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高中数学(理)选修2-1同步练习:1.2.2充要条件


1.2.2 充要条件
一、选择题 1.若非空集合 A、B、C 满足 A∪B=C,且 B 不是 A 的子集,则( A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件,也不是“x∈A”的必要条件 1 2.“m= ”是“直线(m+2)x+3my+

1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 互相垂直”的 2 ( ) )

A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列命题中的真命题有( )

①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等; → → ②△ABC 中,AB· BC<0 是△ABC 为钝角三角形的充要条件; ③2b=a+c 是数列 a、b、c 为等差数列的充要条件; ④△ABC 中,tanAtanB>1 是△ABC 为锐角三角形的充要条件. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

4.“a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.条件 p:“直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上截距的两倍”;条件 q:“直线 l 的斜率为 -2”,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(09· 浙江理)已知 a,b 是实数,则“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ) )

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题 7.平面向量 a、b 都是非零向量,a· b<0 是 a 与 b 夹角为钝角的________条件. 8. 函数 f(x)的定义域为 I, p: “对任意 x∈I, 都有 f(x)≤M”. q: “M 为函数 f(x)的最大值”, 则 p 是 q 的________条件. 三、解答题 9.已知命题 p:|x-8|≤2,q: x-1 x+1 >0,r:x2-3ax+2a2<0(a>0).若命题 r 是命题 p 的必

要不充分条件,且 r 是 q 的充分不必要条件,试求 a 的取值范围.

10.设 α、β 是方程 x2-ax+b=0 的两个实根,试分析 a>2 且 b>1 是两根 α、β 均大于 1 的 什么条件?

1.2.2 充要条件
一、选择题 1. [答案] B [解析] ∵非空集合 A、B、C 满足 A∪B=C,且 B? A,∴由 x∈A?x∈A∪B?x∈C. 由 x∈C?x∈A∪B?x∈A 或 x∈B. ∵B A,∴不一定有 x∈A,∴选 B.

2. [答案] B [解析] (m+2)x+3my+1=0 与(m-2)x+(m+2)y-3=0 互相垂直的充要条件是(m+2)(m- 2)+3m(m+2)=0, 即(m+2)(4m-2)=0. 1 ∴m=-2,或 m=2. 故为充分不必要条件. 3. [答案] B [解析] 两直线平行不一定有斜率,①假. AB BC AB BC 由→· →<0 只能说明∠ABC 为锐角,当△ABC 为钝角三角形时,→· →的符号也不能确定, 因为 A、B、C 哪一个为钝角未告诉, ∴②假;③显然为真. 由 tanAtanB>1,知 A、B 为锐角, ∴sinAsinB>cosAcosB, ∴cos(A+B)<0,即 cosC>0. ∴角 C 为锐角, ∴△ABC 为锐角三角形. π 反之若△ABC 为锐角三角形,则 A+B> 2 , ∴cos(A+B)<0, ∴cosAcosB<sinAsinB, ∵cosA>0,cosB>0, ∴tanAtanB>1,故④真. 4. [答案] A

[解析] 如 a=1,c=3,b=2,d=1 时,a+c>b+d, 但 a<b,故由“a+c>b+d”?/ “a>b 且 c>d”, 由不等式的性质可知,a>b 且 c>d,则 a+c>b+d, ∴“a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的必要不充分条件. 5. [答案] B [解析] 注意当直线经过原点时,两个截距均为零,斜率值可以任意. [点评] 涉及直线在两轴上截距成倍数关系的题目,莫漏掉过原点的情形. 6. [答案] C [解析] 当 a>0 且 b>0 时, a+b>0 且 ab>0; 当 ab>0 时,a,b 同号,又 a+b>0, ∴a>0,且 b>0.故选 C. 二、填空题 7. [答案] 必要不充分 [解析] 若 a 与 b 夹角为钝角,则 a· b<0,反之 a· b<0 时,如果 a 与 b 方向相反,则 a 与 b 夹 角不是钝角. 8. [答案] 必要不充分 [解析] 只有当(1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M,(2)存在 x0∈I,使 f(x0)=M,同时成立时,M 才是 f(x)的最大值,故 p?/ q,q?p, ∴p 是 q 的必要不充分条件. 9.[解析] 命题 p 即:6≤x≤10;命题 q 即:x>1;命题 r 即:a<x<2a.若记以上 3 个命题中 x 的取值构成的集合分别为 A,B,C,由于 r 是 p 的必要不充分条件,r 是 q 的充分不必要 1≤a≤6, 条件,所以有 A?C?B,结合数轴应有 2a≥10, 即 a 的取值范围是 5≤a≤6. 10.[分析] 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系,解题时需要搞清楚条件 p 与 结论 q 分别指什么,然后再验证 p?q 还是 q?p,还是 p?q. a>2 α >1, [解析] 根据韦达定理得 a=α+β,b=αβ,判定的条件是 p:b>1,结论是 q: β >1. (还要注 意条件中需要满足大前提 Δ=a2-4b≥0) α >1 (1)由β >1,得 a=α+β>2,b=αβ>1,∴q?p.

1 1 (2)为了说明 p?/q,可以举出反例:取 α=4,β=2,它满足 a=α+β=4+2>2,b=α· β=4 1 ×2=2>1,且满足 Δ>0,但 q 不成立. 由上述讨论可知:a>2 且 b>1 是α >1,β >1 的必要但不充分条件.


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