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2017届河北省衡水中学高三上学期摸底联考(全国卷)数学(文)试题(解析版)


第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1. 已知集合 A ? x | x 2 ? 3 x ? 0 , B ? ? x |1 ? x ? 3? ,则如图所示阴影部分表示的集合为(

?

?


/>
A.

?0,1?

B.

? 0,3?

C. ?1,3?

D. ?1,3?

【答案】C

考点:集合的运算. 【名师点睛】本题考查集合的运算;容易题;有关集合运算的考题,在高考中多以选择题或填空题形式 呈现,试题难度不大,多为低档题,对集合运算的考查主要有以下几个命题角度:1.离散型数集间的交、 并、补运算;2.连续型数集间的交、并、补运算;3.已知集合的运算结果求集合;4.已知集合的运算结 果求参数的值(或求参数的范围). 2. 已知向量 m ? ? a, 2 ? , n ? ?1,1 ? a ? ,且 m ? n ,则实数 a 的值为( A. 0 【答案】B 【解析】 试题分析:因为 m ? n ,所以 m ? n ? a ? 2(1 ? a ) ? 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 ,故选 B. 考点:向量的坐标运算. 3. 设复数 z 满足 ?1 ? i ??z ? 1 ? 2i (i 为虚数单位) ,则复数 z 对应的点位于复平面内(
3

??

?

??

?

) D. ?2

B. 2

C. ?2 或 1

??

?

?? ?



A.第一象限 【答案】A

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

考点:1.复数相关的概念;2.复数的运算. 4. 已知 4 张卡片上分别写着数字 1, 2,3, 4 ,甲、乙两人等可能地从这 4 张卡片中选择 1 张,则他们选择同 一张卡片的概率为( A. 1 【答案】C 【解析】 试题分析: 甲、 乙两人选择卡片的所有基本事件为 (1,1), (1, 2), (1,3), (1, 4), (2,1), (2, 2), (2,3), (2, 4) ,(3,1), ) B.

1 16

C.

1 4

D.

1 2

(3, 2) , (3,3), (3, 4), (4,1), (4, 2), (4,3), (4, 4) ,共 16 个基本事件,选择同一张卡片的有 4 个,所以他们
选择同一张卡片的概率为 P ? 考点:古典概型. 5. 若直线 l : mx ? ny ? 4 和圆 O : x ? y ? 4 没有交点,则过点 ? m, n ? 的直线与椭圆
2 2

4 1 ? ,故选 C. 16 4

x2 y 2 ? ? 1 的交点 9 4

个数为( A. 0 【答案】D 【解析】

) B. 至多有一个 C. 1 D. 2

试题分析: 因为直线 l : mx ? ny ? 4 和圆 O : x ? y ? 4 没有交点, 所以
2 2

4 m ?n
2 2

2 2 即 m ? n ? 2, ?2,

x2 y 2 ? ? 1 内部,所以过点 (m, n) 的直线与椭圆有两个公共 所以点 (m, n) 在圆 O 内,即点 (m, n) 在椭圆 9 4
点,故选 D. 考点:1.直线与圆的位置关系;2.点与圆、点与椭圆的位置关系;3.直线与椭圆的位置关系.

6. 在四面体 S ? ABC 中, AB ? BC , AB ? BC ? 面积是( A. 8 6? 【答案】D ) B. 6?

2, SA ? SC ?? 2, SB ? 6 ,则该四面体外接球的表

C. 24?

D. 6?

考点:1.球的切接问题;2.球的表面积与体积. 7. 已知 ?an ? 为等差数列, S n 为其前 n 项和,公差为 d ,若 A.

S 2017 S17 ? ? 100 ,则 d 的值为( 2017 17
D. 20



1 20

B.

1 10

C. 10

【答案】B 【解析】

n(n ? 1) S n na1 ? 2 d (n ? 1) 试题分析:因为 ? ? a1 ? d ,所以 n n 2 S 2017 S17 2017 ? 1 17 ? 1 1 ? ? a1 ? d ? (a1 ? d ) ? 1000d ? 100 ,所以 d ? ,故选 B. 2017 17 2 2 10
考点:等差数列的前 n 项和公式与性质. 8. 若函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ?? A ? 0 ? 的部分图象如图所示,则关于 f ? x ? 的描述中正确的是( )

A. f ? x ? 在 ? ? C. f ? x ? 在 ? ? 【答案】C

? 5? ? ? , ? 上是减函数 ? 12 12 ? ? 5? ? ? , ? 上是增函数 ? 12 12 ?

B. f ? x ? 在 ? D. f ? x ? 在 ?

? ? 5? ? , ? 上是减函数 ?3 6 ? ? ? 5? , ?3 6 ? ? 上是增减函数 ?

考点:三角函数的图象与性质. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质,属中档题;三角函数的图象与性质是高考的必考内 容,根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定 A ,再根据周期确定 ? ,由最高点的值或最 低点的值确定 ? ,求出解析式后再研究函数相关性质. 9. 某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是

23 ,则( 12



A. a ? 13 【答案】C

B. a ? 12

C. a ? 11

D. a ? 10

考点:程序框图.

1 3 1 2 ax ? ax ? 2ax ? 2a ? 1 的图象经过四个象限的一个充分必要条件是( 3 2 4 1 1 A. ? ? a ? ? B. ?1 ? a ? ? 3 3 2 6 3 C. ?2 ? a ? 0 D. ? ? a ? ? 5 16
10. 函数 f ? x ? ? 【答案】D 【解析】



试题分析: f ? ? x ? ? ax ? ax ? 2a ? a ( x ? 2)( x ? 1) ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?2 或 x ? 1 ,所以函数 f ( x) 的两
2

1 3 1 2 ax ? ax ? 2ax ? 2a ? 1 的图象经过四个象限的一个充分必要 3 2 6 3 条件是 f (?2) f ( ?1) ? 0 ? ? ? a ? ? ,故选 D. 5 16
个极值点为 ?2 和 1 ,所以函数 f ? x ? ? 考点:1.导数与函数的单调性、极值;2.函数的图象与性质. 11. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.

113 3

B. 35

C.

104 3

D.

107 4

【答案】C

考点:多面体的表面各与体积. 12. 已知函数 f ? x ? ? ? 数为( ) A. 5 个 【答案】B 【解析】 试题分析: 令t ? x ?

? ?log 5 ?1 ? x ?? x ? 1? ? ?? ? x ? 2 ? ? 2 ? x ? 1?
2

,则关于 x 的方程 f ? x ?

? ?

1 ? ? 2 ? ? a ,当 1 ? a ? 2 时实根个 x ?
D. 8 个

B. 6 个

C. 7 个

1 1 ? ? 则 f ? x ? ? 2 ? ? a 转化为 f (t ) ? a , 在直角坐标系内作出函数 y ? f ( x) 与 ?2, x x ? ?

函数 y ? a 的图象,由图象可知,当 1 ? a ? 2 时, f (t ) ? a 有三个根 t1 , t2 , t3 ,其中

?24 ? t1 ? ?4,1 ? t2 ? 2, 2 ? t3 ? 3 ,由 x ?
解,故选 B.

1 1 1 ? 2 ? t1 , x ? ? 2 ? t2 , x ? ? 2 ? t3 , 得 x 共有 6 个不同的 x x x

考点:函数与方程. 【名师点睛】本题考查函数与方程,属中档题;函数与方程是最近高考的热点内容之一,解决方法通常 是用零点存在定理或数形结合方法求解,如本题就是将方程转化为两个函数图象交点,通过观察图象交 点的个数研究方程根的个数的.

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13. 中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 ? 2, ?1? ,则它的离心率为 .

【答案】

5 2

考点:双曲线的几何性质; 14. 曲线 f ? x ? ? x ? 3 x ? 2 ln x 在 x ? 1 处的切线方程为
2



【答案】 x ? y ? 3 ? 0 【解析】
2 试题分析: f ?1? ? 1 ? 3 ? 2 ln1 ? ?2 , f ? ? x ? ? 2 x ? 3 ?

2 , f ? ?1? ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ,所以切线方程为 x

y ? 2 ? x ?1 即 x ? y ? 3 ? 0 .
考点:导数的几何意义. 15. 某大型家电商场为了使每月销售 A 和 B 两种产品获得的总利润达到最大,对某月即将出售的 A 和 B

进行了相关调査,得出下表:

如果该商场根据调查得来的数据,月总利润的最大值为 【答案】 960

元.

考点:线性规划. 【名师点睛】本题考查线性规划,属中题;线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基 本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的 距离,解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键. 16. 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型:数字 1 出现在第 1 行;数字 2,3 出现在第 2 行;数 字 6,5, 4 (从左至右)出现在第 3 行;数字 7,8,9,10 出现在第 4 行,依此类推,則第 20 行从左至右的第 4 个

数字应是



【答案】 194

考点:1.归纳推理;2.等差数列的前 n 项和公式. 【名师点睛】本题考查的是归纳推理、等差数列的前 n 项和公式,属中档题;归纳推理是从特殊事例中归 纳出一般性结论的推理,解题关键点在于从有限的特殊事例中寻找其中的规律,要注意从运算的过程中 去寻找.注意运算的准确性.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分 12 分)已知顶点在单位圆上的 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c , 且 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc . (1)求角 A 的大小; (2)若 b 2 ? c 2 ? 4 ,求 ?ABC 的面积. 【答案】(1) 60? ;(2) 【解析】 试题分析:(1) 由 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc 得 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc 代入余弦定理即可求出角 A ;(2)由正弦定理先 求出边 a ,再由余弦定理可求出 bc ,代入三角形面积公式即可. 试题解析: (1)由 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc 得 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc , 故 cos A ?

3 . 4

b2 ? c2 ? a 2 1 ? 2bc 2
∴ A ? 60?

又∵ 0 ? A ? ?

(2)由

a ? 2 得 a ? 2sin A ? 3 sin A

由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 即

? 3?

2

1 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos 60? ,即 3 ? 4 ? 2bc ? ∴ bc ? 1 2

∴ S ?ABC ?

1 1 3 . bc sin A ? ?1? sin 60? ? 2 2 4

考点:正弦定理与余弦定理. 【名师点睛】本题考查正、余弦定理的应用,容易题;解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余 弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定 理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要 考虑两个定理都有可能用到. 18. (本小题满分 12 分)如图,三棱住 ABC ? A1 B1C1 中, CA ? CB, AB ? AA1 , ?BAA1 ? 60 .
?

(1)证明: AB ? A1C ; (2)若 AB ? CB ? 2, A1C ?

6 ,求三棱住 ABC ? A1 B1C1 的体积.

【答案】(1)见解析;(2) 3 .

考点:1.线面垂直的判定与性质;2.多面体的表面积与体积. 19. (本小题满分 12 分)某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业,在一个开学季内,每售 出 1 盒该产品获利润 50 元;未售出的产品,每盒亏损 30 元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率 分布直方图,如图所示,该同学为这个开学季购进了 160 盒该产品,以 x (单位:盒,100 ? x ? 200 )表 示这个开学季内的市场需求量,(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润. (1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量 x 的中位数; (2)将 y 表示为 x 的函数; (3)根据直方图估计利润不少于 4800 元的概率.

【答案】(1)

?80 x ? 4800,100 ? x ? 160 460 ;(2) y ? ? ;(3) p ? 0.9 . 3 ?8000,160 ? x ? 200

考点:1.频率分布直方图;2.对立事件的概率. 20. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 过点 C ? 2, 0 ? 的直线与抛物线 y ? 4 x 相交于 A, B
2

两点, A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? .

(1)求证: y1 y2 为定值; (2)是否存在平行于 y 轴的定直线被以 AC 为直径的圆截得的弦长为定值?如果存在,求该直线方程和 弦长;如果不存在,说明理由. 【答案】(1)见解析;(2) 存在平行于 y 轴的定直线 x ? 1 被以 AC 为直径的圆截得的弦长为定值.

(解法 2)设直线 AB 的方程为 my ? x ? 2

由?

?my ? x ? 2 2 得 y ? 4my ? 8 ? 0 2 y ? 4 x ?
.

? y1 y2 ? ?8

因此有 y1 y2 ? ?8 为定值

(Ⅱ)设存在直线 l : x ? a 满足条件,则

AC 的中点 E (

x1 ? 2 y1 , ) , AC ? ( x1 ? 2) 2 ? y12 2 2
1 1 1 2 2 AC ? ( x1 ? 2) 2 ? y1 ? x1 ? 4 2 2 2

因此以 AC 为直径的圆的半径 r ? 又 E 点到直线 x ? a 的距离 d ?|

x1 ? 2 ?a| 2

所以所截弦长为 2 r ? d
2

2

?2

1 2 x ?2 ( x1 ? 4) ? ( 1 ? a) 2 4 2

?

x1 ? 4 ? ( x1 ? 2 ? 2a ) 2 ? ? 4(1 ? a ) x1 ? 8a ? 4a 2

2

当 1 ? a ? 0 即 a ? 1 时,弦长为定值 2,这时直线方程为 x ? 1 . 考点:1.抛物线的标准方程与几何性质;2.直线与抛物线的位置关系;3.直线与圆的位置关系. 【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系, 属难题;解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种:(1)从特殊入手,求出定点、定值、定线,再证明定点、 定值、定线与变量无关;(2)直接计算、推理,并在计算、推理的过程中消去变量,从而得到定点、定值、 定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效 地简化运算. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? ln x ? a, b ? R ? .
2

(1)当 a ? ?1, b ? 3 时, 求函数 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的最大值和最小值; 2 (2)设 a ? 0 ,且对于任意的 x ? 0, f ? x ? ? f ?1? ,试比较 ln a 与 ?2b 的大小. 【答案】(1) f ( x) 的最大值为 2 , f ( x) 的最小值为 2 ? ln 2 ;(2) ln a ? ?2b

?1 ?

? ?

(Ⅱ)由题意,函数 f(x)在 x=1 处取到最小值, 又 f ' ( x) ? 2ax ? b ?
'

1 2ax 2 ? bx ? 1 ? x x

设 f ( x) ? 0 的两个根为 x1 , x 2 ,则 x1 x 2 ? ? 不妨设 x1 ? 0, x 2 ? 0 ,

1 ?0 2a

则 f ( x) 在 (0, x 2 ) 单调递减,在 ( x 2 ,??) 单调递增,故 f ( x) ? f ( x 2 ) , 又 f ( x) ? f (1) ,所以 x 2 ? 1 ,即 2a ? b ? 1 2 ,即 b ? 1 ? 2a 令 g ? x ? ? 2 ? 4 x ? ln x ,则 g ' ? x ? ? 当0 ? x ?

1? 4x 1 令 g ' ? x ? ? 0 ,得 x ? , x 4

1 ? 1? 时, g ' ? x ? ? 0, g ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递增; 4 ? 4?

当 x

1 1 ? ? )上单调递减; ? x 时, g ' ? x ? ? 0, g ? x ? 在( , 4 4
?1? ? ? 1 ? ln 4 ? 0 ?4?

因为 g ? x ? ? g ?

故 g ? a ? ? 0 ,即 2 ? 4a ? ln a ? 2b ? ln a ? 0 ,即 ln a ? ?2b . 考点:1.导数与函数的单调性、极值、最值;2.函数与不等式.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, A, B, C , D 四点在同一个圆上, BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在 BA 的延长线上.

(1)若

EC 1 ED 1 DC 的值; ? , ? ,求 EB 3 EA 2 AB

(2)若 EF 2 ? FA?FB ,证明: EF ? CD .

【答案】(1)

6 ;(2)见解析. 6

考点:1.三角形相似;2.圆的性质与应用. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴非负半轴重合,直线 l 的参数方程为:

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 (t 为参数), 曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 4 cos ? . ? ?y ? 1 t ? ? 2
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 P, Q 两点, 求 PQ 的值. 【答案】(1) 曲线 C 的直角坐标方程为 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 4 , l 的普通方程为 x- 3 y +1 ? 0 ;(2) 7 .
2

考点:1.极坐标与直角坐标的互化;2,参数方程与普通方程的互化;3.直线参数方程参数的几何意义. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 2 x ? a ? 2 x ? 3 , g ? x ? ? x ? 1 ? 2 . (1)解不等式 g ? x ? ? 5 ; (2)若对任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立, 求实数 a 的取值范围. 【答案】(1)
[]

? x | ?2 ? x ? 4? ;(2) ? ??, ?5? ? ? ?1, ?? ? .

考点:1.含绝对值不等式的解法;2.含绝对值函数值域的求法.


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