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2015-2016学年海南省文昌中学高二下学期期末考试数学(理)试题


2015—2016 学年度第二学期

高二年级数学 ( 理科 ) 期考试题
(完成时间:120 分钟,满分:150 分)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答案写在答题卡上 附:参考公式:

?= 1. 回归系数 b

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

r />
n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

2

?x
i ?1

2

i

? nx

2

- ? =- ,a y -b x

n?(ad-bc?)2 2. 附:K2= ?(a+b? ? )(c+d? ? )(a+c? ? )(b+d?)

P (K2 ? k) 0.50
k
0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)
一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.下列每小题有且只有一个正确的答案,请把你
的答案写在答题卡上) 1.设 i 是虚数单位,复数 A.2

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 为( 2?i 1 B. ? 2 C. ? 2
B. 0.32 C. 0.68

) D.

1 2


2.已知随机变量 ? 服从正态分布 N (2,? 2 ) , P (? ≤ 4) ? 0.84 ,则 P (? ≤ 0) ? ( A. 0.16 D. 0.84

? =0.8x-155,则实数 m 的值为( 3.对于下列表示五个散点,已知求得的线性回归方程为 y
A.8.5 C.8.2 B.8.4 D.8 x y 196 1 197 3 200 6 203 7 204 m



:Z-XK] 源 [来

4.甲、乙两人各用篮球投篮一次,若两人投中的概率都是 0.7 ,则恰有一人投中的概率是( A. 0.42 5.如果 A.7 B. 0.49 C. 0.7 D. 0.91 的系数是( D.-21 )



的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 B.-7 C.21
第1页

6.2008 年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻 译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从 事这四项工作,则不同的选派方案共有 ( A.48 种 B.36 种 ) C.18 种 D.12 种

7.从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中不放回地依次取 2 个数,事件 A=“第一次取到的是奇数”,B=“第 二次取到的是奇数”,则 P(B|A)=( A. B. ) C. ( D. )

8.下面几种推理是类比推理的是

A. 两条直线平行, 同旁内角互补, 如果 ?A 和 ?B 是两条平行直线的同旁内角, 则 ?A ? ?B ? 180 ? B.由平面向量的运算性质,推测空间向量的运算性质
C.某校高二级有 20 个班,1 班有 51 位团员,2 班有 53 位团员,3 班有 52 位团员,由此可以推测各班 都超过 50 位团员 D.一切偶数都能被 2 整除, 2
100

是偶数,所以 2

100

能被 2 整除

9. 某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒, 补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( A.100 10.随机变量 A. B. B.200 ,若 C. ) C.300 ,则 D.400 的值为( ) D.

n (1+x+x2) 11. = a0 ? a1 x ? a2 x 2 + ??? +a2 n x 2 n ,则 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 n ?1 等于( )

A. 3n ? 1 12.如果函数 f ( x) ? ?

B. 3n +1

C.

1 ( 3n ? 1 ) 2

D.

1 ( 3n ? 1 ) 2

2a 1 ln( x ? 1) 的图象在 x ? 1 处的切线 l 过点 (0, ? ) ,并且 l 与圆 C:x 2 ? y 2 ? 1 b b

相离,则点(a,b)与圆C的位置关系是( A.在圆上 B.在圆外

) C.在圆内 D.不能确定

第2页

:Z-xk.Com] 源 [来

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把你的答案写在答题卡上)
13.某县农民的月收入 ξ 服从正态分布 N(1000,402),则此县农民中月收入在 1000 元到 1080 元间的 人数的百分比为 .

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A, B, C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市. 丙说:我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 .

15 . 在 (1 + x)6(1 + y)4 的 展 开 式 中 , 记 xmyn 项 的 系 数 为 f(m , n) , 则 f(3,0) + f(2,1) + f(1,2) + f(0,3) = .

16.甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球,乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球.先从甲罐 中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1,A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事 件;再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是
第3页

________(写出所有正确结论的编号). 2 ①P(B)=5; ③事件 B 与事件 A1 相互独立; 5 ②P(B|A1)=11; ④A1,A2,A3 是两两互斥的事件;

⑤P(B)的值不能确定,因为它与 A1,A2,A3 中究竟哪一个发生有关.

三、计算题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明与演算步骤)
1 17.(本题满分 10 分)已知函数 f(x)=ax2+blnx 在 x=1 处有极值2. (1)求 a,b 的值; (2)判断函数 y=f(x)的单调性并求出单调区间.

18.(本题满分 12 分)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人员的再就业能 力.每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训 的有 60%,参加过计算机培训的有 75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各人的 选择相互之间没有影响. (1)任选 1 名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (2)任选 3 名下岗人员,记 ξ 为 3 人中参加过培训的人数,求 ξ 的分布列.
:Z-XK] 源 [来

19.(本题满分 12 分)某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据: x y 6 2 8 3 10 5 12 6

( 1 )请在图中画出上表数据的散点 (2) 请根据上表提供的数据,用最小二 ^ ^ ^ y=bx+a;

图; 乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程

(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测记忆力为 9 的同学的判断力。

20.(本题满分 12 分) “开门大吉”是某电视台推出的游 目.选手面对 1~8 号 8 扇大门,依次按响门上的门





铃,门铃

第4页

会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎) ,选手需正确回答出这首歌的 名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中,发现参赛选手多数分为两个年 龄段:20~30;30~40(单位:岁) ,其猜对歌曲名称与否的人数如图所示. (1) 写出 2× 2 列联表; 判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关, 说明你的理由; (2)现计划在这次场外调查中按年龄段选取 9 名选手,并抽取 3 名幸运选手,求 3 名幸运选手中 在 20~30 岁之间的人数的分布列和数学期望。 21. (本题满分 12 分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励,规定: 每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面值之和为该 顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求: (ⅰ)顾客所获的奖励额为 60 元的概率; (ⅱ)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2) 商场对奖励总额的预算是 60 000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两 种球组成,或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合 商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设 计,并说明理由。

22.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) =lnx-ax-3(a≠0) . (Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若对于任意的 a∈[1,2],函数 g ( x ) ? x 3 ? m 的取值范围.

x2 [m ? 2 f ?( x )] 在区间(a,3)上有最值,求实数 2

第5页

2015—2016 学年度第二学期

高二年级数学(理科)期考试题参考答案
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的) 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 A 5 C 6 B 7 D 8 B 9 B 10 B 11 C 12 C

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.47.72% 14.A 15.120 16.②④(对一个得 3 分)
:Z.XK] 源 [来

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分)

b 1 17.解:(1)∵f ′(x)=2ax+x . 又 f(x)在 x=1 处有极值2, ∴ 1 f?1?= , 2 f′?1?=0, 1 a= , 2 即 2a+b=0. 1 解得 a= ,b=-1. 2 ????5 分

1 (2)由(1)可知 f(x)=2x2-lnx,其定义域是(0,+∞), 1 ?x+1??x-1? f′(x)=x-x= . x 由 f′(x)<0,得 0<x<1;由 f′(x)>0,得 x>1.

????6 分 ????7 分 ????9 分

所以函数 y=f(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是(1,+∞). ?10 分 18.解:(1)任选 1 名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件 A, “该人参加过计算机培训”为事件 B, 由题意知,A 与 B 相互独立,且 P(A)=0.6,P(B)=0.75. 所以,该下岗人员没有参加过培训的概率为 ??2 分

P(AB)=P(A)·P(B)=(1-0.6)(1-0.75)=0.1.
所以该人参加过培训的概率为 1-0.1=0.9.

????5 分 ????6 分

(2)因为每个人的选择是相互独立的,所以 3 人中参加过培训的人数 ξ 服从二项分布,即 ξ ~B(3,0.9), ????7 分 ????10 分

k 3-k P(ξ =k)=Ck ,k=0,1,2,3, 30.9 ×0.1

所以 ξ 的分布列是
第6页

ξ

0 0.001

1 0.027

2 0.243

3 0.729 ????12 分 19. 解: (1)

P

如图所示.

????3 分
n

(2)∑ xiyi=6×2+8×3+10×5+12×6=158, i=1 x=
n

????4 分 ????5 分 ????6 分

6+8+10+12 2+3+5+6 = 9 , y = =4, 4 4

2 2 2 2 ∑ x2 i =6 +8 +10 +12 =344, i=1

^ 158-4×9×4 14 ^ ^ b= =20=0.7,a= y -b x =4-0.7×9=-2.3,??9 分 344-4×92 ^ 故线性回归方程为y=0.7x-2.3. ????10 分 ^ (3)由回归直线方程,当 x=9 时,y=6.3-2.3=4, 所以预测记忆力为 9 的同学的判断力约为 4. ????12 分 20.解: (1)联列表为: 年龄/正误 20~30 30~40 合计 正确 10 10 20 错误 30 70 100 合计 40 80 120 ????2 分

n(ad ? bc) 2 K ? =3>2.706 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

????4 分 ??????5 分

有 90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关.

(2)设 3 名选手中在 20~30 岁之间的人数为 ξ ,可能取值为 0,1,2,3 20~30 岁之间的人数是 3 人 ??????????6 分 , ,

, ξ 0 1 2 3

??9 分

P

????11 分

第7页

E(ξ )=

=1

??????12 分

:Z.XK] 源 [来

21.解:(1) 设顾客所获的奖励额为 X,
1 C1 1 1C3 (ⅰ) 依题意,得 P(X=60)= C2 =2, 4

1 即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为2. (ⅱ) 依题意,得 X 的所有可能取值为 20,60. 1 C2 1 3 P(X=60)=2,P(X=20)=C2=2, 4 即 X 的分布列为 X 20 60 P 1 2 1 2

????2 分

????3 分

所以顾客所获的奖励额的期望为 1 1 E(X)=20× +60× =40(元). 2 2 ??????????5 分

(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为 60 元.所以,先寻找期望为 60 元的可能方 案.对于面值由 10 元和 50 元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元是面值 之和的最大值,所以期望不可能为 60 元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为 60 元是面值之 和的最小值,所以期望也不可能为 60 元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案 1. 对于面值由 20 元和 40 元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案, 所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案 2. ??7 分 以下是对两个方案的分析: 对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为 X1,则 X1 的分布列为 X1 P 20 1 6 60 2 3 100 1 6

1 2 1 X1 的期望为 E(X1)=20×6+60×3+100×6=60, 1 2 1 1 600 X1 的方差为 D(X1)=(20-60)2×6+(60-60)2×3+(100-60)2×6= 3 . ?9 分 对于方案 2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为 X2,则 X2 的分布列为 X2 P 40 1 6 60 2 3 80 1 6

1 2 1 X2 的期望为 E(X2)=40×6+60×3+80×6=60, 1 2 1 400 X2 的方差为 D(X2)=(40-60)2×6+(60-60)2×3+(80-60)2×6= 3 .??11 分 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小,所以 应该选择方案 2.
第8页

????12 分

22.解: (Ⅰ) 定义域(0, ??), f ?( x ) ? 1 ? ax ,
x

????1 分 ?????3 分 ??????5 分

1 1 当a ? 0时, x ? (0, )时f ?( x) ? 0; x ? ( , ??)时, f ?( x) ? 0, a a

当a ? 0时, x ? (0, ??)时, f ?( x) ? 0 ,

1 1 所以当a ? 0时, f ( x )的单调增区间为(0, ), 减区间为( , ??); a a
当a ? 0时, f ( x )的单增区间为(0, ??), 无减区间.

??????6 分 ????7 分

(Ⅱ) g ( x ) ? x 3 ? (

m ? a ) x 2 ? x, g ?( x ) ? 3x 2 ? ( m ? 2a ) x ? 1 , 2

?函数g ( x )在区间( a,3)上有最值,?函数g ( x )在区间( a,3)上不单调, g ?(0) ? ?1 ? 0 ,

? g ?( a ) ? 0 ?3a 2 ? ( m ? 2a )a ? 1 ? 0 ? 对任意的a ? [1, 2]恒成立, ∴? g ?(3) ? 0 即 ?3m ? 6a ? 26 ? 0 ? ?
1 ? 32 19 ?m ? ? 5a 即? 对任意的a ? [1, 2]恒成立, 得 ? ?m?? 。 a 即? 3 2 ?3m ? 6a ? 26 ? 0

??10 分

????12 分

第9页


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