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6.《函数的最大(小)值与导数》


1.3.3 函数的最大?小?值与导数

我们知道, 极值反映的是函数在某 一点附近 的局部性质, 而不是函数在整个定域 内的性 质 .也就是说 , 如果 x0是函数 y ? f ?x ?的极大

?小? 值点, 那么在 x0 附近找不到比 f ?x0 ?更大 ?更小?的值.但是, 在解决实际问题或研究 函
数性质时, 我们往往更

关心函数在 某个区间 上, 哪个值最大, 哪个值最小 .如果 x0是函数y 数y ? f ?x ?在相应区间上所有函数 值. ? f ? x ?的最大?小?值点, 那么f ? x0 ?不小?大 ?于函

如图 1.3 ? 13, 观察区间 ?a,b?上函数y ? f ?x ?的 图象, 你能找出它的极 大值、极小值吗 ?

y

y ? f ?x ?

观察图象, 我们发现, f ?x1 ?, 图1.3 ? 13 f ?x 3 ?, f ?x 5 ?是函数y ? f ?x ? 的极小值, f ?x 2 ?, f ?x 4 ?, f ?x 6 ?是极大值.

a x1 x 2 x 3

o

x 4 x5

x6

b

x

探究 你能找出函数 y ? f ?x ?在区间?a, b?上的最 大值、最小值吗 ?
从图1.3 ? 13可以看出,函数y ? f ?x ?在区间?a, b? 上最大值是f ?a ?, 最小值是f ?x 3 ?.

y

y ? f ?x ?

y

y ? f ?x ?

ao
b x

a x1 x 2

o

x4
x3

x5 b

x

图1.3 ? 14

图1.3 ? 15

在图1.3 ? 14、 1.3 ? 15中, 观察 ?a, b?上的函数 小值吗? 如果有, 最大值和最小值分别是 什 么?

y ? f ?x ?的图象,它们在?a, b?上有最大值、最

一般地, 如果在区间?a, b?上函数 y ? f ?x ?的 图象是一条连续 不断的曲线, 那么它必有 最大值和最小值.

中的例子, 不难看出 , 只要把函数 y ? f ? x ?的 所有极值 连同端点的函数值进行 比较, 就 可以求出函数的最大值 与最小值 .

结合图 1.3 ? 14、图1.3 ? 15,以及函数极值

1 3 例5 求函数f ?x ? ? x ? 4 x ? 4 在?0,3?上的最大值 3 y 与最小值. 1 f ?x ? ? x 3 ? 4 x ? 4 3 解 由例4可知, 在 ?0,3?上,当x 1 3 ? 2时, f ?x ? ? x ? 4 x ? 4 有极 3 2 4 o 3 x 小值, 并且极小值为f ?2? ? ? . 3 又则于f ?0? ? 4, f ?3? ? 1 , 图1.3 ? 16

4 因此,函数f ?x ?在?0,3?上的最大值是4, 最小值是 ? . 3 上述结论可从函数 f ?x ?在?0,3?上的图象(图1.3 ? 16) 得到直观验证.

一般地, 求函数y ? f ?x ?在?a, b?上的最 大值与最小值的步骤如 下:

?1?求函数 y ? f ?x?在 ?a, b?内的极值;
?2?将函数y ? f ?x ?的各极值与端点处 的函数值 f ?a ?、f ?b?比较, 其中最大的
一个是最大值 , 最小的一个是最小值 .
利用信息技术探究函数 f ?x ? ? ax3 ? bx2 ? cx ? d的性质.


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