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空间向量及其运算知识总结


空间向量及其运算
1.空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量 注:⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算 定 义 : 与 平 面 向 量 运 算 一 样 , 空 间 向 量 的 加 法 、 减 法 与 数 乘 向 量 运 算

如 下
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? ? ? ? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ; BA ? OA ? OB ? a ? b ; OP ? ?a(? ? R) ? ? ? ? 运算律:⑴加法交换律: a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? ⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ? ? ? ? ⑶数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b

D' A' B'

C'

3.平行六面体: ? D 平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A ?B ?C ?D ? 的轨迹所形成的几何体, C 叫做平行六面体,并记作:ABCD- A ?B ?C ?D ? 它的六个面都是平行四边 A 形,每个面的边叫做平行六面体的棱 B 4. 平面向量共线定理 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上,所 以平行向量也叫做共线向量.
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a

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向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ,使 b =λ a . ? 要注意其中对向量 a 的非零要求. 5 共线向量 ? 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量. a
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?

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?

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平行于 b 记作 a // b .

?

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当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可 能是平行直线. 6. 共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) , a // b 的充要条件是存在实数 λ,使 a =λ b . ? 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么 对 于 l 任意一点 O,点 P 在直线 上的充要条件是存在实数 t 满足等式

?

?

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?

?

?

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?

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OP ? OA ? t a .其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量.
空间直线的向量参数表示式:

?

?

OP ? OA ? t a 或 OP ? OA ? t (OB ? OA ) ? (1 ? t )OA ? tOB , 1 中点公式. OP ? (OA ? OB ) 2
??? ? ? OA ? a ,如果直线 OA 平行于 ? 或在 ? 内,那么 ? ? 我们说向量 a 平行于平面 ? ,记作: a // ? .通常
我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量 说明:空间任意的两向量都是共面的
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?

7 .向量与平面平行:已知平面 ? 和向量 a ,作

?

M

b a

B A A'

p

P

与 向 量 a, b 共 面 的充 要条 件是 存 在实 数 x, y 使
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? ? ? ? ? p ? xa ? yb

8.共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线, p

? ?
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?

O

推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x, y ,使 MP ? xMA ? yMB

????

??? ?

????

? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 或对空间任一点 O ,有 O P? O M? x M ? A y② MB ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? 或 OP ? xOA ? yOB ? zOM ,( x ? y ? z ? 1) ③
上面①式叫做平面 MAB 的向量表达式
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9 空间向量基本定理:如果三个向量 a, b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序实数
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? ? ?

?

组 x, y, z ,使 p ? xa ? yb ? zc

?

?

?

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? ? ? ? ? ? ??? 若三向量 a, b , c 不共面,我们把 {a, b , c} 叫做空间的一个基底, a, b , c 叫做基向量,空间任意三个不
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共面的向量都可以构成空间的一个基底 推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个有序实数 x, y, z ,使
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??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC
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10 空间向量的夹角及其表示: 已知两非零向量 a, b , 在空间任取一点 O , 作 OA ? a, OB ? b , 则 ?AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角, 记作 ? a, b ? ; 且规定 0 ?? a, b ?? ? , 显然有 ? a, b ??? b , a ? ; 若 ? a , b ?? 则称 a 与 b 互相垂直,记作: a ? b .

? ?

??? ?

? ? ???

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2



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11.向量的模:设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | .

??? ?

?

??? ?

?

?

12 . 向 量 的 数 量 积 : 已 知 向 量 a, b , 则 | a | ? | b | ? cos ? a, b ? 叫 做 a, b 的 数 量 积 , 记 作 a ? b , 即

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? ?

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? ? ? ? ? ? a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a, b ? . ??? ? ? ? 已知向量 AB ? a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量,作点 A 在 l 上的射影 A? ,作点 B 在 l 上的 ???? ? ??? ? ???? ? ? 射 影 B? , 则 A?B? 叫 做 向 量 AB 在 轴 l 上 或 在 e 上 的 正 射 影 . 可 以 证 明 A?B? 的 长 度 ???? ? ??? ? ? ? ? ? | A?B? |?| AB | cos ? a, e ??| a ? e | .
13.空间向量数量积的性质: (1) a ? e ?| a | cos ? a, e ? . (2) a ? b ? a ? b ? 0 . (3) | a |2 ? a ? a . 14.空间向量数量积运算律:

? ?

?

? ?

?

?

? ?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律)
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(1) (?a) ? b ? ?(a ? b ) ? a ? (?b ) . (2) a ? b ? b ? a (交换律) .

? ?

z

空间向量的直角坐标及其运算
1 空间直角坐标系: (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1 ,这个基底叫
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A(x,y,z) k i x O j y

?? ? 交基底,用{i, j, k} 表示;

单位正

(2)在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 {i, j, k} ,以点 O 为原点,分别以 i, j , k 的方向为正方向建立 三条数轴: x 轴、 y 轴、 z 轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系 O ? xyz ,点 O 叫原 点,向量 i, j , k 都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为 xOy 平面, yOz 平面, zOx 平面; 2.空间直角坐标系中的坐标: 在 空 间 直 角 坐 标 系 O ? xyz 中 , 对 空 间 任 一 点 A , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 ( x, y, z ) , 使

?? ?

?? ?

?? ?

??? ? ? ? OA ? xi ? yj ? zk ,有序实数组 ( x, y, z ) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,记作 A( x, y, z) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖

z D C B ' D x A z A B C y ' '

坐标.

常见坐标系
①正方体 如图所示, 正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱长为 a , 一般选择点 D 点, DA 、 DC 、 DD ' 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角 系 D ? xyz ,则各点坐标为 亦可选 A 点为原点. 在长方体中建立空间直角坐标系与之类似. ②正四面体

A '

为 原 坐 标

B

O C x

D y

如图所示,正四面体 A ? BCD 的棱长为 a ,一般选择 A 在 ?BCD 上的射影为原点, OC 、 OD (或 OB ) 、 OA 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则各点坐标为 ③正四棱锥 如图所示,正四棱锥 P ? ABCD 的棱长为 a ,一般选择点 P 在平面 z ABCD 的射影为原点, OA (或 OC ) 、 OB (或 OD ) 、 OP 所在直线 P 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则各点坐标为 ④正三棱柱 D 如图所示,正三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' 的底面边长为 a ,高为 h , C 一般选择 AC 中点为原点,OC (或 OA ) 、OB 、OE ( E 为 O 在 A ' C ' O x A 上的射影)所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 B

O ? xyz ,则各点坐标为

3.空间向量的直角坐标运算律:

z E C ' O C x

A ' A

y

? ? (1)若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) ,则 ? ? a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , ? ? ? a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) , ? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R) , ? ? ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 , a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) , ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 . ??? ? (2)若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 ) . ? ? 4 模长公式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) , ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 则 | a |? a ? a ? a1 ? a2 ? a3 , | b |? b ? b ? b1 ? b2 ? b3 . ? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? ? 5.夹角公式: cos a ? b ? ? . 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3
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B ' B

y

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标

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6.两点间的距离公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , 则 | AB |? 或 d A, B ?

??? ?

??? ?2 AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 ,
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( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2

空间向量应用
一、直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中,由 A( x1 , y1 , z1 ) 与 B( x2 , y2 , z2 ) 确定直线 AB 的方向向量是 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 ) . 平面法向量 如果 a ? ? ,那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. 二、证明平行问题 1.证明线线平行:证明两直线平行可用 a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) 或

??? ?

?

?

? ?

? ? a a a a // b ? 1 ? 2 ? 3 . b1 b2 b3

2.证明线面平行

直线 l 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 n ,且 l ? ? ,若 a ? n 即 a ? n ? 0 则 a // ? . 3.证明面面平行 平面 ? 的法向量为 n1 ,平面 ? 的法向量为 n2 ,若 n1 // n2 即 n1 ? ? n2 则 ? // ? .

?

?

?

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? ?

?

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?? ?? ?

??

?? ?

三、证明垂直问题 1.证明线线垂直 2.证明线面垂直

证明两直线垂直可用 a ? b ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 直线 l 的方向向量为 a ,平面 ? 的法向量为 n ,且 l ? ? ,若 a // n 即 a ? ? n 则 a ? ? . 3.证明面面垂直 平面 ? 的法向量为 n1 ,平面 ? 的法向量为 n2 ,若 n1 ? n2 即 n1 ? n2 ? 0 则 ? ? ? . 四、夹角 1.求线线夹角

?

?

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??

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??

?? ?

?? ?? ?

设 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) , ? ? (0?,90?] 为一面直线所成角,则:

?

?

? ? ? ? ? ? a ? b ?| a | ? | b | ? cos ? a, b ? ; ? ? ? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b cos ? a, b ?? ? ? ? ; cos? ?| cos ? a, b ?| . 2 2 2 | a |?|b | a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32
?
个法向量, 平面? 所
n P

2.求线面夹角

如图,已知 PA 为平面 ? 的一条斜线, n 为平面 ? 的一 过 P 作平面 ? 的垂线 PO , 连结 OA 则 ?PAO 为斜线 PA 和 成的角,记为 ? 易得

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? sin ? ?| sin( ? ? OP, AP ?) | ?| cos ? OP, AP ?| 2 ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? | n ? PA | ? . ?| cos ? n, AP ?| ?| cos ? n, PA ?| ? ? ??? | n || PA |

?

θ α O A

3.求面面夹角 设 n1 、 n2 分别是二面角两个半平面 ? 、 ? 的法向量,

??

?? ?

当法向量 n1 、 n2 同时指向二面角内或二面角外时,二面角 ? 的大小为 ? ? ? n1, n2 ? ;

??

?? ?

?? ?? ?

当法向量 n1 、 n2 一个指向二面角内,另一外指向二面角外时,二面角 ? 的大小为 ? n1, n2 ? . 五、距离 1.求点点距离 设 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , d A, B ?

??

?? ?

?? ?? ?

??? ? ??? ? ??? ? | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2

2.求点面距离

如图, A 为平面 ? 任一点, 已知 PA 为平面 ? 的一条斜线,n 为平面 ? 的一个法向量, 过 P 作平面 ? 的垂线 PO ,连结 OA 则 ?PAO 为斜线 PA 和平面 ? 所成的角,记为 ? 易得

?

??? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? | PA ? n | | PA ? n | ? ? ? ? . | PO |?| PA | ? sin ? ?| PA | ? | cos ? PA, n ?| ?| PA | ? ??? | PA | ? | n | |n|
? ?

3.求线线距离 求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.如图,设两条异面直线 a 、 b 的公垂线的 方向向量为 n , 这时分别在 a 、 b 上任取 A 、 B 两点,则向量在 n 上的正射影长就是两条异面直线 a 、 b 的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对 值与公垂线的方向向量模的比值.

? ??? ? ? ??? ? n | AB ? n | ? . 直线 a 、 b 的距离 d ?| AB ? ? |? |n| |n|

4.求线面距离 一条直线和一个平面平行时, 这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离. 直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离.

5.求面面距离 和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫 做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离. 平面和平面间的距离可转化为求点到平面的距离.


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