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【全国百强校】湖北省黄冈市黄冈中学2016届高三下学期测数学(理)试题(1)


黄冈中学 2016 届高三(下)理科数学测试题(1)
命题人: 2016.2.14 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 根据如下样本数据: x 2 3[学 4 5 6 7 y -4.0 -2.5 0.5 1 2.0 3.0 ? 得到的回归方程为 y ? bx ? a ,则( ) A

. a ? 0 , b ? 0 B. a ? 0 , b ? 0 答案:C 由散点图得。 C. a ? 0 , b ? 0 D. a ? 0 , b ? 0

2 .如图程序框图中,若输入 m=4,n=10,则输出 a,i 的值分别是(



A.12,4 答案 C

B.16,5

C.20,5

D.24,6

解析:模拟执行程序,可得 m=4,n=10,i=1 a=4, 不满足条件 n 整除 a,i=2,a=8 不满足条件 n 整除 a,i=3,a=12 不满足条件 n 整除 a,i=4,a=16 不满足条件 n 整除 a,i=5,a=20 满足条件 n 整除 a,退出循环,输出 a 的值为 20,i 的值为 5. 故选:C. 3. 把 89 化为五进制数的首位数字是( A. 1 B.2 答案:.C ) C.3 D.4

解答:解:89÷5=17…4 故 89(10)=324(4).故选 C.

17÷5=3…2

3÷5=0…3

4. 执行如图所示的程序框图,若输出的 S=88,则判断框内应填入的条件是(



A.k>7

B.k>6

C.k>5

D.k>4

答案: C 解答:程序在运行过程中各变量值变化如下表: K 循环前 1 第一圈 2 第三圈 4 第五圈 6 S 0 2 18 88 是 是 否 第二圈 3 第四圈 5 7 41 是 是 是否继续循环

故退出循环的条件应为 k>5? 故答案选 C. 5. 下列四个命题: ①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度; ②线性回归方程一定经过样本中心点; ③某校高三一部和二部的人数分别是 m、n,本次期末考试两级部数学平均分分别是 a、b, 则这两个级部的数学平均分为 ;

④某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检 查,现将 800 名学生从 l 到 800 进行编号.已知从 497~513 这 16 个数中取得的学生编号 是 503,则初始在第 1 小组 1~16 中随机抽到的学生编号是 7. 其中真命题的个数是( )

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

答案: D 解析:对于①,∵样本的标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,样本的方差是标准 差的平方,反映了样本数据的分散程度的大小,∴①正确; ②正确 对于③,∵高三一部和二部的总分分别为:ma 和 nb,总人数为 m+n,这两个部的数学平均 分为 ,∴③错误; =16,又

对于④,∵用系统抽样方法,从全体 800 名学生中抽 50 名学生的分段间隔为 从 497~513 这 16 个数中取得的学生编号是 503, 503=16×31+7,∴在第 1 小组 1~l6 中随机抽到的学生编号是 007 号,∴④正确 故选 D.

6. 已知 X~N(μ ,σ )时,P(μ ﹣σ <X≤μ +σ )=0.6826,P(μ ﹣2σ <X≤μ +2σ ) =0.9544,P(μ ﹣3σ <X≤μ +3σ )=0.9974,则 A.0.043 B.0.0215 C.0.3413

2

?

4

3

1) 1 ? ( x? e 2 dx =( 2?

2



D.0.4772

答案:B 解析:由题意,μ =1,σ =1, P(3<X≤4)= ×[P(﹣2<X≤4)﹣P(﹣1<X≤3)]= ×(0.9974﹣0.9544) =0.0215, 故选:B.

7. 已知 A.第 10 项 答案: B

的最小值为 n ,则二项式 B.第 9 项 C.第 8 项

展开式中常数项是 D.第 7 项

8. 某校在高二年级开设选修课,选课结束后,有四名同学要求改选物理,现物理选修课开 有三个班,若每个班至多可再接收 2 名同学,那么不同的接收方案共有 A.72 种 答案:.B 解析:分两类:两个班接收 三个班接收
2 C32C4 ? 18
2 3 C4 A3 ? 36

B.54 种

C.36 种

D.18 种

9. 如图,四边形 ABCD 为矩形,AB= ,BC=1,以 A 为圆心,1 为半径画圆,交线段 AB 于 E,在圆弧 DE 上任取一点 P,则直线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为( )

A. 答案: C

B.

C.

D.

解析:由题意知本题是一个几何概型, 试验包含的所有事件是∠BAD, 如图,连接 AC 交弧 DE 于 P, 则 tan∠CAB= , ∴∠CAB=30°,

满足条件的事件是直线 AP 在∠CAB 内时 AP 与 BC 相交时,即直线 AP 与线段 BC 有公共点 ∴概率 P= 故选:C. = ,

10. 过双曲线的右焦点 F 作实轴所在直线的垂线,交双曲线于 A,B 两点,设双曲线的左顶 点 M,若点 M 在以 AB 为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率 e 的取值范围为( A. 答案: C 解析:设双曲线方程为 ﹣ =1,a>b>0 B. C.(2,+∞) D.(1,2) )

则直线 AB 方程为:x=c,其中 c= 因此,设 A(c,y0),B(c,﹣y0),∴ ﹣ =1,解之得 y0= ,得|AF|= ,

∵双曲线的左焦点 M(﹣a,0)在以 AB 为直径的圆内部∴|MF|<|AF|,即 a+c< 将 b2=c2﹣a2,并化简整理,得 2a2+ac﹣c2<0 两边都除以 a2,整理得 e2﹣e﹣2>0,解之得 e>2(舍负) 故选:C



11. 考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点 种任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( A. B. C. D. )

答案:D 2 解析:甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,共有 C6 =15 条,乙也从这 6 个点中任意选 两个点连成直线, 共有 C62=15 条,甲乙从中任选一条共有 15×15=225 种不同取法, 因正方体 6 个面的中心构成一个正八面体,有六对相互平行但不重合的直线,则甲乙两人 所得直线相互平行但不重合共有 12 对, 这是一个古典概型,所以所求概率为 故选 D. = ,

12. 若实数 a,b,c,d 满足 b ? a ? 3 ln a 值为( )
2

?

? ? ?c ? d ? 2? =0,则 (a ? c)
2 2

2

? (b ? d )2 的最小

A. 2 答案:.D
2

B. 2
2

C. 2 2

D. 8

解析: (a ? c) ? (b ? d ) 的几何意义是两点 (a, b),(c, d ) 的距离的平方。其中 ( a, b) 在曲线

y ? 3ln x ? x2 上, (c, d ) 在直线 y ? x ? 2 上。设曲线与直线平行的切线的切点为 ( x0 , y0 ) 3 由 ? 2 x ? 1 ,得 x0 ? 1,即切点 M(1,-1)最小值为点 M 到直线距离的平方。 x0 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
13. 图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法.若输入 m=209 ,n=121 , ? 则输出 m= _________.

答案:11 14. 假定一个家庭有两个小孩,生男、生女是等可能的,在已知有一个是女孩的前提下,则 另一个小孩是男孩的概率是 .

2 答案: 3
15. 现有五张连号的电影票分给甲、乙、丙三人,每人至少一张,其中有两人各分得两张连 号的电影票,则不同的分法有 种(用数字作答).

答案: 18 解析:记 5 张票 12345,两人连号,三种情形:12,34,5;12,3,45;1,23,45.
3 故分法 3 A3

16. 已知 f ( x) ? (2 x ?1)10 ? a10 x10 ? a9 x9 ? a8 x8 ???? ? a1x ? a0 ,则
2 2 2 2 C2 a2 ? C3 a3 ? C4 a4 ? ??? ? C10 a10 ?

解:.对等式 (2 x ? 1) ? a10 x10 ? a9 x9 ? a8 x8 ???? ? a1x ? a0 两边求导得
10

20(2 x ? 1)9 ? 10a10 x9 ? 9a9 x8 ? 8a8 x7 ???? ? 2a2 x ? a1 .继续对此等式两边求导,得

360(2 x ?1)8 ? 10 ? 9a10 x9 ? 9 ? 8a9 x8 ? 8 ? 7a8 x7 ???? ? 2 ?1a2 .令 x ? 1 得
2 2 2 2 360 ? 10 ? 9a10 ? 9 ? 8a9 ? 8 ? 7a8 ???? ? 2 ?1a2 ? 2(C2 a10 ) a2 ? C3 a3 ? C4 a4 ? ??? ? C10 2 2 2 2 a2 ? C3 a3 ? C4 a4 ? ??? ? C10 a10 ? 180 . ? C2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位:百万元)之间有如下对应数据:

x

2 30

4 40

5 50

6 60

8 70

y

如果 y 与 x 之间具有线性相关关系, (1)求销售额关于广告费的线性回归方程; (2)预测当广告费支出为 9 百万元时的销售额. 附:线性回归方程 ?

? ?a ? 中, y ? bx
?? b

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

,?

? a ? y ? bx

?x
i ?1

2

i

? nx

2

解:(1)∵ = (2+4+5+6+8)=5, = (30+40+50+60+70)=50.

=145,

=1390,

∴ =

=7,

=50﹣7×5=15,

因此,所求回归直线方程为: ?

y ? 7x ? 5

(2)当 x=9 时, =7×9+15=78. 即当广告费支出为 9 百万元时,销售额为 78 百万元.

18. 某省 2015 年全省高中男生身高统计调查数据显示:全省 100000 名男生的身高服从正 态分布 N (170.5,16) .现从我校高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高,测量发现被测学 生身高全部介于 157.5cm 和 187.5 cm 之间,将测量结果按如下方式分成 6 组:第一组 [157.5,162.5],第二组[162.5,167.5],…,第 6 组[182.5,187.5],下图是按上述分 组方法得到的频率分布直方图.

(Ⅰ)试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况; (Ⅱ)求这 50 名男生身高在 177.5cm 以上(含 177.5 cm)的人数; (Ⅲ)在这 50 名男生身高在 177.5cm 以上(含 177.5 cm)的人中任意抽取 2 人,该 2 人 中身高排名(从高到低)在全省前 130 名的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望. 参考数据:
2 若 ? ~ N (?, ? ) .则 P( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) =0.9544,

P(? ? 3? ? ? ? ? ? 3? ) =0.9974.

解:(Ⅰ)由直方图,经过计算我校高三年级男生平均身高为

160 ? 0.1 ? 165 ? 0.2 ? 170 ? 0.3 ? 175 ? 0.2 ? 180 ? 0.1 ? 185 ? 0.1 ? 171
高于全市的平均值 170.5

(Ⅱ)由频率分布直方图知,后两组频率为 0.2,人数为 0.2×50=10,即这 50 名男 生身高在 177.5cm 以上(含 177.5 cm)的人数为 10 人. (Ⅲ)? P(170.5 ? 3 ? 4 ? ? ? 170.5 ? 3 ? 4) ? 0.997 4 ,

? P(? ? 182 .5) ?

1 ? 0.9974 ? 0.0013 ,0.0013×100 000=130. 2

所以,全省前 130 名的身高在 182.5 cm 以上,这 50 人中 182.5 cm 以上的有 5 人. 随机变量 ? 可取 0,1, 2 ,于是

P(? ? 0) ?

1 1 C52 10 2 C5 C5 25 5 C52 10 2 , , ? ? P ( ? ? 1 ) ? ? ? P ( ? ? 2 ) ? ? ? 2 2 2 C10 45 9 C10 45 9 C10 45 9

2 5 2 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 . 9 9 9
19. 已知集合 A ? {1, 2,3, 4} ,函数 f ( x) 的定义域、值域都是 A ,且对于任意 i ? A ,

f (i ) ? i .
? a1 ? ? f (a1 ) a2 f ( a2 )

设 a1 , a 2 , a3 , a 4 是 1,2,3,4 的 任 意 一 个 排 列 , 定 义 数 表

a3 f (a3 )

a4 ? ? ,若两个数表的对应位置上至少有一个数不同,就说这是 f ( a4 ) ?

两张不同的数表. (1)求满足条件的不同的数表的张数; (2)若 ai ? i ( i ? 1,2,3,4 ),从所有数表中任意抽取一张,记 ? 为表中 ai ? f (i ) 的个数, 求 ? 的分布列及期望.

解:(1)9 A4 = 216 (2) p( ? =1) =

4

1 , 9

p( ? =2) =

7 9

p( ? =3) =

1 9

因此, ? 的分布列如下:

?
P

1

2

3

1 9

7 9

1 9

? E ? =2
20. 设 M 是焦距为 2 的椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点,A、B 是椭圆 E 的左、右顶 a 2 b2

点,直线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1,k2,且 k1k2=﹣ . (1)求椭圆 E 的方程;

xx y y x2 y 2 (2)已知椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上点 N ( x0 , y0 ) 处切线方程为 02 ? 02 ? 1 ,若 a b a b
P 是直线 x=2 上任意一点,从 P 向椭圆 E 作切线,切点分别为 C、D,求证直线 CD 恒过定 点,并求出该定点坐标. 解:设 A(﹣a,0),B(a,0),M(m,n),则 + =1,

即 n =b ?

2

2



由 k1k2=﹣ ,即
2 2 2

?
2 2

=﹣ ,即有

=﹣ ,

即为 a =2b ,又 c =a ﹣b =1, 解得 a =2,b =1. 即有椭圆 E 的方程为 +y =1;
2 2 2

(2)证明:设点 P(2,t),切点 C(x1,y1),D(x2,y2), 则两切线方程 PC,PD 分别为: +y1y=1, +y2y=1,

由于 P 点在切线 PC,PD 上,故 P(2,t)满足 得:x1+y1t=1,x2+y2t=1, 故 C(x1,y1),D(x2,y2)均满足方程 x+ty=1, 即 x+ty=1 为 CD 的直线方程. 令 y=0,则 x=1, 故 CD 过定点(1,0).

+y1y=1,

+y2y=1,

21. 已知函数

f ( x) ? ex?m ? ln(2x) .

(Ⅰ)设 x ? 1 是函数 f ( x ) 的极值点,求 m 的值并讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明: f ( x) ? ? ln 2 .
x﹣m x﹣m

解:∵f(x)=e ﹣ln(2x), ∴f′(x)=e 由 x=1 是函数 f(x)的极值点得 f′(1)=0, 即 e1﹣m﹣1=0,∴m=1. …

﹣ ,

于是 f(x)=ex﹣1﹣ln(2x),f′(x)=ex﹣1﹣ ,

由 f″(x)=e

x﹣1

+

>0 知 f′(x)在 x∈(0,+∞)上单调递增,且 f′(1)=0, …

∴x=1 是 f′(x)=0 的唯一零点.

因此,当 x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)递减; x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)递增, ∴函数 f(x) 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. (Ⅱ)证明:当 m≤2,x∈(0,+∞)时,ex﹣m≥ex﹣2, 又 ex≥x+1,∴ex﹣m≥ex﹣2≥x﹣1. 取函数 h(x)=x﹣1﹣ln(2x)(x>0),h′(x)=1﹣ , 当 0<x<1 时,h′(x)<0,h(x)单调递减;当 x>1 时,h′(x)>0,h(x)单调递 增,得函数 h(x)在 x=1 时取唯一的极小值即最小值为 h(1)=﹣ln2.… ∴f(x)=e
x﹣m

﹣ln(2x)≥e

x﹣2

﹣ln(2x)≥x﹣1﹣ln(2x)≥﹣ln2,

而上式三个不等号不能同时成立,故 f(x)>﹣ln2. 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时请写 清题号。 22. 选修 4-1 :几何证明选讲 如图,AB 是的⊙O 直径,CB 与⊙O 相切于 B,E 为线段 CB 上一点,连接 AC、AE 分别交⊙O 于 D、G 两点,连接 DG 交 CB 于点 F. (Ⅰ)求证:C、D、G、E 四点共圆. (Ⅱ)若 F 为 EB 的三等分点且靠近 E,EG=1,GA=3,求线段 CE 的长.

(Ⅰ)证明:连接 BD,则∠AGD=∠ABD, ∵∠ABD+∠DAB=90°,∠C+∠CAB=90° ∴∠C=∠AGD, ∴∠C+∠DGE=180°, ∴C,E,G,D 四点共圆. (Ⅱ)解:∵EG?EA=EB ,EG=1,GA=3, ∴EB=2,
2

又∵F 为 EB 的三等分点且靠近 E, ∴ , ,
2

又∵FG?FD=FE?FC=FB , ∴ ,CE=2.

23. 选修 4-4: 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C

的极坐标方程为 ρ sin θ =4cosθ ,直线 l 的参数方程为:

2

(t 为参数),两

曲线相交于 M,N 两点. (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 P(﹣2,﹣4),求|PM|+|PN|的值. 解:(Ⅰ)根据 x=ρ cosθ 、y=ρ sinθ ,求得曲线 C 的直角坐标方程为 y =4x, 用代入法消去参数求得直线 l 的普通方程 x﹣y﹣2=0.
2

(Ⅱ)直线 l 的参数方程为:

(t 为参数),

代入 y =4x,得到 则 t1+t2=12

2

,设 M,N 对应的参数分别为 t1,t2, .

,t1?t2=48,∴|PM|+|PN|=|t1+t2|=

24. 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=∣ x-a∣,其中 a>1. (I)当 a=3 时,求不等式 f(x)≥4-∣x-4∣的解集;

(Ⅱ)若函数 h(x)=f(2x+a)-2f(x)的图象与 x、y 轴围成的三角形面积大于 a+4,求 a 的取值 范围. 解:

? ?2 x ? 7, x ? 3, ? (Ⅰ)当 a ? 3 时, f ( x ) ? x ? 4 ? ?1,3<x<4, ? 2 x ? 7, x ? 4. ?
当 x ? 3 时,由 f ( x) ? 4 ? x ? 4 得, ?2 x ? 7 ? 4 ,解得 x ? 当 3 ? x ? 4 时, f ( x) ? 4 ? x ? 4 ,无解; 当 x ? 4 时, f ( x) ? 4 ? x ? 4 得, 2 x ? 7 ? 4 ,解得 x ?

3 ; 2

11 . 2



3 11? f ( x) ? 4 ? x ? 4 的解集为 ? x x ? 或 x ? ? . 2 2?

??2a, x ? 0, ? (Ⅱ)记 h( x) ? f (2 x ? a) ? 2 f ( x) ,则 h( x) ? ?4 x ? 2a, 0 ? x ? a, ?2a, x ? a. ?
所以

S?

1 a ? 2a ? ? a ? 4 ,解得 a ? 4 . 2 2


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