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必修1第一章第1节集合之间的关系及运算






高一 丁学锋 黄楠





数学





人教新课标 B 版

课程标题 编稿老师 一校

必修 1 第一章 第 1 节 集合之间的关系及运算 二校 李秀卿 审核 吴华斌

一、学习目标:
1. 了解集合的含义及元素与集合的“属于”关系; 2. 能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题; 3. 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; 4. 在具体情境中,了解全集与空集的含义; 5. 理解两个集合中的交集的含义,会求两个简单集合的交集。

二、重点、难点:
1. 重点:集合的表示方法,元素和集合的关系,集合与集合之间的关系 2. 难点:有关 ?, ? 的理解和应用

三、考点分析:
本讲的内容是中学数学最基本的内容之一, 基础问题往往体现集合的概念、 运算及简单 的运用,经常作为工具广泛地运用于函数、方程、不等式、 三角函数及区间、轨迹等知识中, 在高考中占有重要地位。

1. 集合 (1)集合的分类 ?

?有限集 ? ?含有有限个元素的集合 ?无限集 ? ?含有无限个元素的集合

(2)集合的元素特性:确定性、互异性、无序性 (3)集合的表示方法: ①列举法—把集合中的元素一一列举出来,写在花括号内表示集合的方法; ②描述法—把集合中元素的公共属性描述出来,写在花括号内表示集合的方法。 (4)常见集合的符号表示: 数 符 集 号 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

N
文字语言 属于 不属于 符号语言

N

*

Z

Q

R

(5)集合与元素的关系:

? ?

2. 集合间的基本关系:

表示 关系 相等 子集 真子集 空集 3. 交集: 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的 交集。 文字语言 集合 A 等于集合 B 集合 A 是集合 B 的子集 集合 A 是集合 B 的真子集 空集 符号语言

A? B A? B A?B
?

?

知识点一:集合的基本概念
例 1. 在以下六种写法中,错误写法的个数是(

(1)?0?? ?0,1?, (2)? ??0?, (3)?0,?1,1? ? ?? 1,0,1?, (4)0 ? ? , ?



? (5) Z ? ?全体整数? ,(6) 0,0)? ?0? ( ?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 思路分析: 题意分析:本题主要考查集合中的有关基本概念及集合中的两个符号 ?和 ? 的区别。 对写法(1)(2)(3)(5)(6)考查集合与集合间符号的运用,对写法(4)考查元素与 、 、 、 、 集合之间符号的运用。 解题思路:对写法(1)是要理解集合的大小,写法(2)是表示空集与任意集合的关系, 写法(3)表示集合相等的概念,写法(4)是表示实数 0 与空集的关系,写法(5)是集合 的表示,写法(6)是对集合中元素的认识。 解答过程: (1)是两个集合的关系,不能用“ ? ”; (2)空集是任何非空集合的真子集,故写法正确; (3)集合中的元素具有无序性,只要集合中的所有元素相同,两个集合就相等; (4) ? 表示空集,空集中无任何元素,所以应是 0 ? ? ,故写法不正确; (5)集合符号“ ? ?”本身就表示全体元素之意,故此“全体”两字不应写; (6)等式左边集合的元素是平面上的原点,而右边集合的元素是数零,故不相等。 故本题选 B 题后思考:本题考查集合的有关基本概念,尤其要注意区别 ?和 ? 两个符号的不同含 义。 例 2. 已知 A ? a ? 2, (a ? 1) , a ? 3a ? 3 ,若 1 ? A ,求实数 a 的值。
2 2

?

?

思路分析: 题意分析:本题主要考查元素与集合之间的关系,集合中元素的有关性质。 解题思路:

解答过程:

当a ? 2 ? 1时 a ? ?1, A ? ? ,0,1?不符合集合性质,舍去; , 1

1)当a ? 0时 A ? ?2,1,3? ,

当 a ? 1) 2 ? 1时 a ? 0或a ? ?2, ( , 2)当a ? ?2时 A ? ?0,1,1?, 舍 ; , 去 a ? 0.

当a 2 ? 3a ? 3 ? 1时 a 2 ? 3a ? 2 ? 0, a ? ?1或a ? ?2(舍 ) , 去 . 所 , 上 述 以 综 所 :
题后思考:本题主要考查元素在集合中的性质,要学会用分类的思想考虑问题,并且要 通过集合中元素的唯一性验证集合。 例 3. 已知集合 A ? x x ? 2 x ? 8 ? 0 , B ? x x ? ax ? a ? 12 ? 0 ,当 B ? A 时,求
2 2 2

?

?

?

?

实数 a 的取值范围。 思路分析: 题意分析:本题考查了子集的有关概念和应用,对于集合 A ? ?? 2,4?中含有确定的两 个元素-2,4,如果集合 B 是集合 A 的子集,则集合 B 中的元素应是集合 A 中的元素,另 外还考查了分类的思想。 解题思路:本题应从如何使方程 x ? ax ? a ? 12 ? 0 的解集成为集合 A 的子集入手,
2 2

寻求集合 B 可能的情况,但无论如何不能使集合 B 中含有集合 A 以外的元素,尤其不能忘 记集合 B 可能是空集。 解答过程:由已知得 A ? ?? 2,4?, B 是关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 12 ? 0 的解集,
2 2

因为 B ? A ,所以 B ? ?? 2,?, ?4?, ?? 2,4?, ?
2

( 1 ) 若 B ? ?? 2?, 则 (?2) ? a(?2) ? a ? 12 ? 0 , 解 得 a ? 4或a ? ?2 , 当
2

a ? 4时,恰有? ? 0 ; 2 2 (2)若 B ? ?4?, 则 4 ? 4a ? a ? 12 ? 0 ,解得 a ? ?2,此时? ? 0舍去 ; (3)若 B ? ?? 2,4?, 则由(1) (2)知 a ? ?2,此时? ? 0 符合题意; (4)若 B ? ? 时,由 ? ? 0 解得 a ? 4或a ? ?4 .
综上所述,所求实数 a 的取值范围是 a ? ?4或a ? ?2或a ? 4 . 题后思考:①在本题的讨论中,当 B ? ?4?时的真正含义是:集合 B 中的一元二次方程 有两个相等的实根 x 1 ? x 2 ? 4 ; ②当 B 为单元素集时,也可利用韦达定理求出 a 的值; ③在考虑子集的过程中容易遗漏空集的情况,事实上,我们应首先考虑空集。

知识点二:集合的运算(交集) 2 2 , , 例 4. 若 A ? ?x x ? 1? B ? ?x x ? 2 x ? 3 ? 0? 则A ? B ? (
A. ?3?

) D. ?- 1?

1 B. ? ?

C. ?

思路分析: 题意分析:本题考查交集的定义和一元二次方程的解。

解题思路:先解方程 x 2 ? 1 得出集合 A 的元素用列举法表示出来,解 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , 用列举法把集合 B 中的元素表示出来,再求 A ? B 。 解答过程:由 x ? 1 得 x ? ?1, A ? ?? 1,1? , ?
2

? A ? B ? ?- 1?,故选 D。

由 x ? 2 x ? 3 ? 0 得 x ? ?1或3, B ? ?- 1,3? ?
2

题后思考:本题主要考查交集的定义,因此,只要对定义的内容清楚应不难写出答案。 例 5. 设集合 A ? x 2 x ? 1 ? 3 , B ? x ? 3 ? x ? 2 .则A ? B ? ( A.

?x ? 3 ? x ? 1?

?

B.

?x 1 ? x ? 2?

?

?

C.

?x x ? ?3?

?



D.

?x x ? 1?

思路分析: 题意分析:本题考查集合 A 和 B 的交集, A 和 B 两个集合都是与不等式有关的,则求 集合 A 和 B 的交集时,我们需要借助于数轴,用数形结合的方法来解题更形象。 解题思路:先解出 A 中元素应满足的范围,再在数轴上表示出 A 中元素满足的范围, 然后在数轴上表示出 B 中元素所满足的范围,由数轴得出最终的结果。

得 解答过程:由 2 x ? 1 ? 3解 x ? 1,? A ? x x ? 1 .

又由 B ? x ? 3 ? x ? 2 ,? A ? B ? x ? 3 ? x ? 1 ,故选 A。 题后思考:本题是简单的求关于不等式的两个集合的交集的问题。 一般步骤是:①先把每个集合中满足不等式的解集解出来; ②用数轴表示出来; ③根据数轴的图像得出最终的答案。尤其要注意的是有没有“等号” ,在数轴上表示为 实心点或空心点,以及能否取到该值。 例 6. 已知 A ? x 2a ? x ? a ? 3 , B ? x x ? ?1或x ? 5 .若A ? B ? ?, a 的取值范围. 求 思路分析: 题意分析:本题考查 A 和 B 的交集为空集, B 为已知的集合, A 集合中包含的元素随 着 a 的变化而变化,需要合理的讨论。 解题思路:先在数轴上得出 B 集合,再由 A ? B ? ? ,确定出 A 集合的位置,再解关 于 A 集合的不等式.但不要忘了 A ? ? 这个特殊情况,在解题过程中很有可能会遗漏。 解答过程: (1)若 A ? ? ,由 A ? B ? ? 知,此时 2a ? a ? 3,? a ? 3 ; (2)若 A ? ? ,由A ? B ? ? , 得 图 如 :

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? 2 a ? ?1 ? 1 ? ? ?a ? 3 ? 5, 解 ? ? a ? 2. 得 2 ? ?2 a ? a ? 3 ? 1 ? ? 综上所述, a 的取值范围是 ?a ? ? a ? 2或a ? 3? . 2 ? ?
题后思考:①出现交集为空集的情况,首先要考虑集合中有没有空集,即分类讨论; ②与不等式有关的集合运算中,用数轴分析法直观清晰,应重点考虑;

③对两个集合交集的端点值能否取到的问题也应仔细分析。

①关于集合的运算,一般应把各参与运算的集合化简到最简形式,再进行运算; ②出现交集为空集的情况,首先考虑集合中有没有空集; ③与不等式有关的集合运算中,多注意用数轴法表示; ④对于含参数的集合问题,在根据集合的互异性进行处理时,有时需要用到分类讨论、 数形结合的思想。

一、预习新知: , . C 1. 设集合 A ? ?x 2 x ? 1 ? 3? B ? ?x ? 3 ? x ? 2?则A ? B ? _______; U A ? ________。
2. 已知 A ? x 2a ? x ? a ? 3 , B ? x x ? ?1或x ? 5, .设U ? R , A ? B ? U , a 的 若 求 取值范围。

?

?

?

?

二、预习点拨:
反思探究 反思与探究的任务:理解集合之间的运算(并、补、全) (1.2 集合之间的关系与运算) 1. 全集的定义; 2. 补集的定义; 3. 并集的定义。 【反思】 (1)阅读教材,理解两个集合的并集的含义,会求两个简单集合的并集。 (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集。 (3)能使用韦恩图表达简单集合间的关系与运算。 (4)在“预习新知”中提出的两个问题,你能用预习的知识和前面所学的方法解决吗?

(答题时间:45 分钟)
一、选择题: A. ?0,1,2,3,4? A. A ? B 1. 集合 x ? N x ? 5 的另一种表示方法是(

?

?



2. 已知集合 A ? x ? 1 ? x ? 2 , B ? x 0 ? x ? 1 ,则( B. A ? B C. B ? A

?

B. ? ,2,3,4? 1

?

?

C. ?0,1,2,3,4,5?

?

D. ? ,2,3,4,5? 1 ) D. A ? B

3. 下列五个关系式: ① 0 ? ?0?;② 0 ? ?0? ;③ ?0? ? ? ;④ ? ? ?0?;⑤ ? ? ?0?其中正确的有( ) A. ①③ B. ①⑤ C. ②④ D. ②⑤ 4. 设集合 M ? m ? Z ? 3 ? m ? 2 , N ? n ? Z ? 1 ? n ? 3 .则M ? N ? ( A.

?0,1?

?

么 5. 已知 M ? x y ? x ? 1 , N ? y y ? x ? 1 , 那 M ? N ? (
2 2

?

B.

?

?? 1,,1? 0

?

?

?

C. ?0,1,2?

?



?

D. )

?? 1,,1,2? 0

A. ?

B. M

C. N

D. R

*6. 设 a, b ? R ,集合 ? , a ? b, a? ? ?0, 1 A. 1

? b ? , b? ,则 b ? a ? ( ) ? a ?

实 范 是 ( 7. 集合 M ? x x ? 2 x ? a ? 0, x ? R 且? ? M,则 数 a的 围
2

?

B. -1 B. a ? 1

?

C. 2 C. a ? ?1

D. -2 ) D. a ? 1

A. a ? ?1 二、填空题:

8. 已知集合 A ? x x ? 2, x ? R , B ? x x ? a , 且A ? B, 则实数 a 的取值范围是____。

么 9. 已知 M ? y y ? 2 x ? 1, x ? R , N ? y y ? ? x ? 1, x ? R , 那 M ? N ? ______。
2 2

?

?

?

10. 若 A ? ? ,3, x?, B ? x ,1 且 A ? B ? {1,3, x} ,则这样的 x 的不同值有________个。 1
2

11. 已知集合 A ? ?? 1,3, m?, 集合B ? ?3,4?若B ? A, 则实数m ? ________。 . 三、解答题: 值。

? ?
?

?

?

?

?

?

*12. 设 A ? x x ? 4 x ? 0 , B ? x x ? 2(a ? 1) x ? a ? 1 ? 0 , 若A ? B ? B, a 的 求
2 2 2

?

?

?

一、选择题: 1. A 解析:由 x ? 5 且是自然数,得 x 为 0,1,2,3,4 2. C 解析:
A -1 0 1 B 2 X

?0? ? ? ;④ ? ? ?0?集合与集合之间不能用“? ”,所以⑤ ? ? ?0?正确。 M ? ?m ? Z ? 3 ? m ? 2? ? ?? 2,?1,0,1?, 4. B 解析: N ? ?n ? Z ? 1 ? n ? 3? ? ?? 1,0,1,2,3?.则M ? N ? ?? 1,0,1?
5. C 解析: M ? x y ? x ? 1 ? R, N ? y y ? x ? 1 ? y y ? ?1 ,
2 2

3. D 解析:① 0 ? ?0?应是 0 ? ?0? ;所以②正确;③ ?0? ? ? ,空集不含任何元素,所以

则 M ? N ? y y ? ?1 ? N 6. C 解析:? ? , a ? b, a? ? ?0, 1

?

?

?

?

?

? ?

?

? b ? , b? ? a ? b ? a ? 0, a ? b ? 0,? a ? ?b, ? ?1. a ? a ? ?1, b ? 1, 故b ? a ? 2
2

有 , 7. C 解析:由 ? ? M, 所以 x ? 2x ? a ? 0必 根 ?? ? 0 ? 4 ? 4a ? 0 ? a ? ?1 。
8. a ? 2 .解析:如图:

1 9. ? ? 解析: M ? y y ? 2 x ? 1, x ? R ? y y ? 1 ,
2

所以, M ? N ? ? ?. 1 10. 3

N ? ?y y ? ? x 2 ? 1, x ? R? ? ?y y ? 1?,

?

? ?

?

11. 4 2 , 12. 解析: A ? x x ? 4 x ? 0 ? ?? 4,0?

?

?

? A ? B ? B,? B ? A 2 ① 若0 ? B,则a ? 1 ? 0, a ? ?1,当a ? 1时,B ? A,当a ? ?1时,B ? ?0?
② 若 ? 4 ? B,则a ? 8a ? 7 ? 0, a ? 7或1,
2

当a ? 7时,B ? ?- 12,4? B ? A - ,
2

③ 若B ? ?,则? ? 4( a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0, a ? ?1
2

由①②③得 a ? 1或a ? ?1 .


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