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求值域的几种常用方法


求值域的几种常用方法 (1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法,如求函数

y ? ? sin 2 x ? 2 cos x ? 4 ,可变为 y ? ? sin 2 x ? 2 cos x ? 4 ? (cosx ? 1) 2 ? 2 解决
(2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求,如函数

y ? log 1 (? x 2 ? 2 x ? 3) 就是利用函数 y ? log 1 u 和 u ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的值域来求。
2
2

(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数 y ?

2x ? 1 的值域 x ? 2x ? 2
2

由y?

2x ? 1 1 2 得 yx ? 2( y ? 1) x ? 2 y ? 1 ? 0 ,若 y ? 0 ,则得 x ? ? ,所以 y ? 0 2 x ? 2x ? 2
2

2 是 函 数 值 域 中 的 一 个 值 ; 若 y ? 0 , 则 由 ? ? [?2( y ? 1)] ? 4 y(2 y ? 1) ? 0 得

3 ? 13 3 ? 13 3 ? 13 3 ? 13 ? y? 且y ? 0 ,故所求值域是 [ , ] 2 2 2 2
(4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。如求函数 y ?

2 cos x ? 3 的值域,因为 cos x ? 1

y?

2 cos x ? 3 5 5 5 ? 2? ? (?? ,? ] ,故 ,而 cos x ? 1 ? (0,2] ,所以 ? cos x ? 1 cos x ? 1 cos x ? 1 2

1 y ? (?? ,? ] 2
(5)利用基本不等式求值域:如求函数 y ?

3x 的值域 x ?4
2

当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, y ?

3 4 x? x

,若 x ? 0 ,则 x ?

4 4 ? 2 x? ? 4 x x

若 x ? 0 ,则 x ?

4 4 4 3 3 ? ?(? x ? ) ? 2 ( ? x) ? ( ) ? 4 ,从而得所求值域是 [? , ] 4 4 x ?x ?x
4 2

(6)利用函数的单调性求求值域:如求函数 y ? 2 x ? x ? 2( x ? [?1,2]) 的值域
3 2 4 2 因 y ? 8x ? 2 x ? 2 x(4 x ? 1) ,故函数 y ? 2 x ? x ? 2( x ? [?1,2]) 在 ( ?1,? ) 上递减、

1 2

在 (?

1 1 1 15 ,0) 上递增、在 (0, ) 上递减、在 ( ,2) 上递增,从而可得所求值域为 [ ,30] 2 2 2 8

(7)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域(求某 些分段函数的值域常用此法) 。

★热点考点题型探析
考点一:判断两函数是否为同一个函数 [例 1]试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1) f ( x) ? (2) f ( x) ?

x 2 , g ( x) ? 3 x 3 ;
x x
, g ( x) ? ?

x ? 0, ?1 ?? 1 x ? 0;
2 n?1

(3) f ( x) ? 2n?1 x 2n?1 , g ( x) ? (2n?1 x ) (4) f ( x) ?

(n∈N*) ;

x
2

x ? 1 , g ( x) ?
2

x2 ? x ;

(5) f ( x) ? x ? 2x ? 1 , g (t ) ? t ? 2t ? 1 [解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数,就要考查函数的三要素。 [解析] (1) 由于 f ( x) ? 所以它们不是同一函数. (2)由于函数 f ( x) ?

x 2 ? x ,g ( x) ? 3 x 3 ? x , 故它们的值域及对应法则都不相同,

x x

的定义域为 (??,0) ? (0,??) ,而 g ( x) ? ?

x ? 0, ?1 的定 ?? 1 x ? 0;
2n?1

义域为 R,所以它们不是同一函数.

g ( x) ? (2n?1 x ) (3) 由于当 n∈N*时, 2n± 1 为奇数, ∴ f ( x) ? 2 n?1 x 2 n?1 ? x ,
它们的定义域、值域及对应法则都相同,所以它们是同一函数. (4)由于函数 f ( x) ?

?x,

x

x ? 1 的定义域为 x x ? 0 ,而 g ( x) ?

?

?

x 2 ? x 的定义域

为 x x ? 0或x ? ?1 ,它们的定义域不同,所以它们不是同一函数. (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数. [答案](1) 、 (2) 、 (4)不是; (3) 、 (5)是同一函数 【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应 关系确定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数为同一函 数。第(5)小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透,在函数的定义 域及对应法则 f 不变的条件下,自变量变换字母对于函数本身并无影响,比如 f ( x) ? x ? 1 ,
2

?

?

f (t ) ? t 2 ? 1 , f (u ? 1) ? (u ? 1) 2 ? 1 都可视为同一函数.
考点二:求函数的定义域、值域 题型 1:求有解析式的函数的定义域

[例 2].(08 年湖北)函数 f ( x) ?

1 ln( x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 ) 的定义域为( ) x

A. (??,?4) ? [2,??) ;B. (?4,0) ? (0,1) ;C. [,?4,0) ? (0,1] ;D. [,?4,0) ? (0,1) [解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。 [解析]欲使函数 f ( x) 有意义,必须并且只需

? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? 2 ?? x ? 3x ? 4 ? 0 ? x ? [?4,0) ? (0,1) ,故应选择 D ? 2 2 x ? 3 x ? 2 ? ? x ? 3 x ? 4 ? 0 ? ?x ? 0 ?
【名师指引】如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x 的取值范围, 实际操作时要注意:①分母不能为 0;② 对数的真数必须为正;③偶次根式中被开方数应为 非负数;④零指数幂中,底数不等于 0;⑤ 负分数指数幂中,底数应大于 0;⑥若解析式由 几个部分组成,则定义域为各个部分相应集合的交集;⑦ 如果涉及实际问题,还应使得实际 问题有意义,而且注意:研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题的定义 域不要漏写。
当堂练习: 1.下面给出的四类对象中,构成集合的是( A.某班个子较高的同学 2.下面四个命题正确的是( B.长寿的人 ) B.由 1,2,3 组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1} ) C.

2 的近似值

D.倒数等于它本身的数

A.10 以内的质数集合是{0,3,5,7}
2

C.方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解集是{1,1} D.0 与{0}表示同一个集合 3. 下面四个命题: (1)集合 N 中最小的数是 1;
+

(2)若 -a ? Z,则 a ? Z;

(3)所有的正实数组成集合 R ; (4)由很小的数可组成集合 A; 其中正确的命题有( A.1 )个 B.2
2

C.3
2

D.4

4.下面四个命题: (1)零属于空集; 其中正确的命题有( A.1 )个 B.2

(2)方程 x -3x+5=0 的解集是空集;

(3)方程 x -6x+9=0 的解集是单元集; (4)不等式 2 x-6>0 的解集是无限集; C.3 ) D.4

5. 平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( A. {x,y 且 x ? 0, y ? 0 } C. {(x,y) x ? 0, y ? 0 } 6.用符号 ? 或 ? 填空:

B. {(x,y) x ? 0, y ? 0 } D. {x,y 且 x ? 0, y ? 0 }

0__________{0} , 0__________N,

a__________{a} ,

?

__________Q ,

1 2

__________Z , - 1__________R ,

0 ?.

7.由所有偶数组成的集合可表示为{ x x ? }. 8.用列举法表示集合 D={ ( x, y) y ? ? x ? 8, x ? N , y ? N }为.
2

9.当 a 满足时, 集合 A={ x 3x ? a ? 0, x ? N ? }表示单元集. 10.对于集合 A={2,4,6},若 a ? A,则 6-a ? A,那么 a 的值是__________. 11.数集{0,1,x -x}中的 x 不能取哪些数值?
2

12.已知集合 A={x ? N|

12 6-x

?N

},试用列举法表示集合 A.

13.已知集合 A={ x ax ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R, x ? R }.
2

(1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值;

(2)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围.

14.由实数构成的集合 A 满足条件:若 a ? A, a ? 1,则

1 1? a

? A ,证明:

(1)若 2 ? A,则集合 A 必还有另外两个元素,并求出这两个元素; (2)非空集合 A 中至少有三个不同的元素。


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