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第二章2.3-2.3.4课后知能检测


一、选择题 1. (2014· 海淀高一检测)圆 x2 + y2 +4x-4y+7=0 与圆 x2 + y2 -4x+10y+13 =0 的公切线的条数是( A .1 B.2 ) C .3 D.4

【解析】 由题意,两圆的圆心距 d= (-2-2)2 +(2+5)2= 65 ,半 径分别为 r1 =1,r2 =4,∵d>r1 +r2 ,∴两圆外离. ∴

它们有 4 条公切线. 【答案】 D

2.(2014· 天津高一检测)已知圆 x2 +y2 =4 与圆 x2 + y2 -6x+6y+14=0 关于 直线 l 对称,则直线 l 的方程是( A.x-2y+1=0 B.2x- y-1=0 C.x- y+3=0 D. x- y-3=0 【解析】 联立两圆的方程消去 x2 ,y2 得 )

-6x+6y+18=0, 即 x- y-3=0. 由圆的几何性质知,直线 l 的方程为 x- y-3=0. 【答案】 D

3.过两圆 x2 +y2 +6x+4y=0 及 x2 +y2 +4x+2y-4=0 的交点的直线方程 是( ) A.x+ y+2=0 C.5x+3y-2=0 B. x+ y-2=0 D.不存在

【解析】 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线,因此该直线方程为 x2 +y2 +6x+4y-(x2 +y2 +4x+2y-4)=0,即 x+ y+2=0. 【答案】 A

4.(2013· 山东高考)过点(3,1)作圆(x-1)2 +y2 =1 的两条切线,切点分别为

A,B,则直线 AB 的方程为( A.2x+ y-3=0 C.4x- y-3=0 【解析】

)

B.2x- y-3=0 D.4x+ y-3=0

设 P(3,1),圆心 C(1,0),切点为 A、B,则 P、A、C、B 四点

? 1?2 5 ? 共圆,且 PC 为圆的直径,∴四边形 PACB 的外接圆方程为(x-2)2 + ? ?y- 2? =4, ① 圆 C:(x-1)2 + y2 =1,② ①-②得 2x+ y-3=0,此即为直线 AB 的方程. 【答案】 A

5.过原点的直线与圆 x2 +y2 +4x+3=0 相切,若切点在第三象限,则该直 线的方程是( A.y= 3x C.y= ) B. y=- 3x

3 3 x D. y=- x 3 3

【解析】 因为圆心为(-2,0),半径为 1,由图可知直线的斜率为 3 3 ,所以直线方程为 y= x. 3 3 【答案】 C

= 4-r2

r

二、填空题 6.若圆 x2 +y2 =4 与圆 x2 +y2 -2ax+a2 -1=0 相内切,则 a=________. 【解析】 圆 x2 + y2 -2ax+a2 -1=0 的圆心为(a ,0),半径为 1,由题意可 知|a|=3,∴a=± 3. 【答案】 ± 3

7.点 P 在圆 x2 +y2 -8x-4y+11=0 上,点 Q 在圆 x2 +y2 +4x+2y+1=0 上,则|PQ|的最小值是________. 【解析】 若两圆相交或相切, 则最小值为 0; 若两圆外离, 则最小值为|C1C2 |

-r1 -r2 . (x-4)2 +(y-2)2 =9 的圆心为 C1 (4,2),半径 r1 =3. (x+2)2 +(y+1)2 =4 的圆心为 C2 (-2,-1),半径 r2 =2. 又|C1 C2 |=3 5 ,显然两圆相离, 所以|PQ|的最小值为 3 5 -5. 【答案】 3 5 -5

8.(2014· 长沙高一检测)已知直线 l:x+ y-2=0 和圆 C:x2 + y2 -12x-12y +54=0,则与直线 l 和圆 C 都相切且半径最小的圆的标准方程是________. 【解析】 圆 C 的标准方程为(x-6)2 +(y-6)2 =18,圆心 C(6,6),半径为 18 =3 2.圆心 C 到直线 l 的距离 d= |6+6-2| 10 = =5 2.则圆上的点到直线的 2 2

最短距离为 5 2 -3 2 =2 2 ,要使圆与直线 l 和圆 C 都相切且半径最小,则圆 的直径 2r=2 2 , r= 2.所以所求圆心在直线 y= x 上, 且圆心到直线的距离为 2 , 解得圆心坐标为(2,2),所以圆的标准方程为(x-2)2 +(y-2)2 =2.如图:

【答案】

(x-2)2 +(y-2)2 =2

三、解答题 9.已知两圆 x2 +y2 -2x+10y-24=0 和 x2 +y2 +2x+2y-8=0. (1)试判断两圆的位置关系; (2)求公共弦所在的直线方程; (3)求公共弦的长度. 【解】 (1)将两圆方程配方,化为标准方程:

C1 :(x-1)2 +(y+5)2 =50,C2 :(x+1)2 +(y+1)2 =10.

则圆 C1 的圆心为(1,-5),半径 r1 =5 2 ; 圆 C2 的圆心为(-1,-1),半径 r2 = 10. 又∵|C1 C2 |=2 5 ,r1 +r2 =5 2 + 10 , r1 -r2 =5 2 - 10 , ∴r1 -r2 <|C1C2 |<r1 +r2 .故两圆相交. (2)将两圆方程相减,得公共弦所在的直线方程为 x-2y+4=0. (3)两圆方程联立,得方程组 ?x2 +y2 -2x+10y-24=0, ① ? 2 2 ② ?x +y +2x+2y-8=0, 两式相减得 x=2y-4,③ 把③代入②得 y2 -2y=0, 解得 y=0 或 y=2. ?x=-4, ?x=0, 则? 或? ?y=0 ?y=2. 故两圆交点坐标为(-4,0)和(0,2). 因此,两圆的公共弦长为 (-4-0)2 +(0-2)2=2 5. 10.已知 P(-1,2)为圆 x2 +y2 =8 内一定点. (1)求过点 P 且被圆所截得的弦最短的直线方程; (2)求过点 P 且被圆所截得的弦最长的直线方程. 【解】 已知圆心 C(0,0),半径 r=2 2.

(1)当弦与 PC 垂直时,过点 P 且被圆所截得的弦最短. 2 1 因为 kPC= =-2,所以 k= , -1 2 1 因此所求的直线方程为 y-2= (x+1), 2 即 x-2y+5=0. (2)当弦过圆心 C 时,过点 P 且被圆所截得的弦最长. 因为 kPC=-2, 所以所求的直线方程为 y-2=-2(x+1), 即 2x+ y=0.

11.已知点 P(-2,-3)和以 Q 为圆心的圆(x-4)2 +(y-2)2 =9. (1)画出以 PQ 为直径,Q′为圆心的圆,再求出它的方程; (2)作出⊙Q 和⊙Q′的两个交点 A,B,直线 PA,PB 是以 Q 为圆心的圆的切 线吗?为什么? (3)求直线 AB 的方程.

【解】

(1)因为 P(-2,-3),Q(4,2)是以 Q′为圆心的圆的直径的两个端

点,所以以 Q′为圆心的圆的方程是(x+2)(x-4)+(y+3)(y-2)=0. 即 x2 +y2 -2x+ y-14=0, (2)PA,PB 是圆 (x-4)2 +(y-2)2 =9 的切线. 因为点 A,B 在圆 x2 +y2 -2x+ y-14=0 上,且 PQ 是直径,所以 PA⊥AQ , PB⊥BQ ,所以,PA,PB 是圆 (x-4)2 +(y-2)2 =9 的切线. (3)两方程(x-4)2 +(y-2)2 =9, x2 +y2 -2x+ y-14= 0 相减,得 6x+5y-25=0. 这就是直线 AB 的方程.


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