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1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算


张喜林制

1

1.1.2
要点核心

弧度制和弧度制与角度制的换算

1.度量角的单位制:角度制、弧度制 (1)角度制

(deg reem easure ) 初中学过角度制,它是一种重要的度量角的制度.规定周角的
作 1。 .用度作为单位来度量角的制度叫做

角度制. (2)弧度制 (radianm eas ure)

1 为 1 度角,记 360

规定把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度(radian)的角.以弧度为单位来度量角的制度 叫做弧度制; 在弧度制下, 1 弧度记作 lrad. 如图 1-1-2 -1,AB 的长等于半径 r.AE 所对的圆心角 ?AOB 就是 1 弧度的角即

?

?

l ? 1. r

2.角度与弧度之间的互化 (1)将角度化为弧度

360? ? 2?rad;
(2)将弧度化为角度

180? ? ?rad;

1? ?

?
180

rad ? 0.01745 rad .

2?rad ? 360? ;

?rad ? 180? ;

180 ? 1rad ? ( ) ? 57.30 ? ? 57 ?18.

?

(3)弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为 a rad,角度为 n 则

o

?rad ? (

180?

?

)?

n? ? n ?

?
180

rad .

( 4)一些特殊角的角度数与弧度数的对应表:

1/8

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2

3.用弧度表示终边相同的角 用弧度表示与角 a 终边相同的角的一般形式为

? ? 2k? ? ? (k ? z ) ? 这些角所组成的集合为 {? | ? ? 2k? ? ? , k ? z} ?
4.扇形的弧长与面积公式 若扇形的圆心角为 a(a 为弧度制) ,半径为 R,弧长为 L,面积为 S ,则有

l ? R | ? |, S ?

1 1 lR ? | ? | R 2 . 2 2

[例 1] 下列各命题中,假命题是( ). A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1 度的角是周角的

C.根据弧度的定义,180 一定等于 ? 弧度 D.不论是用角度制还是弧度制度量角,它们均与圆的半径的长短有关


1 1 , 1 弧度的角是周角的 360 2?

[例 2](1)将 315 30 化成弧度; (2)将 13.5?rad 化成度; (3)时间经过 4 小时,时针、分针各转多少度?等于多少弧度?

?

[例 3]把下列各角化成 0 到 2? 的角加上 的 2k? (k ? z ) 形式,并指出它们是第几象限角.

(1)

100 ?; 3

( 2) ?

111 ?; 5

(3)1200o ;

2/8

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3

[例 4]求解下列各题: 2 (1)已知扇形的周长为 20 cm,面积为 9 cm ,求扇形圆心角的弧度数; (2)若某扇形的圆心角为 75。 ,半径为 15 cm,求扇形面积;(3)若·扇形的周长为 60 cm,那么当它的 半径和圆心角各为多少时,扇形的面积达到最大?最大值是多少?

[例 5】 集合 M ? {x | x ?

k? ? k? ? ? , k ? z}, N ? {x | x ? ? , k ? z} ,则( 2 4 4 2

).

A.M ? N

B.M ? ?N

C. N ? ?M

D.M ?N ? ?

3/8

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4

课后测试
1.225 ? rad . 33 0? ? ? ,
?

?
5

rad ? ,

11 ?rad ? 12

2.三角形三个内角之比为 2:5:8,则各个角的弧度数分别为 ,转化为角度数分别为

3. ? 300?.
化为弧度是( ).

4? 3 5? B. ? 3 7? C. ? 4 7? D. ? 6 A. ?
4.终边在第三象限的角平分线上的角 a 的集合为( ).

3? , k ? z} 4 5 B.{? | ? ? 2k? ? ? , k ? z} 4 A.{? | ? ? 2k? ? C.{? | ? ? 2k? ? D.{? | ? ? k? ?
5.与角

?

5? , k ? z} 4

4

, k ? z}

?

33? 4

终边相同的最小正角是 6.扇形圆心角为 2 弧度,所对弦长为 2,求所对的弧长,

高考能力测试
(测试时间:45 分钟测试满分:100 分) 一、选择题(5 分×8 =40 分) 1.若角

?h?
的终边关于 y 轴对称,则

??
的关系一定是 ( ). (其中 kEZ)

A.? ? ? ? ?
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B.? ? ? ?

5

?
2

C.? ? ? ? (2k ? 1)? D.? ? ? ? (2k ? 1)?
2.

M ? {? | ? ?

k? ? ? , k ? z}, 2 5

N ? {? | ?? ? ? ? ? }
,则

M ?N
是( ).

, } 5 10 7 ? ? 4? B.{? , } 10 5 7? ? 3? 4? C.{? ,? , , } 10 5 10 5 7? 3? D.{? , } 10 10
3. (2006 年全国高考题)若 a 在第四象限,则

A.{?

? 3?

(? ? ? )
是( ). A.第一象限 4.角 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

? ? ?4


?

是( ). A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 接正三角形的一条边长,那么 这条弧所对的圆心角的弧度数为( ).

D.第四象限角 5.圆的一条弧长等于这个圆的内

2? 3 B .1 A. C. 3 2

D. 3
6.-圆内切于圆心角为

5/8

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6

? ! 3
半径为 R 的扇形,则该圆的面积与 该扇形的面积之比为( ).

A.3 : 4 B.2 : 3 C .1 : 2 D.1 : 3
7.集合

M ? {x | x ?

k? ? ? , k ? z}, 2 4 k? ? P ? {x | x ? ? , k ? z}, 4 2
).

则 M、P 之间的关系为(

A.M ? P B.M ? P C.M ? P

D.M ?P ? ?
8.在直角坐标系中,若 a 与卢的终边互为反向延长线,则 a 与卢的关系一定是( ).

A.? ? ?? B.? ? ?2k? ? ? (k ? z) C.? ? ? ? ? D.? ? 2k? ? ? ? ? (k ? z )
二、填空题(5 分×4 =20 分) 9.一个半径为 r 的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的周长,那么扇形的圆心角的弧度数为一一 扇形的面积为 10. (2006 年重庆高考题)如图 1 -1—2-5 所示,单位圆中 ,

? , AB
的长为

x, f ( x )
表示弧

? AB
与弦 AB 所围成的弓形面积的 2 倍,则 函数

y ? f ( x)
6/8

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的解析式为 11.已知扇形的周长为 30 cm,当扇形的面积取到最大值时,它的半径

7

r?
12.圆上 A、B、C、D、E 五个点,将圆周分成长度比为 1 : 3 : 3 : 5 : 6 的五段弧,则五边形 ABCDE 的内角中最 大角的弧度数为 三、解答题(10 分 x4 =40 分) 13.已知

? ? ?800?.
(1)把 0 改写成

? ? 2k? (k ? Z ,0 ? ? ? 2? ) 的形式,并指出 ? 在第几象限;
(2)求角 r,使 Y 与 a 角的终边相同,且

? ? (?

? ?

, )? 2 2

14.如图 1-1-2 -6,动点 P,Q 从点 A(4,0)出发沿圆周运动,点 P 按逆时针方向每秒钟转

? 3
弧度,点 Q 按顺时针方向每秒 钟转

? 6
弧度,求 P,Q 第一次相遇时所用的时间及 P,Q 点各 自走过的弧度.

15.半径为 12 cm,弧长为 8 丌 cm 的弧所对的圆心角为 a,写出与角 a 终边相同的角的集合 A,并判断 A 是 否为 B=

{? | ? ?

k? ? ? , k ? z] 2 6

的真子集. 16.设集合

A ? {? | 4k? ?
集合

?
2

? ? ? 4k? ?

3? , k ? z} ? 2

B?

{? |

2k? ? 2k? 3? ? ?? ? ? , k ? z}, 3 3 3 2
7/8

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8

A?B.

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