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空间向量及其加减与数乘运算1


一、平面向量复习
⒈定义:既有大小又有方向的量叫向量. 几何表示法:用有向线段表示; 字母表示法:用字母a、b等或者用有向线段 的起点与终点字母 AB表示. 相等的向量:长度相等且方向相同的向量. B D

A

C

⒉平面向量的加减法与数乘运算
⑴向量的加法:

b a a

平行四边形法则

三角形法则

⑵向量的减法 三角形法则 ⑶向量的数乘 a ka (k>0) (k<0) b a

ka

⒊平面向量的加法与数乘运算律
加法交换律: a+b=b+a 加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c) 数乘分配律: λ(a+b)=λa+λb

推广
⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An
A1
A2

An?1
An

A3

A4

⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形, 则它们的和为零向量.即: A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? An A1 ? 0
A1
A2

An?1
An

A3

A4

二、空间向量及其加减与数乘运算

⒈空间向量: ⑴定义:空间中具有大小和方向的量叫做向量. ⑵表示方法: ①空间向量的表示方法和平面向量一样; ②同向且等长的有向线段表示同一向量或 相等的向量; ③空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示.

⒉空间向量的加法、减法与数乘向量
C
?

B

b
O

b a
A O

a a
?a

P

OB ? OA ? AB ? a + b CA ? OA ? OC ? a - b OP ? ? a (? ? R)

⒊空间向量加法与数乘向量运算律
⑴加法交换律:a + b = b + a; ⑵加法结合律:(a + b) + c =a + (b + c); ⑶数乘分配律: λ(a + b) =λa +λb ; a

a c
b

b

c

对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明 ⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广.

⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立. ⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向 量相加.

推广
⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An
A1
A2

An?1
An

A3

A4

⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形, 则它们的和为零向量.即: A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? An A1 ? 0
A1
A2

An?1
An

A3

A4

例1 已知平行六面体 ABCD ? A' B' C ' D',化简下
列向量表达式,并标出 化简结果的向量:
D’ A’ B’

⑴AB ? BC; ⑵AB ? AD ? AA'; 1 ⑶ AB ? AD ? CC ' 2 1 ⑷ ( AB ? AD ? AA' ). 3
A

C’

D B

C

例1已知平行六面体 ABCD? A' B' C ' D',化简下 列向量表达式,并标出 化简结果的向量:

⑴AB ? BC; ⑵AB ? AD ? AA'; 解:⑴AB ? BC ? AC ⑵AB ? AD ? AA' ? AC ? AA'   AC ? CC' ? ? AC'
A A’

D’
B’

C’

D
B

C

例1已知平行六面体 ABCD? A' B' C ' D',化简下 列向量表达式,并标出 化简结果的向量: 1 ⑶ AB ? AD ? CC ' 2

解:⑶设M是线段CC’的中点,则
1 AB ? AD ? CC ' 2
D’ C’ B’ M

? AC ? CM

A’

? AM
D A B
C

例1已知平行六面体 ABCD? A' B' C ' D',化简下 列向量表达式,并标出 化简结果的向量: 1 ⑷ ( AB ? AD ? AA' ). 3

解:⑷设G是线段AC’靠近点A的 三等分点,则
1 ( AB ? AD ? AA' ) 3 1 ? AC ' 3
A’

D’ B’

C’

M

G
D A B C

? AG.

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC
(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
A1 D1 B1 C1

D

C B

A

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC 解(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C
? AB1 ? B1C1 ? C1C ? AC ? x ? 1.
A D B C A1 D1 B1 C1

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1

解:(2) 2 AD1 ? BD1
? AD1 ? AD1 ? BD1 ? AD1 ? (BC1 ? BD1 ) ? AD1 ? D1C1 ? AC1
A1 D1 B1 C1

? x ? 1.
A

D B

C

例2:已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。 A1

D1 B1

C1

⑶AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
解:(3) AC ? AB1 ? AD1
A

D B

C

? ( AD ? AB) ? ( AA1 ? AB) ? ( AA1 ? AD) ? 2( AD ? AB ? AA1 )
? 2AC1

? x ? 2.

练习一:空间四边形ABCD中,M、G分别 是BC、CD边的中点,化简:
A

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AG ? ( AB ? AC) 2

D G B M

C

练习一:空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边 的中点,化简:

1 1 (1) AB ? ( BC ? BD ) (2) AG ? ( AB ? AC ) 2 2
A

(1)原式=AB ? BM ? MG ? AG
(2)原式
D
G

1 =AB ? BM ? MG ? ( AB ? AC ) 2 1 =BM ? MG ? ( AB ? AC ) 2

? BM ? MG ? MB
B M

C

? MG

练习二:在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.

(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
' '

A B

E C

D

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD
'

A B C

D

练习二:在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面

AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.

(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
' '

A

E C

D

B

A B

D

C

练习二:在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD
'

A E

D C

B

A B C

D

小结

类比、数形结合

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
数乘分配律

k (a ? b) ? k a+k b

例:空间一个平移就是一个向量. a a
D A C A’ C’ B’ D’

B

一、平面向量复习
⒈定义:既有大小又有方向的量叫向量 几何表示法:用有向线段表示; 字母表示法:用字母a、b等或者用有向线段 的起点与终点字母 AB表示. 相等的向量:长度相等且方向相同的向量 B D

A

C

a

b

?

平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’ 的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体.记 作ABCD—A’B’C’D’. D’ C’
平行六面体 的六个面都是平 行四边形,每个 面的边叫做平行 六面体的棱.
A’ B’

a
D A B C


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