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抛物线及其标准方程同步试题


抛物线及其标准方程同步试题 一、选择题 1.若 A 是定直线 l 外的一定点,则过 A 与 l 相切圆的圆心轨迹是( A.圆 2.抛物线 B.椭圆 C.双曲线一支 ) D.10 ) ) D.抛物线

y 2 ? 10x 的焦点到准线的距离是(
B.5

A.2.5

C.7.5

3.已知原

点为顶点, x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线 2 x ? 4 y ? 11 ? 0 上,则此抛物线的方程是( A.

y 2 ? 11x

B.

y 2 ? -11x

C.

y 2 ? 22x


D.

y 2 ? -22x

4.抛物线

y ? 4ax2 (a ? 0) 的焦点坐标是(
B. (0,

A. (

1 ,0 ) 4a

1 ) 16 a

C. (0,-

1 ) 16 a

D. (

1 , 0) 16 a

5.抛物线 x

? ay2 (a ? 0) 的焦点坐标为(
B. (



A. (

1 ,0) a

1 ,0 ) 2a

C. (

1 ,0 ) 4a

D. a

? 0 时为 (

1 1 ,0) , a ? 0 时为 ( ? ,0) 4a 4a

6.抛物线

y ? 4x 2 的准线方程是(
? ?1
B.



A. x

y ? ?1

C. x

??

1 16

D.

y??

1 16


7.若点 P 到点 F ( 4,0) 的距离比它到直线 x ? 5 ? 0 的距离小 1,则 P 点的轨迹方程是( A.

y 2 ? ?16x
2

B.

y 2 ? ?32x


C.

y 2 ? 16x

D.

y 2 ? 32x

8.抛物线 x

? y ? 0 的焦点位于(

A. x 轴的负半轴上 9.与椭圆 4 x A.
2

B. x 轴的正半轴上

C.

y 轴的负半轴上

D.

y 轴的正半轴上

? 5 y 2 ? 20 有相同的焦点,且顶点在原点的抛物线方程是(
B.



y 2 ? 4x

y 2 ? ?4x

C. x

2

? 4y

D. x

2

? ?4 y
)条

10.过(0,1)作直线,使它与抛物线 A.1 B.2

y 2 ? 4x 仅有一个公共点,这样的直线有(
C.3 D .4

11.已知点 A(3,2) , F 是抛物线

y 2 ? 2x 的焦点,点 M
C. (1,

在抛物线上移动时, MA ? MF 取得最小值时 M

点的坐标为(



A.(0,0)

B. (

1 ,1) 2

2)

D.(2,2)

共5页

第1页

二、填空题 1.过点(-2,3)的抛物线的标准方程为__________. 2.点 M 与 F ( 4,0) 的距离比它到直线 x ? 5 ? 0 的距离小 1,则 M 点的轨迹方程为___________. 3.已知椭圆以抛物线

y 2 ? 4x 的顶点为中心,以此抛物线的焦点为右焦点,又椭圆的短轴长为 2,则此椭圆方程为___________.

4.在抛物线

y 2 ? 8x 上有一点 P ,它到焦点的距离是 20,则 P 点的坐标是_________. y 2 ? 4ax(a ? 0)
上一点 A(m, n) 到焦点 F 的距离等于 4 a ,则 m =______, n =______

5.已知抛物线

6.抛物线

y 2 ? 2x

的焦点弦的端点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2

? 3 ,则 | AB | =_______.

7.若正三角形的一个顶点在原点,另两个顶点在抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 上,则这个三角形的面积为_____
间的距离 |

8.抛物线

y 2 ? 16x 上的一点 P 到 x 轴的距离为 12,则 P 与焦点 F

PF |

=______.

9. 过抛物线

y 2 ? 2 px 对称轴上一点 C ( p,0) 作一条直线与抛物线交于 A, B 两点,若 A 点的纵坐标为 ? y 2 ? 16x 内,通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是________. y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的距离是 5,则 p =_________.

p , 则 B 点的纵坐标为______ 2

10.在抛物线

11.已知点(-2,3)与抛物线 三、解答题

1.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M (?3, m) 到焦点的距离等于 5,求抛物线的方程和 m 的值. 2.已知点

A(5,0) 和抛物线 y 2 ? 4x 上的动点 P ,点 M

分线段 PA 为 PM

: MA ? 3 : 1 ,求点 M

的轨迹方程.

3.求顶点在原点,以

y 轴为对称轴,其上各点与直线 3x ? 4 y ? 12 的最短距离为 1 的抛物线方程.

4.抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上, 程 5.若直线

A, B 为抛物线上两点,且 OA ? OB

, OA 方程为

y ? 2 x , | AB |? 5 3 ,求抛物线方

y ? kx ? 2 交抛物线 y 2 ? 8x 于 A, B 两点,且 AB 中点的横坐标是 2,求 | AB | .

6.过抛物线

y 2 ? 4x 的焦点引一直线,已知直线被抛物线截得的弦被焦点分成 2:1,求这条直线的方程.

7.某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱度是 4 米,在建桥时,每 4 米需用一根支柱支撑,求其中最长支柱长.

8.已知抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) ,过焦点 F

的直线 l 交抛物线交于

A, B 两点,直线 l 的倾斜角为 ? ,求证: | AB |?

2p sin 2 ?



9.是否存在同时满足下列两个条件的直线 l :①与抛物线 直平分.若不存在,说明理由;若存在,求出 l 的方程. 10.如果抛物线 线

y 2 ? 8x 有两个不同的交点 A, B ;②线段 AB 被直线 l1 : x ? 5 y ? 5 ? 0 垂

y ? x 上?

y 2 ? px 和圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 相交,它们在 x 轴上方的交点为 A, B ,那么当 p 为何值时,线段 AB 中点 M

在直

共5页

第2页

参考答案: 一、1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.C 8.C 9.B 10.B 11.D

二、1.





2.



3.

4.(18,12)或(18,-12);

5.





6.4

7.



8.13;

9.

10.



11.4;

三、1.据题意可知,抛物线方程应设为



),则焦点是



在抛物线上,且

,故



解得



抛物线方程



2.设











,而点

在抛物线

上,

,即所求点

的轨迹方程为

3.依题设可设抛物线方程为





此抛物线上各点与直线 相切.

的最短距离为 1, 此抛物线在直线

下方而且距离为 1 的直线





所求抛物线方程为:

4.设方程为





共5页

第3页



方程为

方程为



,由

,又





所求方程为

由对称性可知开口向左的方程为

5.

6.由

得焦点

,设所求弦两端点为



,直线







过焦点

,且

,故



由②③解得







代入①式得

故所求的直线方程为 7.3.84 米.

8.分



两种情况证明.

9.若存在直线

,则

垂直平分

,所以

.设

的方程为

,代入

共5页

第4页

整理得

,则

中点为

,代入

的方程得

,故

.经检验满足

,故符合条件的直线

存在,其方程为



10. 设 为 ,





, 由



可得

. 因



所以



.又

在直线

上,所以

,解得

,又由





.所以当

时,线段 的中点

在直线

上.

共5页

第5页


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