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四川省资阳市高中2014届第一次诊断性考试数学(文)及答案


四川省资阳市高中 2011 级第一次诊断性考试

数 学(文史类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。 考 生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效。满分150分。考试时 间120分钟,考试结束后,将本试题卷和答题卡一并收回。
[来源:Z+xx+k.Com]

/>第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

[来源:学科网]

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? { 4,5,6,8 } , B ? { 3,5,7,8 } ,则 A ? B ? (A) { 3,5 } (C) { 5,8 } 2.已知向量 a ? (3, 4), b ? (1, 3),则 a ? 2b ? (A)(1, 2) (C)(2, 1) (B)(1, -2) (D)(2, -2) (B) { 6,8 } (D) { 3,4,5,6,7,8 }

3.已知 i 是虚数单位, a, b ? R ,且 (a ? i)i ? b ? 2i ,则 a ? b ? (A) 1 (C) ?2 4.函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域为 (A) [2, ?) ? (C) (1, ? (2, ?) 2) ? 5.命题 p : ? n ?Z , n ?Q ,则 (A) ?p : ? n ?Z , n ?Q (C) ?p : ? n0 ? Z , n0 ?Q (B) ?p : ? n ?Z , n ?Q (D) ?p : ? n0 ? Z , n0 ?Q (B) (0, ? (1, ?) 1) ? (D) (1, ?) ? (B) ?1 (D) ?3

6. ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 b2 ? c2 ? bc ? a2 ,则 A ? (A) (C)
2? 3

(B) (D)

5? 6

? 3

? 6

7.若把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象向右平移 m( m ? 0 )个单位,所得的图象关于原点对称, 3

?

则 m 的值可能是 (A) (C)

? 3 ? 6

(B) (D)

? 4

? 12

8.函数 y ? x ln | x | 的图象大致是

(A)

(B)

(C)

(D)

9.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若对于 任意 x≥0,都有 f(x+2)=f(x),当 x∈[0,2)时, f(x)=log2(x+1),则 f(-2013)+f(2014)的值为 (A)2 (C)-1 (B)1 (D)-2

10.如图,在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中,P 是△ CDE 内(含边 ??? ? ??? ? ??? ? 界)的动点,设向量 AP ? mAB ? nAF (m,n 为实数) ,则 m ? n 的取值 范围是 (A) (1, 3] (C) [3, 4] (B) [2, 4] (D) [1, 5]

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先用铅 笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

11.在平面直角坐标系中,角α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,若角α 终 边经过点 P(2, 4) ,则 sin ? ? _________. 12.若 2a ? 10 , b ? log5 10 ,则
1 1 ? ? ________. a b

13.已知向量 a,b 的夹角为 45? , | a |?| b |? 2 ,且 向量 a 与 ? b ? a 垂直,则实数 ? ? ____________. 14.已知 x ? R ,根据右图所示的程序框图,则
1 不等式 f ( x)≥ 的解集是____________________. 2

15.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数 的点称为整点.如果函数 f ( x) 的图象恰好通过 k ( k ? N* )个整点,则称 f ( x) 为 k 阶整点 函数. 给出下 列函数:
1 ① f ( x) ? cos x ;② f ( x) ? ? ( x ? 1)2 ;③ f ( x) ? ( ) x ? 2 ;④ f ( x) ? log0.6 ( x ? 1) . 3

其中是 1 阶整点函数的序号有_______ ________. (写出所有满足条件的函数的序号) 三、解答题:共 6 大题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分)在等比数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列. (Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)令 bn ? log2 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .

17. 本小题满分 12 分) ( 设向量 m ? (cos ? ,1) ,n ? (sin ? ,2) , m ∥ n , 且 其中 ? ? (0, ) . 2 (Ⅰ)求 sin ? ; 3 ? (Ⅱ)若 sin(? ? ? ) ? , ? ? (0, ) ,求 cos ? . 5 2

?

18. (本小题满分 12 分) f ( x) 是定义在实数集 R 上的奇函数, x ? 0 时,f ( x) ? ? x 2 ? 4 x . 设 当 (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式,并解不等式 f ( x)≥x ; (Ⅱ)设 g ( x) ? 2x ?1 ? m ,若对任意 x1 ? [?5, 1] ,总存在 x2 ? [2, ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , ? 5] 求实数 m 的取值范围.
[来源:Z+xx+k.Com]

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? )cos x ? sin xcos x ? 3sin 2 x ( x ? R ). 3 (Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中, A ? B , f ( B) ? 3 , AC ? 4 3 ,求 BC 边的最大值.

?

20. (本小题满分 13 分)如图,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一 个更大的矩形花坛 AMPN ,要求点 B 在 AM 上, D 在 AN 上, 点 点 C 在 MN 上, AB ? 3 米, AD ? 2 米. (Ⅰ)要使扩建成的花坛面积大于 27 米2 ,则 AN 的长度应 在什么范围内? (Ⅱ)当 AN 的长度是多少米时,扩建成的花坛面积最小?并求出最小面积.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2ln x ? x2 ? ax ( a ?R ). (Ⅰ)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程;
1 (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax ? m 在 [ , e] 上有两个零点,求实数 m 的取值范围; e

(Ⅲ)若对区间 (1, 内任意两个不等的实数 x1 , x2 ,不等式 2) 实数 a 的取值范围.
[来源:学科网]

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 恒成立,求 x1 ? x2

资阳市高中 2011 级第一次诊断性考试数学参考答案及评分标准(文史类)
13 一、 选择题: CBDAD, ACBCC. 填空题: 2 5 ; 二、 11. 12.1; 13. 2 ; [?1, ] ; 14. 15.①②④. 2 5 16.【解】 (Ⅰ)设 {an } 的公比为 q ,由 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列,得 4a1 ? a3 ? 4a2 .

又 a1 ? 1 ,则 4 ? q2 ? 4q ,解得 q ? 2 . ∴ an ? 2n ?1 ( n ? N* ). ··············6 分 ··········· ··· ·········· ···

(Ⅱ) bn ? log 2 2n ?1 ? n ? 1 ,∴ bn?1 ? bn ? 1 , {bn } 是首项为 0,公差为 1 的等差数列, n(n ? 1) 它的前 n 项和 Sn ? . ·································12 ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ··········· 2 分 17.【解】 (Ⅰ)∵ m ∥ n ,∴ 2cos? ? sin ? , ······················ 2 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· · 4 1 2 又 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,∴ sin 2 ? ? sin ? ? 1 ,∴ sin 2 ? ? , ·············· 4 分 ··········· ··· ·········· ···· 5 4 2 5 ? ∵ ? ? (0, ) ,∴ sin ? ? 0 ,故 sin ? ? . ··········· ··········· ·· 分 ··········· ·········· ·· 6 ·········· ··········· ·· 5 2 (Ⅱ)∵ ? ? (0, ) , ? ? (0, ) ,∴ ? ? ? ? ? ? . 2 2 2 2 2 5 5 3 4 ∵ sin(? ? ? ) ? ,∴ cos(? ? ? ) ? ; sin ? ? , cos ? ? . ··········· 9 分 ··········· ·········· · 5 5 5 5 ··········· ····· ·········· ····· cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ················11 分
? 5 4 2 5 3 2 5 . ··········· ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ······························· 12 ? ? ? ? 5 5 5 5 5

?

?

?

?

分 18.【解】 (Ⅰ)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; ··························1 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· 当 x ? 0 时,有 ? x ? 0 ,由 f ( x) ? ? f (? x) ? ?[?(? x)2 ? 4(? x)] ? x 2 ? 4 x .·········· 分 ········· 3 ·········
?? x 2 ? 4 x,x ? 0, ? ∴ f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ? 2 ························4 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· ? x ? 4 x, x ? 0. ? 当 x ? 0 时, f ( x) ? x 为 ? x2 ? 4 x ? x ,解得 0 ? x ? 3 ;

当 x ? 0 时, f ( x) ? x 为 x2 ? 4x ? x ,解得 x ? ?3 . 故不等式 f ( x) ? x 的解集是 {x | x ? ?3 或 0 ? x ? 3} . ···················· 6 分 ··········· ········· ·········· ·········· (Ⅱ)当 ?5 ? x ? ?1 时, f ( x) ? x2 ? 4 x ? ( x ? 2)2 ? 4 ,此时, f ( x) ?[?4, ; 5] 即 x1 ? [?5, 1] 时, f ( x1 ) ?[?4, . ····························· 分 ·········· ··········· ······· ? 5] ···························· 7 ∵ g ( x) ? 2x ?1 ? m 是 R 上的增函数,∴当 x2 ? [2, 时, g ( x2 ) ?[2 ? m,16 ? m] , ···· 分 ··· 8 ··· 5] ∵对任意 x1 ? [?5, 1] ,总存在 x2 ? [2, 使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,∴ [?4, ? [2 ? m, ? m] , ·10 · ? 5] 5] 16 分 ?2 ? m ? ?4, 则? 解得 ?11 ? m ? ?6 ,故实数 m 的取值范围是 [?11,? 6] . ·········· ········· 12 ········· ?16 ? m ? 5, 分
1 3 19.【解】 (Ⅰ) f ( x) ? 2( sin x ? cos x)cos x ? sin x cos x ? 3 sin 2 x 2 2
? 2sin x cos x ? 3(cos2 x ? sin 2 x) ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) . ···········2 分 ··········· ·········· 3 ? ? ? ? 5? 由 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? ,得 ? ? k? ? x ? ········ 5 ········ ? k? ( k ? Z ). ········· 分 2 3 2 12 12 ? 5? ∴ f ( x) 单调递增区间是 [? ? k?, ? k? ] ( k ? Z ). ················· 6 分 ··········· ······ ·········· ······· 12 12 ? 3 ? ? ? 2? (Ⅱ)由 f ( B) ? 3 得 sin(2 B ? ) ? . ∵ A ? B ,∴ 0 ? B ? ,则 ? ? 2B ? ? , 3 2 2 3 3 3

?

从而 2 B ?

?

3

?

?

3

,∴ B ?

?

3

. ··········· ··········· ·········· 8 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ···········

由正弦定理,得

4 3 sin

?
3

?

BC ,即 BC ? 8sin ?BAC . sin ?BAC

∵B?

?

3 3 3 ∴ ? sin ?BAC ? 1 , 4 3 ? BC ? 8 . 2

, ?BAC ? B ,∴

?

? ?BAC ?

2? . 3

∴当 ?BAC ?

?

2

,C ?

?

6

时, BC 取得最大值 8. ······················12 ··········· ·········· · ·········· ···········

分 20.【解】 (Ⅰ)设 AN ? x (米) ,则 x ? 2 . DN DC x?2 3 3x ∵ ?DCN ∽ ?AMN ,∴ ,则 , AM ? . ···········2 分 ··········· ·········· ? ? AN AM x AM x?2 3x 2 ∴花坛 AMPN 的面积 S ? AM ? AN ? ( x ? 2 ). ···················4 分 ··········· ········ ·········· ········ x?2 3x 2 由 S ? 27 ,得 ? 27 ,则 x2 ? 9 x ? 18 ? 0 ,∴ 2 ? x ? 3 或 x ? 6 , x?2 故 AN 的长度范围是 2 ? AN ? 3 或 AN ? 6 (米). ····················· 分 ··········· ········· 8 ·········· ·········· 3x 2 3[( x ? 2)2 ? 4( x ? 2) ? 4] 4 (Ⅱ)由 S ? ········ ······· ? ? 3[( x ? 2) ? ? 4] ? 24 , ········12 x?2 x?2 x?2 分 4 当且仅当 x ? 2 ? ,即 x ? 4 (米)时,等号成立. x?2 ∴当 AN 的长度是 4 米时,扩建成的花坛 AMPN 的面积最小,最小值为 24 米2 . ···· 13 ···· ···· 分 DN DC 【另】 (Ⅰ)设 DN ? x (米)( x ? 0 ),则 AN ? x ? 2 . ∵ ?DCN ? ?AMN ,∴ , ? AN AM x 3 6 则 , AM ? 3 ? . ······························· 2 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ·········· ? x ? 2 AM x 6 12 ∴花坛 AMPN 的面积 S ? AM ? AN ? (3 ? )( x ? 2) ? 3x ? ? 12 ( x ? 0 ). ······· 4 分 ······· ······· x x 12 由 S ? 27 ,得 3x ? ? 12 ? 27 ,则 x2 ? 5x ? 4 ? 0 ,∴ 0 ? x ? 1或 x ? 4 , x 故 AN 的长度范围是 2 ? AN ? 3 或 AN ? 6 (米). ····················· 分 ··········· ········· 8 ·········· ·········· 6 12 12 (Ⅱ)由 S ? (3 ? )( x ? 2) ? 3 x ? ? 12 ? 2 3 x ? ? 12 ? 24 , ·············12 ··········· ·· ·········· ·· x x x 分 12 当且仅当 3x ? ,即 x ? 2 (米)时,等号成立. x ∴当 AN 的 长度是 4 米时,扩建成的花坛 AMPN 的面积最小,最小值为 24 米2 .···· 13 ···· ···· 分 2 21.【解】 (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? 2ln x ? x2 ? 2 x , f ?( x) ? ? 2 x ? 2 ,切点坐标为 (11) , , x 切线的斜率 k ? f ?(1) ? 2 ,则切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 1 . ·········· 分 ········· 2 ········· 2 ?2( x ? 1)( x ? 1) (Ⅱ) g ( x) ? 2ln x ? x2 ? m ,则 g ?( x) ? ? 2 x ? , x x 1 1 ∵ x ? [ ,e] ,故 g ?( x) ? 0 时, x ? 1 .当 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 . e e

故 g ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 g (1) ? m ? 1. ························· 4 分 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ···· 1 1 1 1 1 又 g ( ) ? m ? 2 ? 2 , g (e) ? m ? 2 ? e2 , g (e) ? g ( ) ? 4 ? e2 ? 2 ? 0 ,则 g (e) ? g ( ) , e e e e e 1 ∴ g ( x) 在 [ , e] 上的最小值是 g (e) . ···························· 6 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ······· e ? g (1) ? m ? 1 ? 0, 1 1 ? 解得 1 ? m ? 2 ? 2 , g ( x) 在 [ , e] 上有两个零点的条件是 ? 1 1 e e ? g ( e ) ? m ? 2 ? e2 ? 0, ?
1 ··········· ·········· ······· 8 ·········· ··········· ······· ] . ··········· ··········· ······· 分 e2 f ( x ) ? f ( x2 ) (Ⅲ) 解法 1: 不妨设 1 ? x1 ? x2 ? 2 , 1 ? 2 恒成立等价于 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2( x2 ? x1 ) , x1 ? x2 即 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 .·································10 ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ···········

∴实数 m 的取值范围是 (1, ? 2

分 令 u( x) ? f ( x) ? 2 x ,由 x1,x2 具有任意性知, u ( x ) 在区间 (1, 内单调递减, 2) ∴ u '( x) ? f ?( x) ? 2 ? 0 恒成立,即 f ?( x) ? 2 恒成立, ··················· 12 ··········· ········ ·········· ········· 分 2 2 ∴ ? 2 x ? a ? 2 , a ? 2 x ? ? 2 在 (1, 上恒成立. 2) x x 2 2 令 h( x) ? 2 x ? ? 2 ,则 h?( x) ? 2 ? 2 ? 0 ,························ 13 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· x x 分 2 ∴ h( x) ? 2 x ? ? 2 在 (1, 上单调递增,则 h( x) ? h(1) ? 2 , 2) x ∴实数 a 的取值范围是 (??, . ······························ 14 ·········· ··········· ········· 2] ······························ 分 解法 2:由不等式可知,函数图象在区间 (1, 内任一割线的斜率都小于 2, y 2) C B 如图所示.由于对区间内任一点 C , 都存在割线 AB 平行于过点 C 的切线, 而 A AB 斜率小于 2,所以点 C 的切线斜率也小于 2,由点 C 的任意性,所以任 O 1 x 2 一切线斜率都小于 2; 反之, 若区间 (1, 内任一切线斜率都小于 2, 由于对任一条割线 AB , 都存在 A、B 间一点 C , 2) 使得点 C 的切线与割线 AB 平行,所以 AB 的斜率必定小于 2,所以任一割线斜率都小于 2. f ( x1 ) ? f ( x2 ) 故对任意 1 ? x1 ? x2 ? 2 , ······· 12 ······· ? 2 ?对任意 1 ? t ? 2 , f ?(t ) ? 2 , ········ x1 ? x2 分 2 2 由 f ( x) ? 2ln x ? x2 ? ax ,得 f ?( x) ? ? 2 x ? a ,由 f ?( x) ? 2 ,即 ? 2 x ? a ? 2 , x x 2 2 2 ∴ a ? 2 x ? ? 2 在 (1, 上恒成立.令 h( x) ? 2 x ? ? 2 ,则 h '( x) ? 2 ? 2 ? 0 , ····· 13 ····· ····· 2) x x x 分 2 ∴ h( x) ? 2 x ? ? 2 在 (1, 上单调递增, h( x) ? h(1) ? 2 , 2) x ∴实数 a 的取值范围是 (??, . ······························ 14 ·········· ··········· ········· 2] ······························ 分


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