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2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件:第7讲函数的单调性


第七讲

函数的单调性

回归课本 ? 1.增函数:一般地,设函数f(x)的定义域为I:如 对于属于定义域I内某个区间上的 任意两个自变 量的值x1 、x2 ,当x1 <x2 时,都有f(x1)<f(x2), 那么就说f(x)在这个区间上是增函数;当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么f(x)在这个区间上是 减函数.这个区间称

为函数的单调区间,函数 在这个区间上具备单调性. ? 从图象上看,单调增函数图象从左向右逐渐上 升;减函数的图象从左向右逐渐下降.
?

2.复合函数单调性的规律可概括为:同增异 减. ? 3.单调性的和差:增+增则增;减+减则减. ? 4.奇函数在对称区间上若单调则具有相同的单 调性;偶函数在对称区间上若单调则具有相反 的单调性;互为反函数若单调则具有相同的单 调性.
?

考点陪练 b 1.若函数y=ax与y=- 在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+ x bx在(0,+∞)上是( A.增函数 C.先增后减 ) B.减函数

D.先减后增 b 解析:∵函数y=ax与y=- 在(0,+∞)上都是减函数,∴ x

a<0,b<0, b ∴函数y=ax +bx的图象的对称轴为x=- <0, 2a
2

∴函数y=ax2+bx在(0,+∞)是减函数.

?

答案:B

2.设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称, 且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有(
?1? ?3? ?2? A.f ? ?<f? ?<f ? ? ?3? ?2? ?3? ?2? ?3? ?1? B.f ? ?<f ? ?<f? ? ? 3? ?2? ?3? ?2? ?1? ?3? C.f ? ?<f ? ?<f? ? ? 3? ?3? ?2? ?3? ?2? ?1? D.f ? ?<f? ?<f ? ? ?2? ?3? ?3?

)

解析:由题意得f(x)=f(2-x),且f(x)在区间[1,+∞)上是增函
?1? ? ?2? ?3? 1? ?5? ?2? ? 2? ?4? 4 3 5 数,f? ?=f?2- ?=f? ?,f? ?=f?2- ?=f? ?,1< < < ,因此f? ? <f? ? 3? ?3? ?3? ? 3? ?3? 3 2 3 ? 3? ? ? 3? ?2? ?1? <f ? ?,选B. ? 3?

?

答案:B

3.(2011·天星一次大联考)设函数f(x)满足f(2+ x)=f(2-x),f(x)在[2,+∞)上是减函数,且 f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是( ) ? A.[2,+∞) B.[0,4] ? C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪[4,+∞) ? 解析:由f(2+x)=f(2-x)可知函数f(x)的图象关 于直线x=2对称,因此结合题意可假想函数f(x) 的图象如图所示,结合图形可知实数a的取值范 围是0≤a≤4.
?

4.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数, 则a的取值范围是 ?( ) ? A.(0,1) B.(1,2) ? C.(0,2) D.(2,+∞)
?
解析:y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,∴x∈[0,1],a>0 2 且a≠1,要使其为减函数,则a>1,且2-ax>0恒成立,即a< 恒 x 成立,即a<2,∴1<a<2,∴a∈(1,2), ∴选B.

?

答案:B

5.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1、x2∈[a, b](x 1≠x 2),下列结论中正确的有________. f?x1?-f?x2? ① >0; x1-x 2 ②(x1-x 2)[f(x1)-f(x 2)]>0; ③f(a)<f(x1)<f(x 2)<f(b); x1-x 2 ④ >0. f?x1?-f?x2?

解析:∵f(x)在[a,b]上为增函数. ? ∴x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号相同. ? ∴①②④均正确. ? 又∵不知道x1,x2的大小,∴无法比较f(x1)与f(x2)

?

?

答案:①②④

类型一 判断证明函数的单调性 ? 解题准备:利用定义判断、证明函数的单调性 的过程中,要注意作差的目的是使目标式出现 各个因式的积或商,从而便于通过条件判断其 符号,不能通过取特殊值判断大小或跳过这一 个环节.
?

【典例1】 性.

ax 判断函数f(x)= 2 (a≠0)在区间(-1,1)上的单调 x -1

[解析]

解法一:设-1<x1<x2<1,

a?x1x2+1??x2-x1? 则f(x1)-f(x2)= . ?x12-1??x22-1? ?x1x2+1??x2-x1? ∵ 2 >0,∴a>0时,函数f(x)在(-1,1)上递减;a ?x1 -1??x22-1? <0时,函数f(x)在(-1,1)上递增.

-a?x2+1? 解法二:对f(x)求导,有f′(x)= 2 , ?x -1?2 ∵x∈(-1,1),∴(x2-1)2>0,x2+1>0, ∴当a<0时,f′(x)>0,f(x)为增函数. 当a>0时,f′(x)<0,f(x)为减函数.

?

[点评] 用定义法判断函数单调性的关键在于比 较f(x1)与f(x2)的大小,一般的方法是作差、因式 分解,出现几个因式乘积,从而便于判断符 号.导数法也是常用的方法.

类型二 复合函数的单调性及单调区间 ? 解 题 准备 :复 合 函 数y= f[g(x)]的 单调 规律是 “同则增,异则减”,即f(u)与g(x)若具有相同 的单调性,则f[g(x)]为增函数,若具有不同的单 调性,则f[g(x)]必为减函数.讨论复合函数的单 调性的步骤是: ? ①求出复合函数的定义域; ? ②把复合函数分解成若干个常见的基本函数, 并判定其单调性; ? ③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化 范围;
?

【典例 2】

求下列函数的单调区间,并指出其增减性.

[解析] (1)令t=1-x2,则t=1-x2的递减区间 是[0,+∞),递增区间是(-∞,0]. ? 又当a>1时,y=at在(-∞,+∞)上是增函数; ? 当0<a<1时,y=at 在(-∞,+∞)上是减函 数. ? ∴当a>1时,函数的单调减区间是[0,+∞), 单调增区间是(-∞,0]; ? 当0<a<1时,函数的单调减区间是(-∞,0],
?

(2)由 4x-x2>0,得函数的定义域是(0,4). 令 t=4x-x2, ∵t=4x-x2=-(x-2)2+4, ∴t=4x-x2 的递减区间是[2,4),递增区间是(0,2].

∴函数的单调减区间是(0,2],单调增区间是[2,4).

类型三 抽象函数的单调性 ? 解题准备:1.抽象函数单调性的证明一般利用 定义法,注意利用定义法证明单调性的基本步 骤;2.求解与抽象函数有关的不等式问题时, 应运用函数的单调性,脱去对应法则“f”.
?
【典例3】 (2011· 成都市检测题)f(x)是定义在(0,+∞)上的增
?x ? 函数,且f ? ?=f(x)-f(y). ?y ?

(1)求f(1)的值;
?1? (2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f ? ?<2. ?x ?

[解析]

(1)令x=y,得f(1)=0.

1 (2)由x+3>0及 >0,得x>0, x
?1? 由f(6)=1及f(x+3)-f? ?<2, ?x ?

得f[x(x+3)]<2f(6), 即f[x(x+3)]-f(6)<f(6), x?x+3? 亦即f[ ]<f(6). 6 因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,

x?x+3? 所以 <6, 6 -3-3 17 -3+3 17 解得 <x< . 2 2 -3+3 17 综上所述,不等式的解集是{x|0<x< }. 2

?

[点评] 第一问用赋值法,这是处理此类问题的 一般思维方法,第二问关键是整理成 f[m(x)]<f[n(x)]形式,在单调区间内利用单调性 得出,m(x)与n(x)的大小关系,进一步解不等式, 可得原不等式的解.

快速解题
1 技法 求函数f(x)=x+ 的单调区间. x 快解:函数f(x)的定义域为x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
1 ∵f′(x)=1- 2 x ∴当0<|x|≤1时,f′(x)≤0;当|x|≥1时,f′(x)≥0. ∴f(x)在区间(-∞,-1]和[1,+∞)上是增函数,在区间[-1,0)和 (0,1]上是减函数.


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