部分人征求一道数学难题的解答,假定被征解的每一个人都是独立地求解,且 解出这道题的概率都是 0.1,问: (1) 其中甲、乙两人都解出这道题的概率是多少? (2) 其中甲、乙两人都解不出这道题的概率是多少? (3) 其中甲、乙两人恰有一人解出这道题的概率是多少? (4) 其中甲、乙两人至少有一人能解出这道题的概率是多少? (5) 为了使这道题得解的概率超过 95%,至少要向多少人征解? 解: (1) P? A ? B ? ? P? A?P?B ? ? 0.1? 0.1 ? 0.01

?2?P?A ? B ? ? P( A) ? P?B ? ? 0.9 ? 0.9 ? 0.81 ?3?P?A ? B ? ? P?A ? B ? ? P?A?? P?B ? ? P? A? ? P?B ? ? 0.9 ? 0.1 ? 0.1? 0.9 ? 0.18 ?4?1 ? P?A ? B ? ? 1 ? 0.9 ? 0.9 ? 0.19
或 P ? P? A ? B ? ? P A ? B ? P B ? A ? 0.01 ? 0.18 ? 0.19 (5)设至少要向 n 个人征解,事件 A 表示解出这道题,事件 Ai 表示第 i 个人解出这道题

?

? ?

?

A ? A1 ? A2 ? An ,且 A1 , A2 ,??, An 相互独立

? P A ? P A1 ? P A2 ? P An ? ?1 ? 0.1? ? 0.9 n
n

?? ? ? ? ? ? ?
??
lg 0.05 ? 28.4 lg 0.9

P? A? ? 1 ? P A ? 1 ? 0.9 n ? 0.95

0.9 n ? 0.05, n ?

所以至少要向 29 人征解。 (三)巩固练习: 一、选择题 1.两个事件互斥是这两个事件对立的[ ] A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、即不充分也不必要条件 2.一个口袋内有9张大小相同的票,其号数分别是1,2,3,9,从中任取2张,其号数 至少有1个为偶数的概率等于[ ] A、
5 9

B、

4 9

C、

5 18

D、

13 18

3.在第 3,6,16 路公共汽车的一个停靠站(假设这个车站只能停靠一辆公共汽车) ,有一位 乘客需在 5 分钟之内赶到厂里, ,他可乘 3 路或 6 路公共汽车到厂里,已知 3 路车、6 路车 在 5 分钟之内到此车站的概率分别为 0.20 和 0.60,则该乘客在 5 分钟内能乘到所需车的概 率为[ ] A、0.2 B、0.6 C、0.8 D、0.12 4.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是[ ] A、至少有个黑球与都是黑球 B、至少有1个黑球与至少有1个红球 C、恰有1个黑球与恰有2个黑球 D、至少有1个黑球与都是红球现 5.一批产品共 10 件,其中有2件次品,现随机地抽取 5 件,则所取 5 件中至多有 1 件次品 的概率等于[ ] A、
1 14

B、

7 9

C、

1 2

D、

2 9 3 10

6.盒中有 10 只螺丝钉,其中有 3 只是坏的,现从盒中随机地抽取 4 个,那么

等于[

]

A、恰有 1 只是坏的之概率 B、恰有 2 只是好的之概率 C、4 个全是好的之概率 D、至多 2 只是坏的之概率 7.从一批羽毛球产品中任取一个,如果其质量小于 4.8 克的概率是 0.3,质量小于 4.85 克的 概率是 0.32,那么质量在[4.8,4.85)克范围内的概率是[ ] A、0.62 B、0.38 C、0.7 D、0.68 8.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为 40%,甲不输的概率为 90%,则甲、乙两人下成和棋的 概率为[ ] A、60% B、30% C、10% D、50% 选择题答案

1、B 2、D 3、C

4、C 5、B 6、B 7、B 8、D

四、小结: 1. 互斥事件不一定是对立事件、对立事件一定是互斥事件。在求用“至少”表达的事件的 概率时,先求其对立事件的概率往往比较简便。 2. 把一个复杂事件分解成几个彼此互斥的事件时,要做到不重复不遗漏。 3. 互斥事件的概率加法公式 利用互斥事件的概率加法公式来求概率,首先要确定事件彼此互斥,然后求出事件分别 发生的概率,再求其和。在具体计算中,利用 P( A ) ? 1 ? P( A) 或 P( A) ? 1 ? P( A ) 常 可使概率的计算简化。 五、作业:


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