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三视图还原立体图


三视图还原立体图
1.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积是( )

A.26

B.27

C.

57 2

D.28

2.若正三棱柱的三视图如图所示,该三棱柱的表面积是

A.

3
<

br />B.

9 3 2

C. 6 ? 3

D. 6 ? 2 3

3.如图,右边几何体的正视图和侧视图可能正确 的是 ..

正视图

侧视图

正视图

侧视图

A.

B.

正视图

侧视图

-1正视图

侧视图

C.

D.

【答案】A 【解析】根据三视图的定义,可知正视图为一个正方形以及内部的一个三角形;侧视图和正 视图一样,故答案为 A. 4.如图是某几何体的三视图,其中正视图为正方形,俯视图是腰长为 2 的等腰直角三角形, 则该几何体的体积是

6.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的全面积 为

A. 10 ? 4 3 ? 4 2 【答案】B

B. 10 ? 2 3 ? 4 2

C. 14 ? 2 3 ? 4 2

D. 14 ? 4 3 ? 4 2

【解析】根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形,一条侧棱垂直直角 梯形的直角顶点的四棱锥 其中 ABCD 是直角梯形, AB⊥AD, AB=AD=2, BC=4, 即 PA⊥平面 ABCD, PA=2。 且 CD ? 2 2 ,, PD ? 2 2 , PB ? 2 2 ,, PC ? 2 6 ,底面梯形的面积 为

(2 ? 4) ? 2 ?6, 2 1 1 1 S ?PAB ? ? 2 ? 2 ? 2 , S ?PAD ? ? 2 ? 2 ? 2 , S ?PBC ? ? 2 2 ? 4 ? 4 2 , 侧面三角形 DPC 2 2 2

中的高 DO ?

(2 2) 2 ? ( 6) 2 ? 2 ,
-2-

所以 S ?PDC ?

1 ? 2 6 ? 2 ? 2 3 ,所以该几何体的总面积为 2

6 ? 2 ? 2 ? 2 3 ? 4 2 ? 10 ? 2 3 ? 4 2 ,选 B.
7.空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 (A)8+2 5 (C)8+2 3 (B)6+2 5 (B)6+2 3

8.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末理】某四面体的三视图如图所示.该四面体的六条 棱的长度中,最大的是( )

(A) 2 5 (B) 2 6 (C) 2 7 (D) 4 2
-3-

【答案】C 【解析】由三视图可知该四面体为 V ? ABC ,其中

EC ? CB ? 2 , AE ? 2 3 , VC ? 2 , AE ? BE ,VC ? ABE .所以六条棱中,最大的为 VA 或者 AB . AC 2 ? AE 2 ? EC 2 ? (2 3) 2 ? 22 ? 16 ,所以
VA2 ? AC 2 ? VC 2 ? 16 ? 22 ? 20 ,此时 VA ? 20 ? 2 5 。
所以棱长最大的 AB 2 ? AE 2 ? EB 2 ? (2 3) 2 ? 42 ? 28 ,所以 AB ? 28 ? 2 7 ? 2 5 , 为 2 7 ,选 C. 9.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为

(8 ? ? ) 3 6 (6 ? ? ) 3 C. 6
A.

(8 ? 2? ) 3 6 (9 ? 2? ) 3 D. 6
B.

3

1

正视图

2

2 侧视图

【答案】A 【解析】 该几何体由底半径为 1 的半圆锥与底面为边长等于 2 正方 形的四棱锥组成,且高都为 3 ,因此该几何体体积为

1 ?1 1 3? 4 3 ? 8 ? ? ? 3 ? V ? ? ? ? ? ?12 ? ? 3 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 3 ? ? ? 3 ?2 3 6 3 6 ?
,故选 A. 10 一个几何体的三视图如下图所示.则该几何体的体积为_____

俯视图

【答案】32 【解析】由三视图可知,该几何体是一个棱长为 4 的正方体被一个平面截取一部分后余下的 一部分,如右图.连结 AC,NC,则这个几何体的体积是四棱锥 C-ABEN 的体积的两倍.则该 几何体的体积为 V ? 2 ? ?

1 1 ? (2 ? 4) ? 4 ? 4 ? 32 3 2

15.已知几何体 A—BCED 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角 三角形,正视图为直角梯形. (1)求此几何体的体积 V 的大小; (2)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (3)试探究在棱 DE 上是否存在点 Q,使得
-44 1 4 正视图 4 侧视图

俯视图

AQ ? BQ,若存在,求出 DQ 的长,不存在说明理由.

16.下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图. (Ⅰ)若错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。的中点,求证:错误!未找到引用 源。错误!未找到引用源。面错误!未找到引用源。; (Ⅱ)证明错误!未找到引用源。面错误!未找到引用源。; (Ⅲ)求面错误!未找到引用源。与面错误!未找到引用源。所成的二面角(锐角)的余弦 值.

-5-

(Ⅲ)分别以 BC,BA,BE 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 C( 4,0,0), D(4 ,4 , 0), E(0,0,2), A(0,4 ,0), P(0,4,4), ∵F 为 PD 的中点,∴F(2,4,2). ∵AF⊥面 PCD,∴ FA 为 面 PCD 的一个法向量,

FA =(-2,0,-2),设平面 PEC 的法向量为 n =(x,y ,z),
则 ?

? ?n ? CE ? 0 , ? ?n ? CP ? 0

∴ ?

?z ? 2x , 令 x=1, ∴ ?? x ? y ? z ? 0

n ? (1,?1,2) ,

-6-


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