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2014年全国高考理科数学试题分类汇编圆锥曲线 学生版


2014 年全国高考理科数学试题分类汇编 十、圆锥曲线
第 I 部分 1.【2014 年重庆卷(理 08) 】设 F1,F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦 a2 b2
9 ab, 则该双曲线的离心率 4

点, 双曲线上存在一点 P 使得 | PF1 | ? | PF2

|? 3b, | PF1 | ? | PF2 |? 为( A. ) B.

4 3

5 3

C.

9 4

D.3
2 2

2.【2014 年福建卷(理 09) 】设 P,Q 分别为圆 x +(y﹣6) =2 和椭圆 P,Q 两点间的最大距离是( A 5 . B . + ) C 7+ .
2

+y =1 上的点,则

2

D 6 .

3.【2014 年辽宁卷(理 10) 】已知点 A(?2,3) 在抛物线 C: y ? 2 px 的准线上,学 科网过 点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为( A. )

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 3
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、 右焦点为 F1 、F2 , a 2 b2

4. 【2014 年全国大纲卷 (06) 】 已知椭圆 C:

离心率为 ( A. )

3 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若 ?AF1 B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为 3

x2 y 2 ? ?1 3 2

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y 2 ? ?1 12 8

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

5.【2014 年全国大纲卷(09) 】已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1 、 F2 ,点 A 在 C 上, 若| F 1 A |? 2 | F 2 A | ,则 cos ?AF2 F 1 ?( )

A.

1 4

B.

1 3

C.

2 4

D.

2 3
x2 y2 ? ? 1 ,双曲线 C 2 的 a2 b2

6.【2014 年山东卷(理 10) 】已知 a ? 0, b ? 0 ,椭圆 C 1 的方程为

1

方程为

3 x2 y2 ? 2 ? 1 , C 1 与 C 2 的离心率之积为 ,则 C 2 的渐近线方程为 2 a b 2

(A) x ? 2 y ? 0 (B) 2 x ? y ? 0 (C) x ? 2y ? 0 (D) 2x ? y ? 0 7.【2014 年四川卷(理 10) 】已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点,点 A , B 在该抛物线上且位
2

于 x 轴的两侧,OA ? OB ? 2 (其中 O 为坐标原点) ,则 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值 是 A. 2 B. 3 C.

??? ? ??? ?

17 2 8

D. 10

8.【2014 年天津卷(理 05) 】已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0 , b ? 0) 的一条渐近线平行于 a 2 b2

直线 l : y ? 2 x ? 10 ,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为 A.

x2 y 2 ? ?1 5 20

B.

x2 y 2 ? ?1 20 5

C.

3x 2 3 y 2 3x 2 3 y 2 ? ? 1 D. ? ?1 25 100 100 25
2 2

9.【2014 年全国新课标Ⅰ(理 04) 】已知 F 是双曲线 C : x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦 点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为

A. 3

B .3

C . 3m

D . 3m
2

10.【2014 年全国新课标Ⅰ(理 10) 】已知抛物线 C : y ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是

??? ? ??? ? l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若 FP ? 4FQ ,则
| QF | =

A.

7 2

B.

5 2

C .3

D .2

11. 【2014 年全国新课标Ⅱ (理 10) 】 设 F 为抛物线 C: y 2 ? 3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )

A.

3 3 4

B.

9 3 8

C.

63 32
2

D. 9

4

12. 【 2014 年广东卷(理 04 ) 】若实数 k 满足 0 ? k ? 9, 则曲线

x2 y2 ? ? 1 与曲线 25 9 ? k

x2 y2 ? ? 1的 25 ? k 9
A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等

13.【2014 年湖北卷(理 09) 】已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公 共点,且 ?F1 PF2 ?

?
3

,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(



A.

4 3 3

B.

2 3 3

C.3

D.2

第 II 部分 14.【2014 年上海卷(理 03) 】若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合, 9 5

则该抛物线的准线方程为

.

2 15. 【 2014 年上海卷(理 14 ) 】 已知曲线 C : x ? ? 4 ? y ,直线 l : x ? 6 . 若对于点

A(m , 0) , 存 在 C 上 的 点 P 和 l
为 .

上 的 Q 使 得 A P? A Q ?0,则 m 的取值范围

??? ? ????

?

16.【2014 年浙江卷 (理 16) 】 设直线 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 与双曲线

两条渐近线分别交于点 A 、 B ,若点 P(m , 0) 满足 | PA |?| PB | ,则该双曲线的离心率是 __________.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

) 斜率为 ? 17. 【 2014 年 江 西 卷 ( 理 15 ) 】 过 点 M (1, 1 作

1 的直线与椭圆 C : 2

3

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B ,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为 a 2 b2
18.【2014 年北京卷(理 11) 】设双曲线 C 经过点 ? 2, 2 ? ,且与 则 C 的方程为________;渐近线方程为________.

y2 ? x 2 ? 1 具有相同渐近线, 4

y2 19.【2014 年安徽卷(理 14) 】设 F1 , F2 分别是椭圆 E : x ? 2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点, b
2

过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A, B 两点,若 AF 1 ? 3F 1 B , AF 2 ? x 轴,则椭圆 E 的方程为 ____________. 20. 【 2014 年湖南卷(理 15 ) 】如图 4 ,正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为

a , b (a ? b) . 原点 O 为 AD 的中点,抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) b 经过 C 、 F 两点,则 ? ________. a

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 21.【2014 年辽宁卷(理 15) 】已知椭圆 C: 9 4
的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |? .

第 III 部分

22.【2014 年陕西卷(理 20) 】 (本小题满分 13 分) 如图,曲线

C

由上半椭圆

C1 :

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和 部 分 抛 物 线 a 2 b2
3 . 2

C1 , C2 的公共点为 A, B ,其中 C1 的离心率为 连接而成, C2 : y? ? 2 x ? 1( y?0 )
(1)求 a , b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1 , C2 分 于点 A, B ) ,若 AP

别交于 P, Q(均异 线 l 的方程.

? AQ ,求直

4

23.【2014 年重庆卷(理 21) 】如下图,设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 a 2 b2

F1 , F2 ,点 D 在椭圆上, DF1 ? F1F2 ,

2 | F1F2 | . ? 2 2 , ?DF1F2 的面积为 2 | DF1 |

(1)求该椭圆的标准方程; (2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点 处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径..

y

F1

O

F2

x

D

24.【2014 年安徽卷(理 19) 】 (本小题满分 13 分) 如图,已知两条抛物线 E1 : y ? 2P 1 x( P 1 ? 0) 和
2

y
A2 l2 l1
O

E2 E1

E2 : y 2 ? 2P2 x( P2 ? 0) ,过原点 O 的两条直线 l1 和 l 2 ,
l1 与 E1 , E 2 分别交于 A1 , A2 两点, l 2 与 E1 , E 2 分别交
于 B1 , B2 两点. (Ⅰ)证明: A1 B1 // A2 B 2 ;

A1

x
B1 B2

第(19)题图

(Ⅱ)过原点 O 作直线 l (异于 l1 ,l 2 )与 E1 , E 2 分别交于 C1 , C 2 两点.记 ?A1 B1C1 与

?A2 B2 C2 的面积分别为 S 1 与 S 2 ,求

S1 的值. S2

5

25.【2014 年福建卷(理 19) 】已知双曲线 E:



=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别

为 l1:y=2x,l2:y=﹣2x. (1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、第 四象限) ,且△OAB 的面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲 线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程,若不存在,说明理由.

26.【2014 年湖南卷(理 21) 】 (本小题满分 13 分) 如图 7, O 为坐标原点,椭圆 C1 : 心 率 为 e1 ; 双 曲 线 C 2 :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 , F2 ,离 a2 b2

x2 y2 ? ? 1 的 左 、 右 焦 点 为 F3 , F4 , 离 心 率 为 e 2 . 已 知 a2 b2

3 ,且 | F2 F4 |? 3 ? 1 . 2 (1)求 C1 、 C 2 的方程; (2) 过 F1 作 C1 的不垂直 y 轴的弦 AB ,M 为 AB 的中点. 当直线 OM 与 C 2 交于 P , Q 两点时,求四边形 APBQ 面积的最小值. e1e2 ?

27.【2014 年辽宁卷(理 20) 】 (本小题满分 12 分)

6

圆 x 2 ? y 2 ? 4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,

切点为 P(如图) ,双曲线 C1 : (1)求 C1 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 过点 P 且离心率为 3 . a 2 b2

(2)椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点, 若以线段 AB 为直径的圆心过点 P,求 l 的方程.

28.【2014 年全国大纲卷(21) 】 (本小题满分 12 分)
2 已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,直线 y ? 4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为

Q,且 | QF |?

5 | PQ | . 4

(1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l 与 C 相较于 M、N 两点,且 A、M、B、N 四点在同一圆上,求 l 的方程.
'

29.【2014 年山东卷(理 21) 】 (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : y ? 2 px( p>0) 的焦点为 F , A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的
2

直线 l 交于另一点 B , 交 x 轴的正半轴于点 D , 且有| FA ? FD , 当点 A 的横坐标为 3 时,

? ADF 为正三角形。 (I)求 C 的方程;
(II)若直线 l1 // l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E , (i)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ii) ? ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理 由.

30.【2014 年四川卷(理 20) 】已知椭圆

7

C:

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角 a 2 b2

形。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x ? ?3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q。 (i)证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点) ; (ii)当

| TF | 最小时,求点 T 的坐标。 | PQ |

31.【2014 年天津卷(理 18) 】 (本小题满分 13 分)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,右顶点为 A ,上顶点为 B .已 a 2 b2 3 | F1F2 | . 知 | AB |? 2
设椭圆 ⑴求椭圆的离心率; ⑵设 P 为椭圆上异于其顶点的一点, 以线段 PB 为直径的圆经过点 F1 , 经过原点 O 的直线 l 与该圆相切,求直线 l 的斜率.

32.【2014 年全国新课标Ⅰ(理 20) 】 (本小题满分 12 分) 已知点 A (0,-2) ,椭圆 E :

x2 y 2 3 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为 ,O 为 2 a b 3 2
坐标原点. (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

33.【2014 年全国新课标Ⅱ(理 20) 】 (本小题满分 12 分)
2 y2 设 F1 , F2 分别是椭圆 x 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的左右焦点, M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,

a

b

直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率;

4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F 1 N ,求 a,b.

8

34. 【 2014 年江苏卷(理 17 ) 】如图,在平面直角坐标系 xOy 中, F1 、 F2 分别是椭圆
2 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b) ,连结 BF2 a 2 b2

交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于 另一点 C,连结 F1C. (1) 若点 C 的坐标为(错误!未找到引用 源。 ,错误!未找到引用源。 ) ,且 BF2 = 错误! 未找到引用源。 , 求椭圆的方程; (2) 若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值。 F1 O F2 A x B C y

35.【2014 年北京卷(理 19) 】 (本小题 14 分) 已知椭圆 C : x
2

? 2 y2 ? 4 ,

(1)求椭圆 C 的离心率. (2)设 O 为原点, 若点 A 在椭圆 C 上, 点B 在直线 y 论.

? 2 上,且 OA ? OB ,求直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 的位置关系,并证明你的结

36.【2014 年广东卷(理 20) 】 (本小题满分 14 分)已知椭圆 C : 一个焦点为 ( 5,0) ,离心率为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

5 , 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P( x0 , y0 ) 为椭圆外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹 方程。

38.【2014 年江西卷(理 20) 】 (本小题满分 13 分) 如图,已知双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的右焦点 F,点 A,B 分别在 C 的两条渐近线上, 2 a

AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点),
9

(1)求双曲线 C 的方程; (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0 ? 0 )的直线 l :

x0 x ? y 0 y ? 1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 a2

x?

3 | MF | 相交于点 N。证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值。 2 | NF |

39.【2014 年上海卷(理 22) 】(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分, 第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 在平面直角坐标系 xOy 中,对于直线 l : ax ? by ? c ? 0 和点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,

C 与直 l 记 ? ? (ax1 ? by1 ? c)(ax2 ? by2 ? c) . 若? ? 0 , 则称点 P 1 , P 2 被直线 分割. 若曲线 C 的一条分割 l l 线 l 没有公共点,且曲线 C 上存在点 P 1 , P 2 被直线 分割,则称直线 为曲线
线. (1) 求证:点 A(1, 2) , B(?1, 0) 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分割; (2) 若直线 y ? kx 是曲线 x2 ? 4 y 2 ? 1 的分割线,求实数 k 的取值范围; (3) 动点 M 到点 Q(0 , 2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1 ,设点 M 的轨迹为曲线 E . 求 证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是 E 的分割线.

40.【2014 年浙江卷(理 21) 】(本小题满分 15 分) 如图, 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P , 且点 P 在 a 2 b2

第一象限. ⑴已知直线 l 的斜率为 k ,用 a 、 b 、 k 表示点 P 的坐标; ⑵若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a ? b .

10

11


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