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【解析版】江苏省淮安市盱眙县马坝中学2012-2013学年高三(下)期初数学试卷


江苏省淮安市盱眙县马坝中学高三(下)期初 数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题 1. (3 分) (2010?盐城二模)已知全集 U={1,2,3,4},集合 P={1,2},Q={2,3},则 P∩ (?UQ)= {1} . 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,由补集的运算可得 CUQ,再由交集的运算可得答案. 解答:

解:根据题意,由补集的运算可得,CUQ={ 1,4}, 已知集合 P={1,2}, 由交集的运算可得,P∩ (CUQ)={1}. 点评: 本题考查集合的交、并、补的运算,注意运算结果是集合的形式.

2. (3 分)已知等差数列

)= ﹣



考点: 等差数列的通项公式;诱导公式的作用. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列中 ,知 解答: 解:∵ 等差数列中 ∴ ∴ tan(a1+a2009) = = , ,

,由此能求出 tan(a1+a2009)的值.

=﹣ . 点评: 本题考查等差数列的通项公式,解题时要认真审题,注意三角函数诱导公式的灵活运用.

3. (3 分)已知边长为 a 的等边三角形内任意一点到三边距离之和为定值,这个定值为 棱长为 a 的正四面体内任意一点到各个面的距离之和也为定值,则这个定值为:

,推广到空间,

a .

考点: 类比推理. 专题: 计算题;阅读型. 分析: 三角形内任意一点到三边距离和为定值是利用三角形面积相等得到的,类彼此可利用四面体的体积 相等求得棱长为 a 的正四面体内任意一点到各个面的距离之和.

解答: 解:边长为 a 的等边三角形内任意一点到三边距离之和是由该三角形的面积相等得到的, 由此可以推测棱长为 a 的正四面体内任意一点到各个面的距离之和可由体积相等得到. 方法如下,如图, 在棱长为 a 的正四面体内任取一点 P,P 到四个面的距离分别为 h1,h2,h3,h4. 四面体 A﹣BCD 的四个面的面积相等,均为 由体积相等得: 所以 故答案为 . . ,高为 . .

点评: 本题考查了类比推理,考查了学生的空间想象能力,训练了等积法求点到面的距离,是基础题. 4. (3 分) (2012?黄山模拟)函数 f(x)的导函数为 f′ (x) ,若对于定义域内任意 x1、x2(x1≠x2) ,有 恒成立,则称 f(x)为恒均变函数.给出下列函数: ① f(x)=2x+3; 2 ② f(x)=x ﹣2x+3; ③ f(x)= ; ④ f(x)=e ; ⑤ f(x)=lnx. 其中为恒均变函数的序号是 ① ② . (写出所有满足条件的函数的序号) 考 导数的运算;命题的真假判断与应用. 点: 专 计算题;新定义. 题: 分 析: 对于所给的每一个函数,分别计算 等,从而根据恒均变函数”的定义,做出判断. 解 f(x)=2x+3, 答: 解:对于① = =2, =2,满足
x



的值,检验二者是否相

,为恒均变函数.

对于② f(x)=x ﹣2x+3, = ﹣2 =2? 均变函数. ﹣2=x1+x2﹣2,故满足 ,为恒 = =x1+x2

2

对于;③



=

=



=﹣

=



显然不满足

,故不是恒均变函数.

对于④ f(x)=e ,

x

=



=

,显然不满足

,故不是恒均变函数.

对于⑤ f(x)=lnx,

=

=



=



显然不满足

,故不是恒均变函数.

点 评:

故答案为 ① ② . 本题主要考查函数的导数运算,“恒均变函数”的定义,判断命题的真假,属于基础题.

5. (3 分)定义方程 f(x)=f'(x)的实数根 x0 叫做函数 f(x)的“新驻点”,如果函数 g(x)=x,h(x) =ln(x+1) ,φ(x)=cosx( γ>α>β . 考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 新定义. 分析: 分别对 g(x) ,h(x) ,φ(x)求导,令 g′ (x)=g(x) ,h′ (x)=h(x) ,φ′ (x)=φ(x) ,则它们 的根分别为 α,β,γ,即 α=1,ln(β+1)= ,γ ﹣1=3γ ,然后分别讨论 β、γ 的取值范围即可.
3 2

)的“新驻点”分别为 α,β,γ,那么 α,β,γ 的大小关系是

解答:

解:∵ g′ (x)=1,h′ (x)= 由题意得: α=1,ln(β+1)= ① ∵ ln(β+1)=
β+1

,φ′ (x)=﹣sinx,

,cosγ=﹣sinγ, ,

∴ (β+1) =e, 当 β≥1 时,β+1≥2, ∴ β+1≤ <2, ∴ β<1,这与 β≥1 矛盾, ∴ 0<β<1; ② ∵ cosγ=﹣sinγ, ∴ γ>1. ∴ γ>α>β. 故答案为:γ>α>β. 点评: 函数、导数、不等式密不可分,此题就是一个典型的代表,其中对对数方程和三次方程根的范围的 讨论是一个难点.

6. (3 分)设 a,b 为正数,且 a+b=1,则 .

的最小值是

考点: 基本不等式;平均值不等式. 专题: 整体思想. 分析: 因为 a+b=1,所以 可变形为( 解答: 解:∵ a,b 为正数,且 a+b=1, ∴ =( ) (a+b)= +1+ ,即 b= . a 时取等号.

) (a+b) ,展开后即可利用均值不等式求解.

+2

=



当且仅当 故答案为

点评: 本题考查了利用均值不等式求最值,灵活运用了“1”的代换,是高考考查的重点内容.

7. (3 分) (2009?辽宁)若函数 f(x)=

在 x=1 处取极值,则 a= 3 .

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先求出 f′ (x) ,因为 x=1 处取极值,所以 1 是 f′ (x)=0 的根,代入求出 a 即可. 解答: 解:f′ (x)= = .

因为 f(x)在 1 处取极值, 所以 1 是 f′ (x)=0 的根, 将 x=1 代入得 a=3. 故答案为 3 点评: 考查学生利用导数研究函数极值的能力.

8. (3 分)若 A(﹣2,﹣3) ,B(1,1) ,点 P(a,2)是 AB 的垂直平分线上一点,则 a=



考点: 中点坐标公式. 专题: 计算题. 分析: 因为 P 为 AB 垂直平分线上一点,根据垂直平分线定理可得 AP=BP,利用两点间的距离公式列出方 程求出 a 即可. 解答: 解: 点P (a, 2) 是 AB 的垂直平分线上一点, 则 AP=BP, 即 = 两边平方得:4a+4+25=﹣2a+1+1,解得 a=﹣ 故答案为:﹣ 点评: 考查学生会利用垂直平分线定理解决数学问题,灵活运用两点间的距离公式化简求值.

9. (3 分)已知平面向量

,且满足

,则

的取值范围 [1,3] .

考点: 向量的模;平面向量数量积的性质及其运算律. 专题: 计算题. 分析: 由| |+| |≥| + |,| |﹣| |≤| + |.知| + |﹣| |≤| |≤| + |+| |,由此能求出| |的取值范围. 解答: 解:| |+| |≥| + |, 类似于三角形两边之和大于第三边,但这里的边可以重合,所以等号成立的; 同理:| |﹣| |≤| + |. 类似于两边之差小于第三边, 所以| + |﹣| |≤| |≤| + |+| | | |的取值范围是:1≤| |≤3. 故答案为:[1,3]. 点评: 本题考查向量的模的求法,解题时要认真审题,仔细解答. 10. (3 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n +n,那么它的通项公式为 an= 2n . 考点: 等差数列的前 n 项和;数列递推式. 专题: 计算题.
2

分析: 由题意知得 ,由此可知数列{an}的通项公式 an.

解答: 解:a1=S1=1+1=2, 2 2 an=Sn﹣Sn﹣1=(n +n)﹣[(n﹣1) +(n﹣1)] =2n. 当 n=1 时,2n=2=a1, ∴ an=2n. 故答案为:2n. 点评: 本题主要考查了利用数列的递推公式 an=Sn﹣Sn﹣1 求解数列的通项公式,属于基础题. 11. (3 分)已知曲线 y= x +2 与曲线 y=4x ﹣1 在 x=x0 处的切线互相垂直,则 x0 的值为
3 2



考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 3 2 分别对函数 y= x +2、y=4x ﹣1 求导得出在 x=x0 处的切线的斜率,由两切线的斜率积等于﹣1 得 x0 的方程,解方程得答案. 解答: 由 y= x +2 得 y′ =x ,在 x=x0 处的切线的斜率 由 y=4x ﹣1 得 y′ =8x,在 x=x0 处的切线的斜率 k2=8x0 又切线互相垂直,所以 k1?k2=﹣1,即 故答案为: 点评: 本题主要考查了利用导数求切线方程的方法及两条直线垂直与两斜率间的关系. ,解得 ,
2 3 2



12. (3 分) (2006?天津)设向量 .



的夹角为 θ,且



,则 cosθ=

考点: 平面向量数量积坐标表示的应用. 分析: 先求出 ,然后用数量积求解即可. 解答: 解:设向量 与 的夹角为 θ,且 ∴ , ,

则 cosθ=

=



故答案为: 点评: 本题考查平面向量的数量积,是基础题.

13. (3 分) (2012?陕西)观察下列不等式: , ,

… 照此规律,第五个不等式为 1+ + + + + < .

考点: 归纳推理. 专题: 探究型. 分析: 由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性:左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数 的分母是不等式序号 n+1 的平方,右边分式中的分子与不等式序号 n 的关系是 2n+1,分母是不等式 的序号 n+1,得出第 n 个不等式,即可得到通式,再令 n=5,即可得出第五个不等式 解答: 解:由已知中的不等式 1+ , ,1+ + ,…

得出左边式子是连续正整数平方的倒数和,最后一个数的分母是不等式序号 n+1 的平方 右边分式中的分子与不等式序号 n 的关系是 2n+1,分母是不等式的序号 n+1, 故可以归纳出第 n 个不等式是 1+ …+ = , (n≥2) ,

所以第五个不等式为 1+

+

+

+

+



故答案为:1+

+

+

+

+



点评: 本题考查归纳推理,解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性,由此得出通式,本题考 查了归纳推理考察的典型题,具有一般性 14. (3 分)在平面直角坐标系中,定义 d(P,Q)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点 P(x1,y1) ,Q(x2,y2)之间 的“折线距离”.在这个定义下,给出下列命题: ① 到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个正方形; ② 到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个圆; ③ 到 M(﹣1,0) ,N(1,0)两点的“折线距离”之和为 4 的点的集合是面积为 6 的六边形; ④ 到 M(﹣1,0) ,N(1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为 1 的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是 ① ③ ④ . (写出所有正确命题的序号) 考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 压轴题;阅读型. 分析: 先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合,然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可. 解答: 解:到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合{(x,y)||x|+|y|=1},是一个正方形故① 正确,② 错误;

到 M(﹣1,0) ,N(1,0)两点的“折线距离”之和为 4 的点的集合是{(x,y)||x+1|+|y|+|x﹣1|+|y|=4}, 故集合是面积为 6 的六边形,则③ 正确; 到 M(﹣1,0) ,N(1,0)两点的“折线距离”差的绝对值为 1 的点的集合{(x,y)||x+1|+|y|﹣|x﹣ 1|﹣|y|=1}={(x,y)||x+1|﹣|x﹣1|=1},集合是两条平行线,故④ 正确; 故答案为:① ③ ④ 点评: 本题主要考查了“折线距离”的定义,以及分析问题解决问题的能力,属于中档题. 二、解答题 3 2 15.已知函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0)的图象经过原点,f′ (1)=0 若 f(x)在 x=﹣1 取得极大值 2. (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)若对任意的 x∈[﹣2,4],都有 f(x)≥f′ (x)+6x+m,求 m 的最大值. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)本题是据题意求参数的题,题目中 x=﹣1 时有极大值 2,且 f′ (1)=0,函数图象过原点,可 转化出 4 个等式,利用其建立方程求解即可得函数 y=f(x)的解析式. (2)对任意的 x∈[﹣2,4],都有 f(x)≥f′ (x)+6x+m,可知当 x∈[﹣2,4]时恒有 f(x)≥f′ (x) +6x+m,将问题转化为 m≤f(x)﹣f′ (x)﹣6x 恒成立,再利用常数分离法进行求解. 2 解答: 解: (1)∵ f′ (x)=3ax +2bx+c(a≠0) , ∵ x=﹣1 时有极大值 2,∴ f′ (﹣1)=3a﹣2b+c=0 ① 又 f(0)=d=0 ② f′ (1)=3a+2b+c=0 ③ f(﹣1)=﹣a+b﹣c=2 ④ ① ② ③ ④ 联立得 a=1,b=0,c=﹣3,d=0. 故函数 f(x)=x ﹣3x . (2)∵ f(x)≥f′ (x)+6x+m, ∴ m≤f(x)﹣f′ (x)﹣6x,令 g(x)=f(x)﹣f′ (x)﹣6x=x ﹣3x ﹣9x+3,∴ g′ (x)=3x ﹣6x﹣9, 令 g′ (x)=0,得 x=﹣1 或 x=3, ∴ g(x)在[﹣2,﹣1]内单调递增,在[﹣1,3]内单调递减,在[3,4]内单调递增, ∴ g(x)min=g(3)=﹣24; ∴ m≤﹣24,即 mmax=﹣24. 点评: 本小题考点是导数的运用,考查导数与极值的关系,本题的特点是用导数一极值的关建立方程求参 数﹣﹣﹣求函数的表达式. 16.抛物线 x =4y 的焦点为 F,过点(0,﹣1)作直线 L 交抛物线 A、B 两点,再以 AF、BF 为邻边作平 行四边形 FARB,试求动点 R 的轨迹方程,并说明曲线的类型. 考点: 圆锥曲线的轨迹问题. 专题: 计算题. 分析: 设直线:AB:y=kx﹣1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,R(x,y) ,求出 F 的坐标,利用 AB 和 RF 是 平行四边形的对角线,对角线的中点坐标重合,直线与抛物线有两个交点,推出 k 的范围,整理出 R 的轨迹方程即可. 解答: 解:设直线:AB:y=kx﹣1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,R(x,y) ,由题意 F(0,1) . 2 由 y=kx﹣1,x =4y, 2 可得 x =4kx﹣4. ∴ x1+x2=4k.
2 3 2 2 3 2

∵ AB 和 RF 是平行四边形的对角线, ∴ x1+x2=x,y1+y2=y+1. 2 y1+y2=k(x1+x2)﹣2=4k ﹣2, 2 2 ∴ x=4k y=4k ﹣3,消去 k,可得得 x =4(y+3) . 又∵ 直线和抛物线交于不同两点, ∴ △ =16k ﹣16>0, |k|>1 ∴ |x|>4 所以 x =4(y+3) , (|x|>4) 点评: 本题是中档题,考查曲线轨迹方程的求法,注意挖掘题目的条件,推出直线的斜率的范围(这是容 易疏忽的地方) ,平行四边形的对角线的交点的特征,是解题的关键. 17. (2012?芜湖二模)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,给定两点 A(1,0) ,B(0,﹣2) ,点 C 满 足 ,其中 m,n∈R 且 m﹣2n=1.
2 2

(1)求点 C 的轨迹方程; (2)设点 C 的轨迹与双曲线 原点,求证: 为定值; ,求双曲线实轴长的取值范围. (a>0,b>0 且 a≠b)交于 M、N 两点,且以 MN 为直径的圆过

(3)在(2)的条件下,若双曲线的离心率不大于

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程;双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: (1)由向量等式,得点 C 的坐标,消去参数即得点 C 的轨迹方程; (2)将直线与双曲线方程组成方程组,利用方程思想,求出 x1x2+y1y2,再结合向量的垂直关系得 到关于 a,b 的关系,化简即得结论. (3)由(2)得 轴长 2a 的取值范围即可. 解答: 解: (1)设 C(x,y) ,∵ ∴ (x,y)=m(1,0)+n(0,﹣2) . ∴ ∵ m﹣2n=1, 从而 又e 得出 .解得双曲线实

∴ x+y=1 即点 C 的轨迹方程为 x+y=1(15 分)
2 2 2 2 2 2 2 2

(2)由

得(b ﹣a )x +2a x ﹣a ﹣a b =0

由题意得

(8 分)

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 则

∵ 以 MN 为直径的圆过原点,∴

.即 x1x2+y1y2=0. . 即 b ﹣a ﹣2a b =0.
2 2 2 2

∴ x1x2+ (1﹣x1) (1﹣x2) =1﹣ (x1+x2) +2x1x2= ∴ (3)∵ 为定值. (14 分)



∵ e







解得:0<a≤ ,0<2a≤1 ∴ 双曲线实轴长的取值范围是(0,1]. 点评: 本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识,考查曲线和 方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力. 18.设 0<a<b<1+a,解关于 x 的不等式(x﹣b) >(ax) . 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 不等式移项变形后, 利用平方差公式分解因式, 根据 0<a<b<1+a 分三种情况考虑: 当 0<a<1 时; 当 a=1 时;当 a>1 时,分别求出解集即可. 解答: 解:原不等式可化为[(1+a)x﹣b][(1﹣a)x﹣b]>0, ∵ 0<a<b<1+a, ∴ 当 0<a<1 时,不等式化为(x﹣ ∴ 不等式的解集为{x|x> 当 a=1 时,不等式化为(x﹣ ∴ 不等式的解集为{x|x< }; ) (x﹣ )<0, 或 x< ) ( x﹣ }; )>0,
2 2

) (﹣b)>0,

当 a>1 时,不等式化为(x﹣

∴ 不等式的解集为{x|

<x<

}.

点评: 此题考查了一元二次不等式的解法,利用了分类讨论的思想,是一道基本题型. 19.如图,正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各棱长都相等,D、E 分别是 CC1 和 AB1 的中点,点 F 在 BC 上且 满足 BF:FC=1:3. (1)若 M 为 AB 中点,求证:BB1∥ 平面 EFM; (2)求证:EF⊥ BC; (3)求二面角 A1﹣B1D﹣C1 的大小.

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 证明题. 分析: (1)先连接 EM、MF,根据中位线定理得到 BB1∥ ME,再由 线面平行的判定定理得到 BB1∥ 平面 EFM,即可. (2)取 BC 的中点 N,连接 AN,再由正三棱柱的性质得到 AN⊥ BC,再由 F 是 BN 的中点可得到 MF∥ AN,从而得到 MF⊥ BC、ME⊥ BC,再根据线面垂直的判定定理得到 BC⊥ 平面 EFM,进而可证明 BC⊥ EF. 解答: (1)证明:连接 EM、MF,∵ M、E 分别是正三棱柱的棱 AB 和 AB1 的中点, ∴ BB1∥ ME,又 BB1?平面 EFM,∴ BB1∥ 平面 EFM. (2)证明:取 BC 的中点 N,连接 AN 由正三棱柱得:AN⊥ BC, 又 BF:FC=1:3,∴ F 是 BN 的中点,故 MF∥ AN, ∴ MF⊥ BC,而 BC⊥ BB1,BB1∥ ME. ∴ ME⊥ BC,由于 MF∩ ME=M,∴ BC⊥ 平面 EFM, 又 EF?平面 EFM,∴ BC⊥ EF. (3)解 取 B1C1 的中点 O,连结 A1O 知,A1O⊥ 面 BCC1B1,由点 O 作 B1D 的垂线 OQ,垂足为 Q, 连结 A1Q,由三垂线定理,A1Q⊥ B1D,故∠ A1QD 为二面角 A1﹣B1D﹣C 的平面角,易得 ∠ A1QO=arctan 点评: 本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理.考查立体几何中的基本定理的应用. 20. (2010?安徽模拟)甲乙两个盒子里各放有标号为 1,2,3,4 的四个大小形状完全相同的小球,从甲盒 中任取一小球,记下号码 x 后放入乙盒,再从乙盒中任取一小球,记下号码 y,设随机变量 X=|x﹣y|. (1)求 y=2 的概率; (2)求随机变量 X 的分布列及数学期望. 考点: 等可能事件的概率;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意知 y=2 包括两种情况,一是 x=2,y=2,一是 x≠2,y=2,根据变量的结果对应的事件做

出两种情况的概率,这两种情况是互斥的,且每一种情况中包含的事件是相互独立事件,根据公式 得到结果. (2)由题意知随机变量的取值是 0、1、2、3,根据不同变量对应的事件得到概率,写出分布列和 期望,不同是一个必得分的题目. 解答: 解: (1)由题意知 y=2 包括两种情况,一是 x=2,y=2,一是 x≠2,y=2, ∴ P(y=2)=P(x=2,y=2)+P(x≠2,y=2)= (2)随机变量 X 可取的值为 0,1,2,3 当 X=0 时, (x,y)=(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) ∴ 当 X=1 时, (x,y)=(1,2) , (2,1) , (2,3) , (3,2) , (3,4) , (4,3) ∴ 同理可得 ∴ 随机变量 X 的分布列为

∴ 点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和期望,这种类型是近几年高考题中经常出现的,考查离散型随 机变量的分布列和期望,大型考试中理科考试必出的一道大题,文科考概率一般考查古典概型和几 何概型.


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