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广东省东莞市2015届高三理数重点临界辅导材料(2)


理科数学重点临界辅导材料(2)
一、选择题 1.已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ 等于( 4 A.- 5 3 B.- 5 3 C. 5 4 D. 5 ) )

2.定义:|a×b|=|a||b|sin θ,其中 θ 为向量 a 与 b 的夹角,若|a|=2,|b|=5,a· b=-6

,则|a×b|等于( A.-8 B.8 C.-8 或 8 D.6 )

π? 3.设函数 f(x)= 3cos(2x+φ)+sin(2x+φ)? ?|φ|<2?,且其图象关于直线 x=0 对称,则( π? A.y=f(x)的最小正周期为 π,且在? ?0,2?上为增函数 π? B.y=f(x)的最小正周期为 π,且在? ?0,2?上为减函数 π? π C. y=f(x)的最小正周期为 ,且在? ?0,4?上为增函数 2 π? π D.y=f(x)的最小正周期为 ,且在? ?0,4?上为减函数 2 1 ? ??2?x,x≥4 4.已知函数 f(x)=? ,则 f(2+log23)的值为( ? ?f?x+1?,x<4 1 A. 24 1 B. 12 1 C. 6 1 D. 3

)

→ 5.如图所示,A,B,C 是圆 O 上的三点,线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外的点 D,若OC → → =mOA+nOB,则 m+n 的取值范围是( A.(0,1) B.(1,+∞) ) C.(-∞,-1) D.(-1,0)

? ?x-y-1≤0, 6.已知 x,y 满足约束条件? 当目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值 ?2x-y-3≥0, ?

2 5时,a2+b2 的最小值为( A.5 二、填空题 B.4

) C. 5 D.2

1+tan α π 3π → → 7. 已知 A, B, C 三点的坐标分别是 A(3,0), B(0,3), C(cos α, sin α), α∈( , ), 若AC· BC=-1, 则 2 2 2sin2α+sin 2α 的值为________. 8.已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为________. 2 9.设函数 f(x)=x2+ (x≠0).当 a>1 时,方程 f(x)=f(a)的实根个数为________. x 10.(2014· 安徽)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件:
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(1)直线 l 在点 P(x0,y0)处与曲线 C 相切; (2)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C. 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①直线 l:y=0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x3; ②直线 l:x=-1 在点 P(-1,0)处“切过”曲线 C:y=(x+1)3; ③直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sin x; ④直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tan x; ⑤直线 l:y=x-1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=ln x. 三、解答题 1 11.已知向量 a=(cos ωx,sin ωx),b=(cos ωx, 3cos ωx),其中 0<ω<2.函数 f(x)=a· b- ,其图象的一条 2 π 对称轴为 x= . 6 (1)求函数 f(x)的表达式及单调递增区间; A? (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,S 为其面积,若 f? ? 2 ?=1,b=1,S△ABC= 3,求 a 的 值.

12.设函数 f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求函数 g(x)的单调区间和最小值; 1? (2)讨论 g(x)与 g? ?x?的大小关系; 1 (3)求实数 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)< 对任意 x>0 成立. a

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13

1 已知函数 f(x)= x (x∈R). 4 +2

1 (1)证明:f(x)+f(1-x)= ; 2 n (2)若数列{an}的通项公式为 an=f( )(m∈N*,n=1,2,?,m),求数列{an}的前 m 项和 Sm; m 1 1 1 1 (3)设数列{bn}满足 b1= ,bn+1=b2 Tn= + +?+ ,若(2)中的 Sm 满足对不小于 2 的任 n+bn, 3 b1+1 b2+1 bn+1 意正整数 m,Sm<Tn 恒成立,试求正整数 m 的最大值.

参考答案 1.已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ 等于( 4 3 A.- B.- 5 5 答案 B 解析 设 P(t,2t)(t≠0)为角 θ 终边上任意一点, 则 cos θ= t . 5|t| 3 C. 5 4 D. 5 )

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当 t>0 时,cos θ=

5 5 ;当 t<0 时,cos θ=- . 5 5

2 3 因此 cos 2θ=2cos2θ-1= -1=- . 5 5 2.定义:|a×b|=|a||b|sin θ,其中 θ 为向量 a 与 b 的夹角,若|a|=2,|b|=5,a· b=-6,则|a×b|等于( A.-8 B.8 C.-8 或 8 D.6 答案 B 解析 由|a|=2,|b|=5,a· b=-6, 3 可得 2×5cos θ=-6?cos θ=- . 5 4 又 θ∈[0,π],所以 sin θ= . 5 4 从而|a×b|=2×5× =8. 5 1 ? ??2?x,x≥4 3.已知函数 f(x)=? ,则 f(2+log23)的值为( ? ?f?x+1?,x<4 1 A. 24 1 1 1 B. C. D. 12 6 3 )

)

答案 A 解析 因为 2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23),而 3+log23>4, 所以 f(2+log23)= ( )

1 2

3? log 2 3

1 log 3 1 1 1 1 = ×( ) 2 = × = . 8 8 3 24 2
)

π |φ|< ?,且其图象关于直线 x=0 对称,则( 4.设函数 f(x)= 3cos(2x+φ)+sin(2x+φ)? ? 2? π? A.y=f(x)的最小正周期为 π,且在? ?0,2?上为增函数 π 0, ?上为减函数 B.y=f(x)的最小正周期为 π,且在? ? 2? π π 0, ?上为增函数 C.y=f(x)的最小正周期为 ,且在? 4? ? 2 π π 0, ?上为减函数 D.y=f(x)的最小正周期为 ,且在? ? 4? 2 答案 B 解析 π ? f(x)=2sin? ?2x+3+φ?,其图象关于直线 x=0 对称,

π π ∴f(0)=± 2,∴ +φ=kπ+ ,k∈Z. 3 2 π π π ∴φ=kπ+ ,又|φ|< ,∴φ= . 6 2 6 π? ∴f(x)=2sin? ?2x+2?=2cos 2x.
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π 0, ?上为减函数. ∴y=f(x)的最小正周期为 π,且在? ? 2? 5.如图所示,A,B,C 是圆 O 上的三点,线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 → → → O 外的点 D,若OC=mOA+nOB,则 m+n 的取值范围是( A.(0,1) C.(-∞,-1) 答案 D 解析 依题意,由点 D 是圆 O 外一点, → → 可设BD=λBA(λ>1), → → → 则OD=OB+λBA → → =λOA+(1-λ)OB. → → 又 C,O,D 三点共线,令OD=-μOC(μ>1), λ → 1-λ → → 则OC=- OA- OB(λ>1,μ>1), μ μ 1-λ λ 所以 m=- ,n=- . μ μ λ 1-λ 1 故 m+n=- - =- ∈(-1,0).故选 D. μ μ μ
?x-y-1≤0, ? 6.(2014· 山东)已知 x,y 满足约束条件? 当目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下 ?2x-y-3≥0, ?

)

B.(1,+∞) D.(-1,0)

取到最小值 2 5时,a2+b2 的最小值为( A.5 B.4 C. 5 D.2 答案 B

)

解析 方法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示.
?x-y-1=0, ?x=2, ? ? 由? 解得? ? ? ?2x-y-3=0, ?y=1,

所以 z=ax+by 在 A(2,1)处取得最小值,故 2a+b=2 5, a2+b2=a2+(2 5-2a)2=( 5a-4)2+4≥4. 方法二 画出满足约束条件的可行域知, 当目标函数过直线 x-y-1=0 与 2x-y-3=0 的交点(2,1)时取得最小值, 所以有 2a+b=2 5. 又因为 a2+b2 是原点(0,0)到点(a,b)的距离的平方, 故当 a2+b2为原点到直线 2a+b-2 5=0 的距离时最小, 所以 a2+b2的最小值是 |-2 5| =2, 22+12
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所以 a2+b2 的最小值是 4.故选 B. 1+tan α π 3π → → 7. 已知 A, B, C 三点的坐标分别是 A(3,0), B(0,3), C(cos α, sin α), α∈( , ), 若AC· BC=-1, 则 2 2 2sin2α+sin 2α 的值为________. 9 答案 - 5 → → 解析 由AC=(cos α-3,sin α),BC=(cos α,sin α-3), → → 得AC· BC=(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1, 2 ∴sin α+cos α= , 3 5 ∴2sin αcos α=- , 9 sin α 1+ cos α 1+tan α = 2sin2α+sin 2α 2sin2α+2sin αcos α = 1 9 =- . 2sin αcos α 5

8.已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为________.

答案

4 3

解析 根据 f(x)的图象可设 f(x)=a(x+1)(x-1)(a<0). 因为 f(x)的图象过(0,1)点,所以-a=1,即 a=-1. 所以 f(x)=-(x+1)(x-1)=1-x2.
2 1 2 1 ? 1 3??0 ?1-1?=4. 所以 S=? 1 = 2 -1(1-x )dx=2? 0(1-x )dx= 2 x- x ? 3 ?? ? 3? 3

2 9.设函数 f(x)=x2+ (x≠0).当 a>1 时,方程 f(x)=f(a)的实根个数为________. x 答案 3 2 2 解析 令 g(x)=f(x)-f(a),即 g(x)=x2+ -a2- , x a 1 整理得:g(x)= (x-a)(ax2+a2x-2). ax 显然 g(a)=0,令 h(x)=ax2+a2x-2. ∵h(0)=-2<0,h(a)=2(a3-1)>0, ∴h(x)在区间(-∞,0)和(0,a)各有一个零点. 因此,g(x)有三个零点,即方程 f(x)=f(a)有三个实数解.
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10.(2014· 安徽)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: (1)直线 l 在点 P(x0,y0)处与曲线 C 相切; (2)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C. 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①直线 l:y=0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x3; ②直线 l:x=-1 在点 P(-1,0)处“切过”曲线 C:y=(x+1)3; ③直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sin x; ④直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tan x; ⑤直线 l:y=x-1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=ln x. 答案 ①③④ 解析 ①中由 y=x3 得 y′=3x2. 又当 x=0 时,切线斜率为 0, 故函数 y=x3 在点(0,0)处的切线方程为 y=0. 结合图象知①正确. ②中由 y=(x+1)3 得 y′=3(x+1)2. 又当 x=-1 时,切线斜率为 0, 故函数 y=(x+1)3 在点(-1,0)处的切线方程为 y=0, 故②不正确. ③中由 y=sin x 得 y′=cos x. 又当 x=0 时,切线斜率为 1, 故函数 y=sin x 在点(0,0)处的切线方程为 y=x. 结合图象知③正确. 1 ④中由 y=tan x 得 y′= 2 . cos x 又当 x=0 时,切线斜率为 1, 故函数 y=tan x 在点(0,0)处的切线方程为 y=x. 结合图象知④正确. 1 ⑤中由 y=ln x 得 y′= . x 又当 x=1 时,切线斜率为 1, 故函数 y=ln x 在点(1,0)处的切线方程为 y=x-1, 结合图象可知⑤不正确. 1 11.已知向量 a=(cos ωx,sin ωx),b=(cos ωx, 3cos ωx),其中 0<ω<2.函数 f(x)=a· b- ,其图象的一条 2 π 对称轴为 x= . 6 (1)求函数 f(x)的表达式及单调递增区间;
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A? (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,S 为其面积,若 f? ? 2 ?=1,b=1,S△ABC= 3,求 a 的 值. 解 1 (1)f(x)=a· b- 2

1 =cos2ωx+ 3sin ωxcos ωx- 2 = 1+cos 2ωx 3 1 + sin 2ωx- 2 2 2

π? =sin? ?2ωx+6?. ωπ π? π 当 x= 时,sin? 1, ? 3 +6?=± 6 即 ωπ π π + =kπ+ ,k∈Z. 3 6 2

∵0<ω<2,∴ω=1. π? ∴f(x)=sin? ?2x+6?. π π π 令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 π π ∴kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 3 6 π π ∴函数 f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ],k∈Z. 3 6 A? ? π? (2)f? ? 2 ?=sin?A+6?=1, π π 7 在△ABC 中,0<A<π, <A+ < π, 6 6 6 π π π ∴A+ = ,A= . 6 2 3 1 由 S△ABC= bcsin A= 3,b=1,得 c=4. 2 π 由余弦定理得 a2=42+12-2×4×1×cos =13, 3 故 a= 13. 12.设函数 f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求函数 g(x)的单调区间和最小值; 1? (2)讨论 g(x)与 g? ?x?的大小关系; 1 (3)求实数 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)< 对任意 x>0 成立. a 解 1 (1)由题意,得 g(x)=ln x+ ,x>0, x
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x-1 所以 g′(x)= 2 ,且 x>0, x 令 g′(x)=0,得 x=1, 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0, 故(0,1)是 g(x)的单调减区间, 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0. 故(1,+∞)是 g(x)的单调增区间, 因此,x=1 是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点.所以最小值为 g(1)=1. 1? (2)由(1)知 g? ? x?=-ln x+x, 1? 1 设 h(x)=g(x)-g? = 2ln x - x + , ? x? x ?x-1?2 则 h′(x)=- ,且 x>0. x2 1? 当 x=1 时,h(1)=0,即 g(x)=g? ? x ?; 当 x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,h′(1)=0, 因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减, 1? 当 0<x<1 时,h(x)>h(1)=0,即 g(x)>g? ? x ?, 1? 当 x>1 时,h(x)<h(1)=0,即 g(x)<g? ? x ?. (3)由(1)知,g(x)的最小值为 g(1)=1, 1 1 所以 g(a)-g(x)< 对?x>0 成立?g(a)-1< . a a 1 1 则 ln a+ -1< ,即 ln a<1, a a 所以 0<a<e. 故实数 a 的取值范围是(0,e). 13 1 已知函数 f(x)= x (x∈R). 4 +2

1 (1)证明:f(x)+f(1-x)= ; 2 n (2)若数列{an}的通项公式为 an=f( )(m∈N*,n=1,2,?,m),求数列{an}的前 m 项和 Sm; m 1 1 1 1 (3)设数列{bn}满足 b1= ,bn+1=b2 Tn= + +?+ ,若(2)中的 Sm 满足对不小于 2 的任 n+bn, 3 b1+1 b2+1 bn+1 意正整数 m,Sm<Tn 恒成立,试求正整数 m 的最大值. 1 (1)证明 因为 f(x)= x , 4 +2

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1 4x 4x 所以 f(1-x)= 1-x = = . 4 +2 4+2· 4x 2?4x+2? 1 4x 所以 f(x)+f(1-x)= x + x 4 +2 2?4 +2? = 2+4x 1 = . 2?4x+2? 2

1 (2)解 由(1),知 f(x)+f(1-x)= , 2 k k 1 所以 f( )+f(1- )= (1≤k≤m-1,k∈N*), m m 2 m-k 1 k 即 f( )+f( )= . m m 2 1 m 1 所以 ak+am-k= ,am=f( )=f(1)= . 2 m 6 又 Sm=a1+a2+?+am-1+am,① Sm=am-1+am-2+?+a1+am,② 1 m 1 由①+②,得 2Sm=(m-1)× +2am= - , 2 2 6 m 1 即 Sm= - (m∈N*). 4 12 1 (3)解 由 b1= ,bn+1=b2 n+bn=bn(bn+1), 3 显然对任意 n∈N*,bn>0, 则 即 1 1 1 1 = = - , bn+1 bn?bn+1? bn bn+1 1 1 1 = - , bn+1 bn bn+1

1 1 1 1 1 1 所以 Tn=( - )+( - )+?+( - ) b1 b2 b2 b3 bn bn+1 1 1 1 = - =3- . b1 bn+1 bn+1
2 因为 bn+1-bn=bn >0,

所以 bn+1>bn, 即数列{bn}是单调递增数列. 所以 Tn 关于 n 递增,所以当 n∈N*时,Tn≥T1. 1 1 1 4 因为 b1= ,b2=( )2+ = , 3 3 3 9 1 3 所以 Tn≥T1=3- = . b2 4 3 m 1 3 10 由题意,知 Sm< ,即 - < ,解得 m< , 4 4 12 4 3 所以正整数 m 的最大值为 3.
第 10 页 共 10 页

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