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高中数学圆锥曲线之椭圆高考考点解析及例题辅导


圆锥曲线——椭圆
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掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程 知识点归纳
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1. 定 义: ① 平面 内 一个动 点 到 两个 定点 F1 、 F2 的 距 离 之和 等于 常 数 ( 大于 |F1F2| , 即
PF 1 ? PF
2

? 2 a ? F1 F 2 ),这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点).

②点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e(0<e<1) ,则 P 点 的轨迹是椭圆
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2.椭圆参数的几何意义,如下图所示: (1)|PF1|+|PF2|=2a,|PM2|+|PM1|= ( 2
2a c
2



| PF 1 | | PM
1

=
|

| PF 2 | | PM
2

=e;
|



y
B M1 K1 A1 F1 P F2 A2 M2 K2

o

x

A 1 F 1 ? A 2 F 2 ? a ? c , A1 F 2 ? A 2 F 1 ? a ? c ; a ? c ? PF 1 ? a ? c

(3)|BF2|=|BF1|=a,|OF1|=|OF2|=c; (4)|F1K1|=|F2K2|=p=
A 2 B ? A1 B ?
b
2


2 2

c

a ?b

3.标准方程:椭圆标准方程的两种形式
2 2 2 2 2 2 2 2

x a

?

y b

? 1和

y a

?

x b

? 1 ( a ? b ? 0 ) 其中 c
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2

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? a

2

?b

2

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椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的焦点坐标是 ( ? c ,) ,准线方程是 x ? ? 0

a

2

,离心率

c 2b a
2
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是e ?

c a
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,通径的长是

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焦准距(焦点到准线的距离) p ?

b

2

,焦参数

b

2

(通径长的

c

a

一半) 范围: { x ? a ? x ? a } , { x ? b ? y ? b } ,长轴长= 2 a ,短轴长=2b,焦距=2c ,
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焦半径: P F1 ? e ( x ?

a

2

c

) ? a ? e x , P F2 ? e (

a

2

? x ) ? a ? ex .

c

4. ? PF 1 F 2 中经常利用余弦定理 、三角形面积公式 S ? P F F ? b ta n .... .......
2
1 2

? F1 P F 2 2

将有关线段

PF 1 、 PF PF 1 ? PF

2

、2c,有关角 ? F1 PF 2 ( ? F1 P F 2 ? ? F1 B F 2 )结合起来,建立 PF 1 + PF 等关系.

2



2

5.椭圆上的点有时常用到三角换元: ?

? x ? a cos ? ? y ? b sin ?



题型讲解

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例 1 已知椭圆的焦点是 F1 ( 0 , ? 1), F 2 ( 0 ,1) ,直线 y ? 4 是椭圆的一条准线. ① 求椭圆的方程; ② 设点 P 在椭圆上,且 PF 1 ? PF 2 ? 1 ,求 ? F1 PF 2 .
a
2

解:① c ? 1,

? 4 ,? a ? 2 ,?

y

2

?

x

2

?1 .

c

4

3
17 ? 2 2 ?m ? n ? ?? 2 ? 4 mn ? 15 ?
3 5 3
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②设 PF 1 ? m , PF 2

?m ? n ? 4 ? n 则? ?m ? n ? 1

又 4 ? m ? n ? 2 mn cos ? F1 PF 2 ? cos ? P1 FP 2 ?
2 2

, ? ? P1 FP 2 ? arccos

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5

例2

求中心在原点,一个焦点为 ( 0 , 5 2 ) 且被直线 y ? 3 x ? 2 截得的弦中点横坐标为
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1 2

的椭圆方程.

解: 设椭圆方程

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) , A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,

因为弦 AB 中点 M ( , ?
2

1

1 2

) ,所以 x1 ? x 2 ? 1, y 1 ? y 2 ? ? 1

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? ? ? ? ? ? ?

y1 a y2 a
a b
2 2

2

2 2

? ?

x1 b

2

2 2

?1

得 a ( x1 ? x 2 ) ? b ( y 1 ? y 2 ) ? 0 ,(点差法)
2 2 2 2 2 2

x2 b

2

2

?1

所以

? ?

y1 ? y 2
2

2

x1 ? x 2
2

2

? ?

( y1 ? y 2 ) ( y1 ? y 2 ) ( x1 ? x 2 ) ( x1 ? x 2 )

?

( y1 ? y 2 ) ( x1 ? x 2 )

? 3

?a

2

? 3b

2

又 a ? b ? 50
2 2

?

y

2

?

x

2

?1

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75

10

例 3 已知 F1 为椭圆的左焦点,A、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,P 为椭圆上的点, 当 PF1⊥F1A,PO∥AB(O 为椭圆中心)时,求椭圆的离心率. 分析:求椭圆的离心率,即求
c a

,只需求 a、c 的值或 a、c 用同一个量表示.本题没有

具体数值,因此只需把 a、c 用同一量表示,由 PF1⊥F1A,PO∥AB 易得 b=c,a= 2 b. 解:设椭圆方程为
x a
2 2

+

y b

2 2

=1(a>b>0) 1(-c,0) 2=a2-b2, ,F ,c

则 P(-c,b 1 ?

c a

2 2

) ,即 P(-c,

b

2

).

a

∵AB∥PO,∴kAB=kOP, 即-
b a

=

?b ac

2

.∴b=c.

y
P B

又∵a= b 2 ? c 2 = 2 b,
F1

o

F2 A

x

∴e=

c a

=

b 2b

=

2 2

.

点评: 由题意准确画出图形, 利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.

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例4

如下图, E: 设

x

2 2

+

y b

2 2

=1 (a>b>0) 的焦点为 F1 与 F2, P∈E, 1PF2=2θ . 求 且 ∠F

a

证:△PF1F2 的面积 S=b2tanθ . 分析:有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题,设|PF1|=r1 ,|PF2|=r2 ,则 S=
1 2

r1r2sin2θ .若能消去 r1r2,问题即获解决. 证明:设|PF1|=r1,|PF2|=r2, 则 S=
1 2

r1r2sin2θ ,又|F1F2|=2c,

y
B r1 F1 P 2? r2 F2 A

由余弦定理有 (2c)2=r12+r22-2r1r2cos2θ =(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cos2θ =(2a)2-2r1r2(1+cos2θ ) , 于是 2r1r2(1+cos2θ )=4a2-4c2=4b2. 所以 r1r2=
2b
2

o

x

1 ? cos 2?
1 2

.
2

从而有 S=

·

2b

2 sin ? cos ?

1 ? cos 2?

sin2θ =b2

2 cos

2

?

=b2tanθ .

点评:①解与△PF1F2(P 为椭圆上的点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并 结合|PF1|+|PF2|=2a 来解决. ②我们设想点 P 在 E 上由 A 向 B 运动,由于△PF1F2 的底边 F1F2 为定长,而高逐渐变 大,故此时 S 逐渐变大.所以当 P 运动到点 B 时 S 取得最大值.由于 b2 为常数,所以 tanθ 逐 渐变大.因 2θ 为三角形内角,故 2θ ∈(0,π ) ∈(0, ,θ
π 2

).这样,θ 也逐渐变大,当

P 运动到 B 时,∠F1PF2 取得最大值.故本题可引申为求最值问题, 例 5 若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于 A、B 两点,M 为 AB 的中点,直线 OM(O 为原点)的斜率为
2 2

,且 OA⊥OB,求椭圆的方程.

分析:欲求椭圆方程,需求 a、b,为此需要得到关于 a、b 的两个方程,由 OM 的斜率 为
2 2

.OA⊥OB,易得 a、b 的两个方程.
x1 ? x 2 2

解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M( 由 ?
? x? y ?1
2 2



y1 ? y 2 2

).

?ax ? by

?1

,∴(a+b)x -2bx+b-1=0.
y1 ? y 2 2 x1 ? x 2 2 a a ? b

2



x1 ? x 2 2

=

b a ? b

y
.
B M


a

=1-

=

∴M(

b a ? b



a ? b

).

o

A

x

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∵kOM=

2 2

,∴b= 2 a.
y1 x1



∵OA⊥OB,∴ ∴x1x2+y1y2=0. ∵x1x2=
b ?1 a ? b

·

y2 x2

=-1.

,y1y2=(1-x1) (1-x2) ,
2b a ? b

∴y1y2=1-(x1+x2)+x1x2=1- ∴
b ?1 a ? b

+

b ?1 a ? b

=

a ?1 a ? b

.

+

a ?1 a ? b

=0. ②

∴a+b=2.

由①②得 a=2( 2 -1) ,b=2 2 ( 2 -1). ∴所求方程为 2( 2 -1)x2+2 2 ( 2 -1)y2=1. 点评:直线与椭圆相交的问题,通常采取设而不求,即设出 A(x1,y1) B(x2,y2) , , 但不是真的求出 x1、y1、x2、y2,而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由 OA ⊥OB 得 x1x2+y1y2=0 是解决本题的关键. 例6 已知椭圆 C 1 :
x a
2 2

?
2 2

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的一条准线方程是 x ?
2 2

25 4

,其左、右顶点分

别是 A、B;双曲线 C 2 :

x a

?

y b

? 1 的一条渐进线方程为 3 x ? 5 y ? 0 .

(1)求椭圆 C 1 的方程及双曲线 C 2 的离心率; (2)在第一象限内取双曲线 C 2 上一点 P,连接 AP 交椭圆 C 1 于点 M,连接 PB 并延长交椭圆 C 1 于点 N,若 AM ? MP . 求证: MN ? AB ? 0
?a2 25 ? ? ? 4 (1) 解: ? c ?b ? 3 ?a 5 ?
2 2

(c 为椭圆半焦距), ? a ? 5 , b ? 3 , c ? 4

? C1 :

x

?

y

25

9

? 1 ; C 2 的离心率为 e 2 ?

34 5

.

(2) 证明:设 M ( x 0 , y 0 ) ,则 P ( 2 x 0 ? a , 2 y 0 ) 即 P ( 2 x 0 ? 5 , 2 y 0 )
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2 2 ? x0 y0 ? ?1 ? ? 25 9 2 消去 y 0 得 2 x 0 ? 5 x 0 ? 25 ? 0 ?? 2 2 4 y0 ? (2 x 0 ? 5) ? ?1 ? 25 9 ?

因为点 M 在第一象限? M ( ,
2

5

3 3 2

) ? P (10 , 3 3 ) ? l : y ?

3 3 5

( x ? 5)

代入椭圆方程得: 2 x ? 15 x ? 25 ? 0 ? x N ?
2

5 2

所以点 M、N 关于 x 轴对称. ∴ MN ? AB ? 0

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点评: 对概念的理解要准确到位,注意答案的多种可能性; 擅于将几何关系与代数关系 相互转化; 把平面解析几何问题转化为向量、平面几何、三角函数、定比分点公式、不等式、 导数、函数、复数等问题;注意参量的个数及转化;养成化简整理的习惯.

例 7 已知椭圆

x

2

?

y

2

=1,能否在此椭圆上位于 y 轴左侧的部分上找一点 M,使它到

4

3

左准线的距离是它到两焦点 F1,F2 的距离的等比中项? 解:由方程知 e=1/2,假设存在点 M(x0,y0)满足条件,
x0 4
2



?

y0 3

2

=1 且 x0∈[─2,0),



d2=|MF1||MF2|(d 为 M 到准线的距离), ∵ |MF1|=a+ex0=2+x0/2, |MF2|=a─ex0=2─x0/2, d=4+x0, ∴ (4+x0)2=4─x02/4, ∴x0=─12/5 或 x0=─4,这与 x0∈[─2,0)矛盾, 故点 M 不存在. 点评:范围问题和求值问题的解法基本上没有区别,主要是把它当成求值问题来处理,

最后通常转化为方程有解问题或函数的值域问题,而且一般是二次的.

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例 8

设椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e ?

3 2

.已知点 P ( 0 ,

3 2

) 到这个椭

圆上的点的最远距离为 7 ,求这个椭圆方程. 并求椭圆上到点 P 的距离等于 7 的点的坐 标.
x a
2 2

解:设椭圆方程为

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) , M ( x , y ) 为椭圆上的点,由

c a

?

3 2

得 a ? 2b

AM

2

? x

2

? (y ?

3 2

)

2

? ? 3( y ?

1 2

) ? 4b
2

2

? 3 ,(? b ? y ? b )

若b ?

1 2 1 2

,则当 y ? ? b 时 AM

2

最大,即 ( ? b ?

3 3

)

2

? 7, ?b ?

7 ?

3 2

?

1 2

,故矛盾.

若b ?

时, y ? ?

1 2

时 4b ? 3 ? 7 , b ? 1
2

2

所求方程为

x

2

? y

2

?1

4

把 y=─

1 2

代入,求得 M 的坐标是(─ 3 ,─

1 2

)或( 3 ,─

1 2

).

点评:二次曲线的最值问题,常常归结为二次函数的最值问题,解题时要注意对自变量 的范围进行讨论. 例 9 设椭圆与双曲线有共同焦点 F1(─4,0),F2(4,0), 并且椭圆长轴长是双曲线实轴长的 2 倍,试求椭圆与双曲线的交点的轨迹. 解法一: 设交点为 P(x,y), 双曲线的实半轴长为 a (2<a<4),则椭圆长半轴长为 2a, 由半焦距 为 4, 得它们的方程分别为:
2 2 2 2 2 2 2

x a

?

y

16 ? a

?1

(1) 和

x

? 4a

y
2

4a

? 16

=1 (2)

(2)?4─(1)得: y

2

?

(a

2

? 4 )( 16 ? a )
2

(3),

4

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代入(1)得:a2=2|x| 再代入(3)化简得:(x─5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 .

解法二:用定义法求解. |F1P|+|F2P|=2||F1P|─F2P||, 解得:|F1P|=3? |F2P| 即: ( x ? 4 ) ? y
2 2

或 3? |F1P|=|F2P| .
?3

( x ? 4) ? y
2

2



( x ? 4) ? y
2

2

?3

( x ? 4) ? y
2

2

,

化简得:(x─5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 例 10

.

如图 ,椭圆的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 过其右焦点 F 作斜率为 1 的直线, 交

椭圆于 A、B 两点, 若椭圆上存在一点 C, 使 OA + OB = OC . (1) 求椭圆的离心率;(2) 若
| AB | =15, 求着个椭圆的方程.

解: (1)设椭圆的方程为 方程为: y ? x ? c , 代入椭圆方程,

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 , 焦距为 2 c , 则

直线 l 的
y
B

o
F A C

x

得 ( a ? b ) x ? 2 a cx ? a c ? a b ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 2 2

设点 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ,

则x1 ? x 2 ?

2a c a
2

2

? b

2

, y1 ? y 2 ? x 1 ? x 2 ? 2c ? ?

2b c a
2

2

? b

2

,

∵ OA + OB ? OC , ∴C 点坐标为 (
a

2a c
2

2

? b

2

, ? a

2b c
2

2

? b

2

).

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∵C 点在椭圆上, ∴
(a

4a c
2

2

2 2 2

? b )

? (a

4b c
2

2

2 2 2

? b )

? 1.


a

4c
2

2 2

? b

? 1, ∴ 4 c

2

? a

2

? b .
2

又 c ? b ? a , ∴ 5c ? 2a .
2 2 2
2 2

∴e ?

c a

?

10 5

(2) ∵ | AB |? | AF | ? | BF |? ( a ? ex 1 ) ? ( a ? ex 2 )

? 2 a ? e ( x1 ? x 2 ) ? 2 a ?

c a

?

2a c a ?b
2 2

2

? 2a ?

2ac
2

2 2

a ?b

? 2a ?

2ac 4c
2

2

?

3a 2

,

由已知

3a 2

? 15 , a ? 10 , 从而 c ?

10 5

a ? 2 10 . ∴ b

2

? a

2

?c

2

? 60 .

故椭圆的方程为:

x

2

?

y

2

? 1.

100

100

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小结: 椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数 a、b、c、e 的关系,及利用第二定义解 决问题,关键是注意数形结合,函数与方程的思想,等价转化的运用.为此在教学中注意以 下几点: B2 (1) 椭圆中有一个十分重要的三角形 OF1B2 (如图) , 它的 o 三边长分别为 a、b、c. x F2 A F1 易见 c2=a2-b2,且若记∠OF1B2=θ ,则 cosθ =
c a

=e.

(2)应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹,本质上,它与坐 标系无关,而坐标系是研究的手段.实际上,人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标 系,从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系,这些性质不因坐标系的选择而改变.例 如上述的△OF1B2、公式 cosθ =e 等,均不因坐标系的改变而改变. (3)椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点 F1、F2 的距离之 和等于|F1F2|时,其动点轨迹就是线段 F1F2;当平面内的动点与定点 F1、F2 的距离之和小于 |F1F2|时,其轨迹不存在. (4)椭圆标准方程中两个参数 a 和 b 确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中,总有 a>b>0; 椭圆的焦点位置决定标准方程的类型; b、 的关系是 c2=a2-b2; a、 c 在方程 Ax2+By2=C 中,只要 A、B、C 同号,就是椭圆方程. (5)当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离,焦点弦长相关时,常利用椭圆的第二定 义,转化为点到准线的距离来研究,即正确应用焦半径公式. (6)使用椭圆的第二定义时,一定要注意动点 P 到焦点的距离与对应准线距离之比为 常数 e.若使用的焦点与准线不是对应的,则上述之比就不再是常数了.

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练习

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特级教师 王新敞
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1.如果椭圆 是 ( A 8, 答案: B
20 3

x

2

?

y

2

? 1 上的点 A 到右焦点的距离等于 4,那么点 A 到两条准线的距离分别

25

16

) B 10,
20 3

C 10, 6

D 10, 8

2. 椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆的离心率是 (
3 2 3 3

)

A

3

B

C

D 以上都不对

答案: C 解析: 2 c ?
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1 3

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?

2a c

2

3. P 为椭圆 (
16 3

x

2

?

y

2

5

4

? 1 上的点, F1 , F 2 是两焦点,若 ? F1 PF

2

? 30 ,则 ? F 1 PF 2 的面积是

?


3

A

B 4(2 ?

3)

C 16 ( 2 ?

3)

D 16

答案: B 解析: 设 PF 1 ? m , PF 2 ? n ,列方程求解.
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4. 椭圆 点 M 为(
2 6 3

x

2

?

y

2

? 1 内有一点 P(1,-1),F 为右焦点,椭圆上有一点 M,使 MP ? 2 MF 最小,则

4

3

)
3 2 1 2 3 2

A (

, ? 1)

B .( 1, ?

)

C (1, ?

)

D (?

2 6 3

, ? 1)

答案: A 解析: ? e ?
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,? 2 MF 等于 M 到右准线的距离.

5.椭圆的对称轴在坐标轴上,长轴是短轴的 2 倍,且过点(2,1) ,则它的方程是 _____________.
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答案:

x

2

?

y

2

? 1,

4x 17

2

?

y

2

?1

8

2

17
2 2 2 2

6.如图 F1 , F 2 分别为椭圆

x a

?

y b

? 1 的左、右焦点,点 P


y
B2 P

椭圆上, ? POF 2 是面积为 3 的正三角形,则 b 的值是
2

____.
3 4

o
F1 F2 A

x

解析:

c

2

?

3 ? c ? 2 ? P (1,

3) ? b ? 2 3 .
2

7 设 A(-2,0),B(2,0), ? ABC 的周长为 10,,则动点 C 的轨迹方程为: __________.
x
2

答案:

?

y

2

? 1 ( y ? 0)

9
2

5
2

8. 椭圆 为 A. 4 答案: C

x

?

y

? 1 上有两点 P、Q ,O 为原点,若 OP、OQ 斜率之积为 ?

1 4

,则 OP

2

? OQ

2

16

4

(

) B. 64 C. 20 D. 不确定

解析: 设直线方程为 y ? kx ,解出 OP
x a
2 2

2

,写出 OQ

2

9. 过椭圆

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的焦点 F(c,

0)的弦中最短弦长是 ( )

A.

2b a

2

B.

2a b

2

C.

2c a

2

D.

2c b

2

答案: A 解析: 设焦点弦 AB,AF 与 ox 负半轴夹角为 ? ,则 AF ?
2 ep 1 ? e cos
2 2

ep 1 ? e cos ?

, BF

?

ep 1 ? e cos ?
2

? AB ?

?

?? ?

?
2

时, AB

最小

? 2 ep ? 2 ?

c a

?(

a

2

? c) ?

2b a

.

c

? 10. 过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 FA ? 2 FB ,则椭圆的

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离心率为(
2 3


2 2
1 2 2 3

A. 答案: D

B.

C.

D.

11. 过原点的直线 l 与曲线 C:

x

2

? y

2

? 1 相交,若直线 l 被曲线 C 所截得的线段长不大于

3

6 ,则直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围是 (

)
?? ? 2? 3

A

?
6

?? ?

5? 6

B

?
6

?? ?

2? 3

C

?
3

D.

?
4

?? ?

3? 4

答案: D 12. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 AB 1 与 BF 交于 D,且 ? BDB 离心率为 (
3 ?1 2

1

? 90 ,则椭圆的

?

)
5 ?1 2
5 ?1 2

A

B

C

D

3 2

答案: B
x a
2 2

13. 若椭圆

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 和圆 x

2

? y

2

? (

b 2

? c ) , ( c 为椭圆的半焦距),有四个
2

不同的交点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 (
5 5 3 5 2 5 5 5 2 5 3 5

)
5 5

A (

,

)

B (

,

)

C (

,

)

D (0,

)

答案: A 解析: 解齐次不等式: b ?
b 2 ? c ? a ,变形两边平方.

14. 已知 c 是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的半焦距,则

b ? c a

的取值范围是

A (1,

+∞)

B ( 2, ? ?)

C (1,

2)

D (1,

2]

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答案: D. 15.已知 F1、F2 是椭圆 MNF2 的周长为 A.8 答案:B 16.已知椭圆
x
2

x

2

+

y

2

16

9

=1 的两个焦点,过 F1 的直线与椭圆交于 M、N 两点,则△

B.16
y
2

C.25

D.32

+

16

9

=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若 P、F1、F2 是一个

直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为 A.
9 5

B.3

C.

9 7

7

D.

9 4

解析:由余弦定理判断∠P<90°,只能∠PF1F2 或∠PF2F1 为直角.由 a=4,b=3 得 c= 7 , ∴|yP|=
9 4

.

答案:D 17. P 是椭圆上一定点, F1 , F 2 是椭圆的两个焦点,若 ? PF 1 F 2 ? ? , ? PF 2 F1 ? ? ,则___________.
sin( ? ? ? ) sin ? ? sin ?
2

答案: e ?

.

18.椭圆

x

2

?

y

9

4

? 1 的焦点为 F1 , F 2 ,点 P 为其上的动点,当 ? F1 PF 2

为钝角时,点 P 横坐标的取值范围是 __________. 答案: ?
3 5 ? x ? 3 5

.

19. 圆心在 y 轴的正半轴上,过椭圆 ____________. 答案: x ? ( y ? 2 6 ) ? 25
2 2

x

2

?

y

2

? 1 的右焦点且与其右准线相切的圆的方程为

5

4

20. 已知圆柱底面直径为 2R,一个与底面成 30 角的平面截这个圆柱,截面边界为椭圆,则此椭 圆离心率为 _______.

?

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解析: 求 a , b 2 a c o s 3 0 ? 2 R ,? a ?
x
2

?

2 3 3

R, b ? R, c ?

3 3

R ? e ?

1 2

21.点 P 在椭圆

+

y

2

=1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐

25

9

标是____________. 答案:
25 12

22.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上 的点的最短距离是 3 ,求这个椭圆方程. 解:由题设条件可知 a=2c,b= 3 c,又 a-c= 3 ,解得 a2=12,b2=9.∴所求椭圆的方 程是
x
2

+

y

2

=1 或

x

2

+

y

2

=1.
x
2

12

9

9

12

23.直线 l 过点 M(1,1) ,与椭圆 直线 l 的方程. 解:设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) , 则
x1 4 x2 4
2 2

+

y

2

=1 相交于 A、B 两点,若 AB 的中点为 M,试求

4

3

+ +

y1 3
2

2

=1, =1.

① ②

y2 3

①-②,得
( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 2 ) 4

+

( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) 3

=0.



y1 ? y 2 x1 ? x 2

=-

3 4

·

x1 ? x 2 y1 ? y 2

.

又∵M 为 AB 中点,∴x1+x2=2,y1+y2=2. ∴直线 l 的斜率为-
3 4

.
3 4

∴直线 l 的方程为 y-1=-

(x-1) ,即 3x+4y-7=0.

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