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3.1导数的概念及其运算(理)


§3.1 导 数 的 概 念 及 其 运 算 ( 理 ) 知识要点梳理(注意:有下划线部分,学生用书改为空格) 知识要点梳理(注意:有下划线部分,学生用书改为空格)
(一)导数的概念 (1)平均变化率:函数 y = f ( x) 在 x0 处的变化量 ?y = f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) 与自变量的 变化量 ?x = ( x0 + ?x ) ? x0 的比:

?y f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) = 。 ?x ?x

(2)函数在 x=x0 处导数的定义: 一般地,设函数 y=f(x)在 x0 附近有定义,当自变量在 x=x0 的附近改变量为 ?x 时,函数值的改变量为 ?y = f ( x0 + ?x ) ? f ( x0 ) ,如果 ?x 趋近 于 0 时,平均变化率

?y f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) = 趋近于一个常数 m,即 ?x ?x

f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim =m,这个常数 m 叫做函数 f(x)在点 x0 处的瞬时变化率. ?x → 0 ?x ?x → 0 ?x lim
函数 f(x)在点 x0 处的瞬时变化率又称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数。记作: f ′( x0 ) 或

y′ |x = x0 ,即: f ′( x0 ) = lim

?x → 0

f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) 。 = lim x → x0 ?x x ? x0

如果函数 y=f(x)在 x0 处有导数(即导数存在) ,则说函数 f(x)在 x0 处可导。 如果函数 y=f(x)在开区间(a,b)内每一点 x 都是可导的, 则说函数 f(x)在区间 (a,b) 可导。

?y 表示函数的平均改变量,它是Δx 的函数,而 f’(x0)表示一个确 ?x ?y 定的数值,即 f’(x0)= lim 。当 x 在区间(a,b)内变化时, f ′( x ) 便是 x 的一个函数, ?x →0 ?x
(3)导函数的定义: 我们称它为 f ( x ) 在(a,b)的导函数(简称导数) y = f ( x) 导函数有时记作 y ′ ,即 。

f ′( x) = y′ = lim

?x → 0

f ( x + ?x) ? f ( x) 。 ?x

(二)导数的几何意义及物理意义:函数 f(x)在点 x0 处导数的几何意义就是曲线 y=f(x)
1

在点 P(xo,f(x0))处的切线的斜率。相应的切线方程是: y ? y0 = f ( x0 )( x ? x0 )
'

导数的物理意义:位移函数 s=s(t)在 t0 处的导数 s (t0 ) 是函数 s=s(t)在时刻 t0 时的瞬时 速度.即 v = s '(t0 ) 。 速度函数 v = v (t ) 在 t0 处的导数 v (t0 ) 是函数 v=v(t)在时刻 t0 时的瞬时
'

'

加速度。即 a=v’(t0). (三)导数的运算:
m ?1 (1)几种常见函数(基本初等函数)的导数: c′= 0(c为常数); )′ = mx ( m ∈ Q ), (x m

1 1 1 特别的 : ( )′ = ? 2 , ( x )′ = ; (sin x)′ = cos x; (cos x)′ = ? sin x; (log a x)′ = x x 2 x
1 1 log a e; (ln x)′ = ; (a x )′ = a x ln a; (e x )′ = e x ; x x
(2)导数四则运算法则: ①和、差的导数: [ f ( x ) ± g ( x )]′ = f ′( x ) ± g ′( x) ②积的导数: [ f ( x ) g ( x )]′ = f ′( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′( x ) ③商的导数: [

f ( x) ]′ = g ( x)

f ′( x) g ( x) ? f ( x) g ′( x) ( g ( x) ≠ 0 ) [ g ( x)]2

(3)复合函数的求导: a.复合函数的定义: 对于两个函数 y = f (u ) 和 u = g ( x ) , 如果通过变量 u,y 可以表示 为 x 的函数, 那么称这个函数为函数 y = f (u )和u = g ( x) 的复合函数。 记作 y = f [ g ( x )] 。 其中 y = f (u ) 叫做外函数, u = g ( x ) 叫做内函数。 b.理解复合函数的结构规律: 判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向内分析, 最外层的函数结构是基本函 数的形式,各层的中间变量结构也都是基本函数关系,这样一层一层分析。例如,函数

y = esin x 是复合函数,它是由函数 y = eu , u = v 2 , v = sin x 复合而成的。
2

c.复合函数的求导法则:复合函数 y=f[g(x)]对自变量 x 的导数 y 'x ,等于外函数 y=f(u)

2

′ x 对中间变量 u 的导数 y’u,乘以中间变量 u 对自变量 x 即内函数) ( 的导数 u’x,即 y′ = yu u ′ 。 x
法则推广:若函数 y=f(u)在 u 点处可导,u=g(v)在 v 点处可导,v=h(x)在 x 点处可导, 则复合函数 y=f{g[h(x)]}在 x 点处可导,并且 y ' = f '(u ) ? g '(v) ? h '( x) = y 'u ? u 'v ? v 'x .

疑难点、易错点剖析 疑难点、
1、深刻理解“函数在一点处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系 、 、 (1)函数 f(x)在一点 x0 处的导数 f’(x0)是一个常数; (2)函数 y = f ( x) 的导函数,是针对某一区间内任意点 x 而言的。如果函数 y=f(x) 在区间(a,b)内每一点 x 都可导,是指对于区间(a,b)内的每一个确定的值 x0 都对应着 一个确定的导数 f’(x0).这样就在开区间(a,b)内构成了一个新函数,就是函数 f(x)的导 函数 f’(x)。在不产生混淆的情况下,导函数也简称导数。 (3) 函数 y=f(x)在 x0 处的导数 f’(x0)就是导函数 f’(x)在点 x=x0 处的函数值。即

f '( x0 ) = f '( x) |x = x0 。
2、利用导数的定义求函数 y = f ( x) 在点 x0 处的导数的步骤: (1)求函数的改变量 ?f = f ( x0 + ?x ) ? f ( x0 ) ; (2)求平均变化率

?y f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) = ; ?x ?x
?x → 0

(3)取极限,得导数 f ′( x0 ) = lim 简记为:“一差、二比、三极限” 。

f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) = lim 。 x → x0 ?x x ? x0

′ x 3.运用复合函数的求导法则 y ′ = yu u ′ ,应注意以下几个问题: x
(1)分清楚复合函数的复合关系是由那些基本函数复合而成,适当选定中间变量; (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导,而其中特别要注意的是中间变量 的系数,如(sin2x)’≠cos2x,而实际上应是(sin2x)’ =2cos2x。 (3)根据基本函数的导数公式及导数运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换 成自变量的函数。 例如求 y = e
sin 2 x

的导数。
sin 2 x

解析:因为函数 y = e

是由函数 y = eu , u = v 2 , v = sin x 复合而成的,所以

3

y ' = (esin x ) ' = (eu ) '? (v 2 ) '? (sin x) ' = eu ? 2v ? cos x = esin x ? 2sin x ? cos x
2 2

= esin x cos 2 x 。
2

当然,复合函数的求导熟练后,中间步骤可以省略不写,不必再写出函数的复合过程, 对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数, 可以直接应用公式和法则, 从最外层开始, 由外及里逐层求导,即“层层剥皮” 。

直击考点 考点一 用导数的定义求导数及导数的几何意义
考例 1 用定义求 y =

x + 4 的导数,并求在 x =1 处的切线方程。

思路分析:利用导数定义求出导数,再利用导数的几何意义解题。

?y = ?x
=

x + ?x + 4 ? x + 4 ( x + ?x + 4 ? x + 4)( x + ?x + 4 + x + 4) = ?x ?x( x + ?x + 4 + x + 4)
1 . x + ?x + 4 + x + 4

?x = ?x( x + ?x + 4 + x + 4)
∴ y′ = lim

?y 1 1 = lim = 。 ?x →0 ?x ?x → 0 x + ?x + 4 + x + 4 2 x + 4
1 5 |x =1 = . 10 2 x+4

在 x = 1 处的切线斜率 k = y′ |x =1 =

所以切线方程为 y- 5 =

5 (x-1). 10

即 y=

5 9 x+ 5 10 10

锦囊妙计 (1 注意函数在某点处的导数和函数本身的导数的区别: 函数的导数与在点 x0 锦囊妙计: 1) ( 处的导数不是同一概念,在点 x0 处的导数是函数的导数在 x0 处的函数值。 (2) 因“函数 f(x)在点 x = x0 处的导数就是以该点为切点的切线 PT 的斜率 k” ,故常利

4

用导数的几何意义求曲线的切线方程。 举一反三: 举一反三: 1.(06 四川卷)曲线 y = 4 x ? x 在点 ( ?1, ?3) 处的切线方程是
3

(A) y = 7 x + 4

(B) y = 7 x + 2

(C) y = x ? 4

(D) y = x ? 2

3 2 解:曲线 y = 4 x ? x ,导数 y ' = 4 ? 3 x ,得在点 ( ?1, ?3) 处的切线的斜率为 k = 1 ,所

以切线方程是 y = x ? 2 ,选 D. 2. 抛物线y=(1-2x) 在点x= A. y=0 答案:B
2

3 处的切线方程为( 2



B .8x-y-8=0 C.x =1

D .y=0或者8x-y-8=0

3、曲线 y=x +x-2 在点 P0 处的切线平行于直线 y=4x,则点 P0 的坐标是( ) A.(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或(1,0) 答案:B 考点二 导数的物理意义的应用 例 1.物体运动方程如下 s = ? D.(-1,-4)

3

?3t 2 + 1    ≤ t < 3) (1 ? 2 (t ?2 + 3(t ? 3)   ≥ 3) ?

求此物体在 t=2 和 t=4 时的瞬时速度 思路分析: 思路分析:由导数的物理意义知,问题就是求函数在 t=2 和 t=4 时的导数值,对于分段函 数要注意各段解析式对自变量的限制。 解析:当 t=2 时, s=3t2 + 1 ,

v = lim

?s s (t + ?t ) ? s (t ) 6t ?t + 3?t 2 = lim = lim = lim (6t + 3?x) = 6t = 12. ?x → 0 ?t ?x → 0 ?x → 0 ?x → 0 ?t ?t

当 t=4 时, s = 2 + 3(t ? 3) 2   ,

v = lim

s (t + ?t ) ? s (t ) 2 + 3(4 + ?t ? 3)2 ? 2 ? 3(4 ? 3) 2 = lim ?x → 0 ?x → 0 ?t ?t 2 3(?t ) + 6?t = lim = lim 3?t + 6 = 6. ?x → 0 ?x → 0 ?t

∴ 物体在 t=2 和 t=4 时瞬时速度分别为 12 和 6。
5

锦囊妙计:分段函数的速度问题应考虑“间断点”及“分段”的条件。 锦囊妙计 举一反三: 举一反三: 1. 质点运动方程 s = A 0 答案:A B1

1 3 1 t ? t + 1 ,那么当质点在 t=1 时的速度为( ) 6 2
C 2 D 3

5 2.枪弹在枪膛中运动可以看作加速运动,如果它的加速度是 5.0 × 10 m 2.

s2

,枪弹从枪

口射出时所用时间为 1.6 ×10 s,求枪弹射出枪口时的瞬时速度。 答案与提示:因为, s = 答案与提示

?3

1 2 1 ?s 1 at , ?s = at0 ?t + a ( ?t ) 2 . lim = lim ( at0 + a?t ) = at0 ?x → 0 ?t ?x → 0 2 2 2

故枪弹射出枪口时的瞬时速度为 at0 = 800 m 复合函数的导数 考点三 求复合函数的导数 例 3.求函数的导数 .
源 源 源

s

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源 源 源 源 源 源 源 源















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(1)y=excosx2

(2) y = (ax ? b sin x)3 ;

思路分析:挖掘量的隐含条件,将复合函数的结构分解为基本函数,利用基本函数的求导 公式、导数的四则运算、复合函数求导、抽象函数求导的思想方法来求解。 解:(1) y’=( excosx2)’=(ex)’cosx2+ex(cosx2)’=excosx2 ? 2xexsinx2 (2)解
源 源 源

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源 源 源 源 源 源 源 源















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Q y = (ax ? b sin x)3 是由函数

y=u3,u=ax-bsin x 复合而成的,

∴ y′=(u3)′=3u2·u′=3u2(ax-bsinx )′
=3u2(a-bcosx) =3(ax-bsin x)2(a-bcosx)

锦囊妙计: 锦囊妙计:分析结构特征、挖掘隐含条件,复合函数基本化是正确解题的关键 。防止
求导过程中的符号判断不清,复合函数分解成基本函数时出错 举一反三: 举一反三: 1.求下列函数的导数: 求下列函数的导数: 求下列函数的导数
sin( ax + b ) ; (1) y=cos2(x2-x);(2) y = e )
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

答案: (1) y′ = ?(2 x ? 1) sin(2 x 2 ? 2 x) ; (2) y′ = a cos( ax + b) esin( ax + b )



2. 若 y=esinxcos(sinx),则 y′(0) 等于 (
A 解
源 源 源

) C
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

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0
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B

新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王新王新 王 王

1

-1

D

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

2

答案:B
新新新新 新新新新
源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源

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y′=esinx[cosxcos(sinx)-cosxsin(sinx)],y′(0)=e0(1-0)=1
ln(x 2 +1)

3.函数 y=2

的导数是(

)
6

2 ln 2 x ln(x 2 +1) 2 x2 +1 2 ln 2 C. 2 2ln(x +1) x +1
A. 答案:A

B.

2 log 2 e x ln(x 2 +1) 2 x2 +1 2 ln 2 ln(x 2 +1) D. 2 2 x +1

误区警示: 警示:
例 . 已 知 函 数 y= f(x) 在 区 间 (a , b) 内 可 导 , 且 x0 ∈ (a , b) , 则

lim

f ( x0 + h) ? f ( x0 ? h) =( ) h →0 h B.2f ′(x0) C.-2f ′(x0) D.0 A.f ′(x0) 常见错误:错选成 D 错因分析及对策:不会变形,不会将其转化为能利用导数的定义来解题。 f ( x0 + h) ? f ( x0 ? h) f ( x0 + h) ? f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) + f ( x0 ) 正解: lim = lim h →0 h →0 h h f ( x0 + h) ? f ( x0 ) ? f ( x0 ? h) + f ( x0 ) = lim h →0 h f ( x0 + h) ? f ( x0 ) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) = lim + lim = f '( x0 ) + f '( x0 ) =2 f '( x0 ) h →0 ? h→0 h ?h
故选 B。

紧扣考纲大演练
一、单项选择题 1.(原创题) f(x)=x , f '( x0 ) =6,则x0= (A) 2 答案:C 2.若 f ′(x 0 ) =2, 则 lim
k →0
3

(

) (D) ±1

(B) - 2

(C) ±

2

A 0 答案:C。

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) =( 2k B 1 C -1

) D 2

3. (06 安徽卷)若曲线 y = x 4 的一条切线 l 与直线 x + 4 y ? 8 = 0 垂直,则 l 的方程为 A. 4 x ? y ? 3 = 0 C. 4 x ? y + 3 = 0 B. x + 4 y ? 5 = 0 D. x + 4 y + 3 = 0

4 解:与直线 x + 4 y ? 8 = 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y + m = 0 ,即 y = x 在某一点的导数为

7

4,而 y′ = 4 x ,所以 y = x 在(1,1)处导数为 4,过此点的切线为 4 x ? y ? 3 = 0 ,故选
3 4

A 4. (06全国II卷)过点(-1,0)作抛物线 y = x 2 + x + 1 的切线,则其中一条切线为( ) (A)2 x + y + 2 = 0 (B)3 x ? y + 3 = 0 (C) x + y + 1 = 0 (D) x ? y + 1 = 0
2

解: y ′ = 2 x + 1 ,设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 2 x0 + 1 ,且 y0 = x0 + x0 + 1 , 于是切线方程为 y ? x0 ? x0 ? 1 = (2 x0 + 1)( x ? x0 ) ,因为点(-1,0)在切线上,可解得
2

x0

=0 或-2,代入可验证 D 正确。选 D ) D. –4

5. 已知 f(x)=x2+2x·f' ,则 f' (1) (0)等于( A. 0 B. –2 C. 2

答案:D
6. ( 改 编 题 ) 设 f 0 ( x ) = sin x, f 1 ( x) = f 0′( x ), f 2 ( x ) = f1′( x ), L,f n +1 ( x ) = f n′ ( x) ,

′ (n ∈ N ) 则 f 2008 ( x) = (



A.

sin x

B. ? sin x

C. cos x

D. ? cos x

答案:C 二. 填空题 7. (06 福建卷)已知直线 x ? y ? 1 = 0 与抛物线 y = ax 2 相切,则 a = ______ .
2 解 析 : 直 线 x ? y ? 1 = 0 与 抛 物 线 y = ax 相 切 , 将 y=x - 1 代 入 抛 物 线 方 程 得

1 ax 2 ? x + 1 = 0 ,∴ ? = 1 ? 4a = 0 ,a= 。 4
8. (06 湖北卷)半径为 r 的圆的面积 S(r)= π r ,周长 C(r)=2 π r,若将 r 看作(0,+∞)
2 2 1 上的变量,则( π r )’=2 π r ○,

1 ○式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 1 对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○的式子: 2 ○ 2 ○式可以用语言叙述为:
8



′ ( 解:V 球= π R ,又 π R ) =4π R
3 3

4 3

4 3

2

3 2 2 ′ 故○式可填 π R ) =4π R ,用语言叙述为 (

4 3

“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 ”
4 3 2 (0,1),且在 x=1 处的切线方程为 9. 偶函数 f ( x) = ax + bx + cx + dx + e 的图像过点 P

y = x ? 2, 则函数 y = f ( x) 的解析式是_______________________.
答案: y = f ( x ) =

5 4 9 2 x ? x +1 2 2

简答:由 f ( x ) 的图像过点 P(0,1)求得 e = 1. 由 f ( x ) 是偶函数,求得 b=0,d=0,由函数

f ( x) 在 x=1 处的切线方程是 y=x-2 可得切点 -1)又 f '(1) = [4ax3 + 2cx] |x =1 = 4a + 2c (1, ,

? a + c + 1 = ?1 5 9 ∴? ,∴ a = , c = ? . 2 2 ? 4 a + 2c = 1
10. (原创题)在函数 y =

1 3 π x ? 8 x 的图像上,其切线的倾斜角不大于 的点中,坐标为 3 4

整数的点的个数是____________ 答案: 2; 简 答 :

y ' = x 2 ? 8,





线















π
4





0 < x 2 ? 8 ≤ 1, 得,8 < x 2 ≤ 9, 解得-3 ≤ x<-2 2或2 2 < x ≤ 3. 所以 x= ±3 ,y= m15 ,
三. 解答题 11. 已知 f ( x ) = cos 11. 解: f
' 2

( ln x ) ,求 f ' (1) 的值
1 x

( x ) = 2 cos ( ln x ) ? ? sin ( ln x ) ? ? ? ?
=?

1 ? sin ( 2 ln x ) x

∴ f ' (1) = 0
12. 已知函数 f ( x ) = ax 2 + 2 ln (2 ? x ) ,(a ∈ R),设曲线 y = f ( x ) 在点(1

f (1) )处的切线为

l ,若 l 与圆 C: x 2 + y 2 =

1 相切,求 a 的值。 4
9

12. 解:依题意有: f (1) = a, f

'

(x ) =2ax+

2 (x<2) x?2

∴ l 方程为 2(a ? 1)x ? y + 2 ? a =0 Q l 与圆相切



1 11 ? a= 8 4(a ? 1) + 1 2
2

2?a

=

13.设 f ( x ) = ax + bx + cx + d 的图像与 y 轴的交点为 P 点,且曲线在 P 点处的切线方
3 2

程为 12 x ? y ? 4 = 0 ,若函数在 x=2 处取得极值 0,试求函数的解析式。 13. 解 :由已知,设 p(0,d), y ' = 3ax 2 + 2bx + c

y'

x =0

= c = 12

函数在 y 处的切线方程为: y = 12 x + d

∴ d = ?4
又 x=2 时,f(x)有极值.

∴y' = 0.
把 x=-2 代人方程得: 8a + 4b + 20 = 0 .

∴ 3a + b = ?1

∴ 2a + b = ?5

∴ a = 4, b = ?13
所求函数为: y = 4 x 3 ? 13 x 2 + 12 x ? 4 .

10



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