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2015-2016学年江西省高安中学高二下学期期中考试数学(理)试题(创新班)


江西省高安中学 2015-2016 学年度下学期期中考试

高二年级(创新班)数学试题
一、选择题: (在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1. 函数 f ( x) ?

1

log 2 x ? 1 A. (0, 2) B. (0, 2]

C. (2,??) D. [2, ??) ? x ? ?2 ? 3t 2. 若直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,则直线l 的倾斜角的余弦值为( ? y ? 3 ? 4t 4 3 3 4 A. ? B. ? C. D. 5 5 5 5
3. 定积分 A.

的定义域为(





?
4

?

1

0

x(2 ? x) dx 的值为(
B.

) C.? D. 2?

?
2

x ?1 在点 ?3,2 ? 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a =( ) x ?1 1 1 A. 2 B. C. ? D. ? 2 2 2 x ?1 5. 函数 f ? x ? ? a ? 3 ? a ? 0, 且a ? 1? 的图象过一个定点 p , 且点 p 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 ? m ? 0, n ? 0 ? 上,
4.设曲线 y ? 则

1 4 ? 的最小值是( m n A.12 B.13

) C. 24 D. 25 ,则 f ?2016 ? ? ( C. 2017 )

6. 已知函数 f ? x ? ? ? A. 2016 7. 若 f ? x ? ? e ? ae
x

?2 x , x ? 0

? f ? x ? 1? ? 1, x ? 0
B.
?x

4033 2

D.

4035 2

为偶函数,则 f ? x ? 1? ? B. ?2,?? ?

A. ?? ?,2 ?

e2 ? 1 的解集为( ) e C. ?0,2 ? D. ?? ?,0 ? ? ?2,?? ?

8. 定义在 R 上的函数 y ? f ? x ? 1? 的图像关于 ?1,0 ? 对称, 且当 x ? ?? ?,0 ? 时, f ? x ? ? xf ? x ? ? 0(其中 f ? x ?
' '
:Z-xk.Com] 源 [来

是 f ? x ? 的导函数),若 a ? (3 ) ? f 3
0.3

? ?
0.3

, b ? ?log? 3? ? f ?log? 3? , ).
:Z.XK] 源 [来

1? ? 1? ? c ? ? log 3 ? ? f ? log 3 ? ,则 a, b, c 的大小关系是( 9? ? 9? ?
A. c ? a ? b B. c ? b ? a

9. 定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足:对任意 x ? R 都有 f (2 ? x) ? f ( x) ,且当 x ? ? 0,1? 时, f ( x) ? x ? 1, 若函 数 y ? f ( x) ? log a ( x ? 1) 在 x ? ? 0, ?? ? 上至少有三个零点,则 a 的取值范围是(
页 1第

C. a ? b ? c

D. a ? c ? b



? 1? ?1 ? D. ? ,1? ? 3? ?3 ? x 10.设函数 f ( x) ? e (sin x ? cos x) ?0 ? x ? 2016? ? ,则函数 f ( x) 的各极小值之和为(

A.

? 1? ? 0, ? ? 2?

B.

?1 ? ? ,1? ?2 ?
B. ?

C. ? 0, ?



e 2? (1 ? e 2014? ) 1 ? e 2? ? x 2 ? x, x ? ? 0,1? , ? ? 3 x? 11. 定义域为 R 的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2 ? ? 2 f ? x ? , 当x ? ? 0, 2 ? 时, f ? x ? ? ? 若 ?1? 2 ?? ? ? , x ? ?1, 2 ? , ? ?2? ? t 1 x ? ? ?4, ?2 ? 时, f ? x ? ? ? 恒成立,则实数t 的取值范围是( ) 4 2t A. ? ?2, 0 ? ? ? 0,1? B. ? ?2, 0 ? ? ?1, ?? ? C. ? ?2,1? D. ? ??, ?2? ? ? 0,1?
A. ? C. ? D. ? 12.如图所示, 医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计) , 设输液开始后 x 分钟, 瓶内液面与进气管的距离为 h 厘米,已知当 x ? 0 时, h ? 13 .如果瓶内的药液恰好 156 分钟滴完. 则函数 h ? f ( x) 的图像为( )

e 2? (1 ? e 2016? ) 1 ? e 2?

e 2? (1 ? e1008? ) 1 ? e?

e 2? (1 ? e1008? ) 1 ? e 2?

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13. 计算 log 2.5 6.25 ? lg

1 ? ln e ? 21? log 2 3 = 100

14. 函数 y ? log 1 ( x 2 ? 2mx ? 3) 在区间 ( ??,1) 上是增函数,则实数 m 的取值范围是
4

15. f ? x ? ? x? x ? c ? 在 x ? 1 处有极小值,则实数 c ? __________ 。
2

2 16.设 f ? x ? ? x ln x ,由函数乘积的求导法则, x ln x ? 2 x ln x ? x ,等式两边同时求区间?1, e ? 上的定积分,

2

?

?

'

有:

? ?x
e 1

2

ln x ? dx ? ? 2 x ln xdx ? ? xdx.
' e e 1 1
e e 1? 1 1 ?1 e 2 x ln xdx ? ? x 2 ln x ? ?1 ? ? xdx ? e 2 ? ? e 2 ? ? ? e 2 ? . 1 2? 2 2 ?2
e 1

移项得:

?

1

这种求定积分的方法叫做分部积分法,请你仿照上面的方法计算下面的定积分: ? ln xdx ? ______ . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题 10 分) (1)解不等式| g ? x ? |? 5 ;


已知函数 f ? x ? = 2 x ? a ? 2 x ? 3 , g ? x ? ? x ? 1 ? 2

(2)若对任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ? x1 ? = g ? x2 ? 成立,求实数 a 的取值范围.
2第

18. (本小题 12 分) 已知函数 f ? x ? ? e x ? ax ? 1 。 (2)是否存在 a ,使 f ? x ? 在 ?? 2,3? 上为减函数,若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,说明理由. (1)求 f ? x ? 的单调增区间;

19.(本小题 12 分) 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 经过点 P ?? 1,0 ? ,其倾斜角为? ,以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,与 直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 6 ? cos ? ? 1 ? 0 . (1)写出直线 l 的参数方程,若直线 l 与曲线 C 有公共点,求? 的取值范围; (2)设 M ? x, y ? 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)
设函数

f ( x) ? ln x ?

m ,m? R . x

(1)当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 (2)讨论函数 g ? x ? ? f
'

f ( x) 的极小值;

?x ? ? x 零点的个数.
3

21. (本小题 12 分) 设函数 f ( x) ? a ? a
x ?x

(a ? 0且a ? 1),

(1)若 f ?1? ? 0 ,试判断函数单调性并求使不等式 f x 2 ? tx ? f ? 4 ? x ? ? 0 恒成立的 t 的取值范围; (2)若 f ?1? ?

?

?

3 , g ? x ? ? a 2 x ? a ?2 x ? 2mf ? x ? 且 g ? x ? 在?1, ?? ? 上的最小值为 ?2 ,求 m 的值. 2

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? x ( x ? R) , g ( x) 满足 g ?( x) ?
3 2

a (a ? R,x >0) ,且 g (e) ? a , e 为自然对数的底数. x

(1)已知 h( x) ? e

1? x

f ( x) ,求 h( x) 在 (1, h(1)) 处的切线方程;

(2)设函数 F ( x) ? ?

? f ( x), x ? 1 ,O 为坐标原点,若对于 y ? F ( x) 在 x ? ?1 时的图象上的任一点 P ,在曲线 ? g ( x), x ? 1
3第



??? ? ???? y ? F ( x) ( x ? R) 上总存在一点 Q ,使得 OP ? OQ ? 0 ,且 PQ 的中点在 y 轴上,求 a 的取值范围.

江西省高安中学 2015-2016 学年度下学期期中考试

高二年级(创新班)数学答题卡
题号 答案 二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13._____________ 14._____________ 15._____________ 16._____________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

座位号

一、选择题: (在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 12

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (10 分)



4第

18. (12 分)

:Z.XK] 源 [来

19. (12 分)

20. (12 分)



5第

21. (12 分)

22. (12 分)
:Z-XK] 源 [来



6第

高二理科数学(创新班)答案
一、选择题: (在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 D 6 D 7 C 8 A 9 C 10 D 11 D 12 C

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.

13 2

14. ?1,2?

15.1

16. 1


三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. 解: (1)由 x ? 1 ? 2 ? 5 ? ?5 ? x ? 1 ? 2 ? 5 ? ?7 ? x ? 1 ? 3 ,所以 ? 2 ? x ? 4 。 (2)因为对任意 x1 ? R ,都有 x 2 ? R ,使得 f ? x1 ? ? g ? x 2 ? 成立。所以

?y y ? f ?x ?? ? ?y y ? g ?x ??
又 ,

g ? x ? ? x ? 1 ? 2 ? 2 ,所以 a ? 3 ? 2 ,从而 a ? ?1或a ? ?5 。
18. 解: f
'

?x ? ? e x ? a
'



(1)①若 a ? 0 ,则 f
x

?x ? ? e x ? a ? 0 ,即 f ?x ? 在 R 上递增,
x

②若 a ? 0 ,e ﹣a≥0,∴e ≥a,x≥lna. 此时 f(x)的递增区间是?ln a,?? ? . (2)由 f
x

'

?x ? ? e x ? a ? 0 在(﹣2,3)上恒成立.

∴a≥e 在 x∈(﹣2,3)上恒成立. ﹣2 x 3 3. 又∵﹣2<x<3,∴e <e <e ,只需 a≥e 3 x 3 当 a=e 时 f′(x)=e ﹣e 在 x∈(﹣2,3)上,f′(x)<0, 即 f(x)在(﹣2,3)上为减函数, ∴a ? e3 故存在实数 a ? e 3 ,使 f(x)在(﹣2,3)上单调递减. 19. 解: (1)∵曲线 C 的极坐标方程为 ρ ﹣6ρ cosθ +1=0,∴曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 6 x ? 1 ? 0 ,∵
2

2

2

直线 l 经过点 P(﹣1,0) ,其倾斜角为 α ,∴直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?1 ? t cos ? , (t 为参数) 。 ? y ? t sin ?

将?

? x ? ?1 ? t cos ? 2 2 2 ,代入 x +y ﹣6x+1=0,整理,得 t ﹣8tcosα +8=0 y ? t sin ? ?
7第



∵直线 l 与曲线 C 有公共点,∴△=64cos α ﹣32≥0,即 cosα ≥
2

2 2 ,或 cosα ≤﹣ , 2 2

∵α ∈[0,π ) ,∴α 的取值范围是 ?0, ? ? ? ,? ? 。 ? 4? ? 4 ? (2) 曲线 C 的直角坐标方程 x +y ﹣6x+1=0 可化为 (x﹣3)+y =8, 其参数方程为,?
2 2 2 2

? ??

? 3?

?

? ? x ? 3 ? 2 2 cos ? ,(? 为参数)。 ? ? y ? 2 2 sin ?
? ?

∵M(x,y)为曲线 C 上任意一点,∴ x ? y ? 3 ? 2 2 cos ? ? 2 2 sin ? ? 3 ? 4 sin ?? ? ∴ x ? y 的取值范围是?? 1,7? 。

??
? 4?

20.解: (Ⅰ) f ? ? x ? ?

1 e x?e ? ? 2 , x ? 0 ,显然 x x2 x

在 ? 0, e ? 内, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减;在 ? e, ?? ? 内, f ? ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增,所以

f ? x ? 的极小值为 f ? e ? ? 2 .
(Ⅱ) g ? x ? ?
1 m x 1 ? 2 ? ,令 g ? x ? ? 0 ,得 m ? ? x 3 ? x ,※ x x 3 3

1 设 h ? x ? ? ? x 3 ? x ,则 h? ? x ? ? ? x 2 ? 1 ? ? ? x ? 1?? x ? 1? , x ? 0 , 3

显然在 ? 0,1? 内, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增;在 ?1, ?? ? 内, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递减,在? 0, ?? ? 内 h ? x ? 的最大值为 h ?1? ? (1)当 m ?
2 ,结合图像可知 3

2 时,方程※ 无解,即 g ? x ? 没有零点; 3 2 (2)当 m ? 时,方程※ 有唯一解,即 g ? x ? 有一个零点; 3 2 (3)当 0 ? m ? 时,方程※ 有两解,即 g ? x ? 有两个零点; 3
:Z-xk.Com] 源 [来

(4)当 m ? 0 时,方程※ 有一解,即 g ? x ? 有一个零点。
21. 解: (1) f ( x) ? a x ? a ? x (a ? 0且a ? 1),

? f (1) ? 0,? a ?

1 ? 0, 又a ? 0, 且a ? 1,? 0 ? a ? 1 a

? a x 单调递减, a ? x 单调递增,故 f(x)在 R 上单调递减.
2 不等式化为 f x ? tx ? f ? x ? 4 ? ,

?

?

? x 2 ? tx ? x ? 4, 即x 2 ? (t ? 1) x ? 4 ? 0恒成立

?? = ? t ? 1? ? 16 ? 0 ,解得 ?3 ? t ? 5
2



8第

1 3 1 3 (2) ? f (1) ? ,? a ? ? , 2a 2 ? 3a ? 2 ? 0, ? a ? 2或a ? ? (舍去) 2 a 2 2
? g ? x ? ? 22 x ? 2?2 x ? 2m ? 2 x ? 2? x ? ? ? 2 x ? 2? x ? ? 2m ? 2 x ? 2? x ? ? 2
2

令t ? f ? x ? ? 2 x ? 2? x ,由(1)可知 f ? x ? ? 2 x ? 2? x 为增函数

3 3 ? x ? 1,? t ? f ?1? ? , 令 h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2(t≥ ) 2 2
3 2 3 3 17 25 3 若 m< ,当 t= 时,h(t)min= -3m=-2,解得 m= > ,舍去 2 2 4 12 2
若 m≥ ,当 t=m 时,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2 综上可知 m=2
22.解: (Ⅰ)? h( x) ? ( ? x 3 ? x 2 )e1? x , h?( x) ? ( x 3 ? 4 x 2 ? 2 x)e1? x ,? h(1) ? 0 , h?(1) ? ?1 。? h( x) 在

(1, h(1)) 处的切线方程为: y ? ?( x ? 1) ,即 y ? ? x ? 1 ………… 5 分



9第


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