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云南省玉溪一中2013-2014高二下学期第二次月考(文科数学)


玉溪一中高 2015 届高二下学期第二次月考 文科数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 请把答案填涂在答卷上. 1.若集合 A ? {x ? Z || x ? 1 |? 2}, B ? {x | log2 ( x ? 1) ? 1} , 则集合 A∩B 的元素个数为( ) A.0

B.2 C.5 D.8 )

1 ? 2i 2.已知 i 为虚数单位,复数 z ? ,则复数 z 的虚部是( 1? i 3 1 3 1 A. i B. C. ? i D. ? 2 2 2 2
3. 设 a, b ? R ,则“ ? a ? b? a2 ? 0 ”是“ a ? b ”的( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 4.已知 x,y 的取值如下表: x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

从散点图可以看出 y 与 x 线性相关,且回归方程为 y ? 0.95x ? a ,则 a ? ( A. 3.25 B. 2.6 C. 2.2 D. 0 5.在等比数列{an}中,若 a4,a8 是方程 x2-4x+3=0 的两根,则 a6 的值是( A.- 3 B. 3 C.± 3 D.± 3

) )

? ,? 为两个不同的平面, 6. 已知 l ,m ,n 为三条不同的直线, 下列命题中正确的是 (
A. l ⊥ m , l ⊥ n ,且 m, n ? ? ,则 l ⊥ ? . B.若平面 ? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? . C.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? . D.若 m // n , n ? ? ,则 m ? ? . 7.如右图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积等于( A.2 )



2 B. 3

4 C. 3

D.4 )

8.程序框图如下图所示,该程序运行后输出的 S 的值是(

开始

S ?3

n ?1

n ? 2014




S ?

1? S 1? S

n ? n ?1
结束

输出 S

1 1 C. ? D. ? 2 2 3 ?2 x ? y ? 0 ? 9.实数 x,y 满足 ? y ? x ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为 3,则实数 b 的值为( ?y ? ?x ? b ?
A.3 B. A.



4 9

B.—

4 9

C.

9 4

D.—

9 4

2 2 10. 记集 A ? ( x, y ) | x ? y ? 16 和集 B ? ?( x, y) | x ? y ? 4 ? 0, x ? 0, y ? 0? 表示的平面

?

?

区域分别为 ?1 , ?2 .若在区域 ?1 内任取一点 M ( x, y ) , 则点 M 落在区域 ? 2 的概率为( A.

)

1 2?

B.

1

?

C.

1 4

D.

? ?2 4?

11. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ? 3x ,则以它的顶点为焦 a 2 b2
) D.1

点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于( A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

12.已知 x0 是函数 f ( x) ? 2 sin x ? ? ln x( x ? (0, ? )) 的零点, x1 ? x 2 ,则 ①x 0 ? (1, e) ;②x0 ? (e, ? ) ;③ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ;④ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 其中正确的命题是( ) A.① ④ B.② ④

C.① ③

D.② ③

二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.请把答案写在答卷上. 13.已知向量 a 、 b 、 c 都是单位向量,且 a ? b ? c ,则 a ? c 的值为_________. 14.集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {0,1, 2,3, 4} ,点 P 的坐标为( m , n ) ,m? A ,n ? B, 则点 P 在直线 x ? y ? 5 下方的概率为 15. 函数 f ( x ) ? .[ 。

2x ? 1 ?1 3 ?1 的反函数是 f ( x), 则 f ( ) ? x 2 16.已知在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为

? ? x ? 3 ? 3cos ? , (? 为参数) ,以 ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? ? ? y ? 1 ? 3sin ?

? ? cos(? ? ) ? 0. 则直线 l 被圆 C 所截得的弦长为
6



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请把答案写在答卷上.解答应写出文字说明,证明过

程或演算步骤. 17.已知 a ? b ? c ? 1. (1)求 S= 2a ? 3b ? c 的最小值及取最小值时 a, b, c 的值。
2 2 2

(2)若 2a ? 3b ? c ? 1 ,求 c 的取值范围。
2 2 2

18.在等差数列 ?an ? 中,a1 ? 3 , 其前 n 项和为 S n , 等比数列 ?bn ? 的各项均为正数,b1 ? 1 , 公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ?

S2 . b2
1 ,求 ?c n ?的前 n 项和 T n . Sn

(1)求 an 与 b n ; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ?

19. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且 a 2 ? b2 ? c2 ? 3ab . (1)求角 C 的值; (2)若 ?ABC 为锐角三角形,且 c ? 1 ,求 3a ? b 的取值范围.

20. 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ⊥底 面 A B C D, 四 边 形 ABCD 是 直 角 梯 形 , AB ⊥ BC , AB ∥ CD , AB ? 2 BC ? 2CD ? 2 , PA ? 1 . P (Ⅰ )求证:平面 PBC ⊥ 平面 PAB; (Ⅱ )求点 C 到平面 PBD 的距离。 (Ⅲ),求 PC 与平面 PAD 所成的角的正弦值.

B C D

A

21.已知点 F (1,0) ,直线 l : x ? ?1 ,动点 P 到点 F 的距离与到直线 l 的距离相等. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)直线 m : y ? 3x ? b 与曲线 C 交于 A,B 两点,若曲 线 C 上存在点 D 使得四边形 FABD 为平行四边形,求 b 的值.

22.已知函数 f ( x) ? x 2 ? x , g ( x) ? ln x . (1)求函数 G( x) ? f ( x) ? g ( x) 的极值;(2)若 f ( x) ? ag( x) 恒成立,求实数 a 的值; (3)设 F ( x) ? f ( x) ? mg( x) (m ? R) 有两个极值点 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ),求实数 m 的取值范围, 并证明 F ( x 2 ) ? ?

3 ? 4 ln 2 . 16

玉溪一中高 2015 届高二下学期第二次月考 文科数学试卷参考答案
一,BBABB,DDCCA,AA。 13.

1 , 2

14,

2 5

2, 15,

16,

4 2

17. 解:(1)根据柯西不等式

1? a ?b?c ?
11 ? S 6

1 2

? 2a ?

1

1 1 ? 3b ? 1 ? c ? ( ? ? 1) 2 (2a 2 ? 3b 2 ? c 2 ) 2 2 3 3

1

1

?

∴S ?

6 3 2 6 ,b ? ,c ? . ,等号成立的条件是 a ? 11 11 11 11

∴当 a ?

3 2 6 6 , b ? , c ? . 时, S min ? 。 11 11 11 11

(2)根据条件可得: ?

? a ? b ? 1? c , 2 2 2 ?2a ? 3b ? 1 ? c
1 2 ? 2a ? 1 1 1 ? 3b) 2 ? ( ? )(2a 2 ? 3b 2 ) 2 3 3

根据柯西不等式得: ( 即 ( a ? b) ?
2

5 5 1 ? (2a 2 ? 3b 2 ) ,∴ (1 ? c) 2 ? ? (1 ? c 2 ) ,解之得 ? c ? 1 6 6 11

18.解:(1)设 ?an ? 的公差为 d .

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S2 6?d 因为 ? 所以 ? q? . q? , ? ? q b2 ? ? 解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) , d ? 3 .故 an ? 3 ? 3? n ?1? ? 3n , bn ? 3n?1 .
n ? 3 ? 3n ? , 2 1 2 2?1 1 ? 所以 cn ? ? ? ? ? ?. Sn n ? 3 ? 3n ? 3 ? n n ? 1 ?
(2)由(1)可知, Sn ? 故 Tn ?

2 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 2 ? 1 ? 2n ?1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? … ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? ? 3 ?? 2 ? ? 2 3 ? ? n n ? 1 ?? 3 ? n ? 1 ? 3 ? n ? 1?

19. 解:(1)由 a 2 ? b2 ? c2 ? 3ab ,得 a 2 ? b2 ? c2 ? 3ab ,所以 2ab cos C ? 3ab ,
cos C ? 3 ? ,由 C ? (0, ?) , C ? . 2 ?

(2)由(1)得 A ? B ?

?? ?? ,即 B ? ? A, ? ?

?? ? ? 0? ? A? , ? ? ? ? ? ? 又 ?ABC 为锐角三角形,故 ? 从而 ? A ? . ? ? ?0 ? A ? ? , ? ? ?

由 c ? 1 ,所以

1 sin ? ?

?

a b ? ,故 a ? 2sin A , b ? 2sin B , sin A sin B

?? ? 所以 3a ? b ? 2 3 sin A ? 2sin B ? 2 3 sin A ? 2sin ? ? A ? ?? ? ?? ? ? ? ? 2 3sin A ? 2sin cos A ? 2cos sin A ? 3 sin A ? cos A ? 2sin ? A ? ? . ?? ? ? ?



1 ?? 3 ? ? ? ? ? ? ,即 3a ? b ? (1, 3) . ? A ? ,得 ? A ? ? ,所以 ? sin ? A ? ? ? 2 ?? 2 ? ? ? ? ? ?
20.解:(Ⅰ )∵ PA⊥ 平面 ABCD, BC ?平面 ABCD,∴ PA⊥ BC,

又 AB⊥ BC,PA∩AB=A, ? ∵ BC 平面 PBC, (Ⅱ ), S ?BCD

∴ BC⊥ 平面 PAB, ∴ 平面 PBC⊥ 平面 PAB

1 ? , ∵ BD ? 2, AD ? 2,? PD ? 3, PB ? 5, 2

? BD2 ? PD2 ? PB2 ,? BD ? PD , S ?PBD ?

1 6 ? 2? 3 ? 2 2


设点 C 到平面 PBD 的距离为 h , ∵ VC ? PBD ? VP? BCD

1 6 1 1 ? ? h ? ? ?1 , ∴ 3 2 3 2

h?

6 6

? PA ? BD ,∴ BD ? 平面PAD,连接 AC (Ⅲ),由(Ⅱ )知, BD ? PD ,又 PA ? 平面ABCD,
交 BD 于 E, CA ? =

5 , AE ?

10 2 , DE ? , 由相似形可得 , 点 C 到平面 PAD 的距离 2 2

CA ? DE ? 1 , PC ? 6 , AE
∴,PC 与平面 PAD 所成的角的正弦值是

6 . 6

21. 解:(1)依题意,动点 P 的轨迹 C 是以 F (1,0) 为焦点, l : x ? ?1 为准线的抛物线, 所 以动点 P 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x
2

(2) 解法一: 因为 F (1,0) , 故直线 FD 的方程为 y ? 3( x ?1) , 联立方程组 ?
2 消元得: 3x ? 10x ? 3 ? 0 ,解得 D 点的横坐标为 x ? 3 或 x ?

? y ? 3 ( x ? 1) 2 ? y ? 4x

1 , 由抛物线定义知: 3

FD ? x ?
又由 ?

p 4 ?4或 2 3

? ? y ? 3x ? b 消元得: 3 y 2 ? 4 y ? 4b ? 0 。设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 2 ? ? y ? 4x

4 ? y1 ? y2 ? ? 3 ? 则 ? ? 16 ?16 3b ? 0 且 ? , ? y ? y ? 4b 1 2 ? 3 ? AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 8 ? 1 ? 3b 所以 3
因为 FABD 为平行四边形,所以 AB ? FD 解得 b ? ? 所以 ? 1 ? 3b ? 4 或

8 3

4 , 3

3 5 3 或 ,代入 ? ? 0 成立。 4 12 (2)解法二:因为 F (1,0) ,故直线 FD 的方程为 y ? 3( x ?1)
联立方程组 ?

? y ? 3 ( x ? 1) 1 2 消 元 得 : 3x ? 10x ? 3 ? 0 , 解 得 x ? 3 或 x ? 2 3 ? y ? 4x

故点

1 2 3 ) . 当 D(3,2 3) 时 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 联 立 方 程 组 D(3,2 3) 或 D( ,? 3 3 ? y ? 3x ? b 消元得: 3x2 ? (2 3b ? 4) x ? b2 ? 0 (*) ? 2 ? y ? 4x
b2 2 3b ? 4 ①, x1 ? x2 ? ② 3 3 又因为四边形是平行四边形,所以 FA ? FD ? FB , 将坐标代入有 x2 ? x1 ? 2
根据韦达定理有 x1 ? x2 ? ?



? 3b ? 5 ? 3b ? 1 ? 3b ? 1 ? 3b ? 5 b 2 , x2 ? 代入②有 ? ? 3 3 3 3 3 5 3 整理得 b ? ? 此时(*)的判别式 ? ? 0 ,符合题意. 12 1 2 3 3 ) 时,同理可解得 b ? 当 D ( ,? . 3 3 4 1 ( x ? 1)( 2 x ? 1) 22. 解:(1) G ( x) 的定义域是 (0,??) , G ?( x) ? 2 x ? 1 ? ? . x x
代入①有 x1 ?

? G( x)在( 0,1 )上递减,在( 1 , ? ?)上递增,故当 x=1 时,G(x)的极小值为 0.
( x) ? f ( x) ? ag ( x),则 h(1) ? 0 . (2)令 h

所以 h( x) ? 0 即 h( x) ? h(1) 恒成立的必要条件是 h?(1) ? 0 , 又 h?( x) ? 2 x ? 1 ?

a ,由 h?(1) ? 2 ? 1 ? a ? 0 得: a ? 1 . x

当 a ? 1 时, h?( x) ?

2 x2 ? x ? 1 ,知 h( x) min =h(1) ? 0 , x

故 h( x) ? 0( x ? 0) ,即 f ( x) ? ag( x) 恒成立. (3)由 F ( x) ? f ( x) ? m g( x) ? x ? x ? m ln x ,得 F ?( x) ?
2

2x 2 ? x ? m ( x ? 0) . x

F ( x) 有两个极值点 x1 、x2 等价于方程 2 x 2 ? x ? m ? 0 在 (0,??) 上有两个不等的正根, 即:
? ?? ? 1 ? 8m ? 0 ? 1 1 ? , 解得 0 ? m ? . ? x1 ? x2 ? ? 0 8 2 ? m ? x1 x2 ? ? 0 ? ? 2
2 由 F ?( x2 ) ? 0 ,得 m ? ?2 x2 ? x2 ,其中 0 ? x1 ? 2 2 所以 F ( x2 ) ? x2 ? x2 ? ( x2 ? 2x2 )ln x2 .

1 1 ? x2 ? . 4 2

设 ? ( x) ? x ? x ? ( x ? 2 x ) ln x , (
2 2

1 1 ? x ? ) ,得 ? ?( x) ? (1 ? 4 x) ln x ? 0 , 4 2 3 ? 4 ln 2 1 3 ? 4 ln 2 所以 ? ( x) ? ? ( ) ? ? ,即 F ( x 2 ) ? ? . 16 4 16


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