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【创新方案】2015届高考数学一轮复习 第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理演练知能检测 文


第一节

分类加法计数原理与分 步乘法计数原理

[全盘巩固] 1.将 3 张不同的奥运会门票分给 10 名同学中的 3 人,每人 1 张,则不同分法的种数是 ( ) A.2 160 B.720 C.240 D.120

解析:选 B 分步来完成此事.第 1 张有 10 种分法;第 2 张有 9 种分法;第 3 张有 8 种分法,共有 10×9×8=720 种分法. 2.a,b,c,d,e 共 5 个人,从中选 1 名组长 1 名副组长,但 a 不能当副组长,不同 选法的种数是( A.20 ) B.16 C.10 D.6

解析:选 B 当 a 当组长时,则共有 1×4=4 种选法;当 a 不当组长时,又因为 a 也不 能当副 组长,则共有 4×3=12 种选法.因此共有 4+12=16 种选法. 3. (2014·汕头模拟)如图,用 6 种不同的颜色把图中 A,B,C,D 四块区域分开,若相 邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )

A.400

B.460

C.480

D.496

解析:选 C 从 A 开始,有 6 种方法,B 有 5 种,C 有 4 种,D,A 同色 1 种,D,A 不同 色 3 种,则有 6×5×4×(1+3)=480 种不同涂法. 4.集合 P={x,1},Q={y,1,2},其中 x,y∈{1,2,3,?,9},且 P? Q.把满足上述条 件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是( A.9 B.14 C.15 D.21 )

解析:选 B ∵P={x,1},Q={y,1,2},且 P? Q,∴x∈{y,1,2}. ∴当 x=2 时,y=3, 4 ,5,6,7,8,9,共有 7 种情况; 当 x=y 时,x=3,4,5,6,7,8,9,共有 7 种情况. 共有 7+7=14 种情况.即这样的点的个数为 14. 5.(2014·济南调研)已知两条异面直线 a,b 上分别有 5 个点和 8 个点,则这 13 个点 可以确定不同的平面个数为( A.40 B.16 ) C.13 D.10

解析:选 C 分两类情况讨论: 第 1 类,直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面;

1

第 2 类,直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面. 根据分类加法计数原理知,共可以确定 8+5=13 个不同的平面. 6. (2014·杭州模拟)如果一条直线与一个平面平行, 那么称此直线与平面构成一个“平 行线面组”. 在一个长方体中, 由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行 线面组”的个数是( A.60 B.48 ) C.36 D.24

解析: 选 B 长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”个数为 6×6=36, 另含 4 个顶点 的 6 个面(非表面)构成的“平行线面组”个数为 6×2=12,故符合条件的“平行线面组” 的个数是 36+12=48. 7.在平面直角坐标系内, 点 P(a, b)的坐标满足 a≠b,且 a,b 都是集合{1,2,3,4,5,6} 中的元素,又点 P 到原点的距离|OP|≥5.则这样的点 P 的个数为________. 解析:依题意可知: 当 a=1 时,b=5,6 两种情况; 当 a=2 时,b=5,6 两种 情况; 当 a=3 时,b=4,5,6 三种情况; 当 a=4 时,b=3,4,5,6 四种情况; 当 a=5 或 6,b 各有 6 种情况. 所以共有 2+2+3+4+6+6=23 种情况. 答案:23 8.集合 N={a,b,c}? {-5,-4,-2,1,4},若关于 x 的不等式 ax +bx+c<0 恒有 实数解,则满足条件的集合 N 的个数是________. 解析:依题意知,最多有 10 个集合 N,其中对于不等式 ax +bx+c<0 没有实数解的情 况可转化为需要满足 a>0,且 Δ =b -4ac≤0,因此只有当 a,c 同号时才有可能,共有 2 种情况,因此满足条件的集合 N 的个数是 10-2=8. 答案:8 9.将数字 1,2,3,4,5,6 排成一列,记第 i 个数为 ai(i=1,2,?,6),若 a1≠1,a3≠3,
2 2 2

a5≠5,a1<a3<a5,则不同的排列方法有________种(用数字作答).
解析:分两步: 第 1 步,先排 a1,a3,a5,若 a1=2,有 2 种排法;若 a1=3,有 2 种排法;若 a1=4, 有 1 种排法,所以共有 5 种排法; 第 2 步,再排 a2,a4,a6,共有 6 种排法,故有 5×6=30 种不同的排列方法. 答案:30 10.有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方 法?(不一定六名同学都能参加)
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(1)每人恰好参加一项,每项人数不限; (2)每项限报一人,且每人至多参加一项; (3)每项限报一人,但每人参加的项目不限. 解:(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有 3 种不同的报名方法,根据分 步乘法计数原理,可得共有 3 =729 种不同的报名方法. (2)每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有 6 种选法, 第二个项目有 5 种选法,第三个项目只有 4 种选法,根据分步乘法计数原理,可得共有 6×5×4=120 种不同的报名方法. (3)每人参加的项目不限,因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛,根据分步 乘法计数原理,可得共有 6 =216 种不同的报名方法. 11.某电视台连续播放 6 个广告,其中有 3 个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、 一个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且宣传广告与公益广告不能连续 播放, 两个宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式? 解:用 1,2,3,4,5,6 表示广告的播放顺序,则完成这件事有三类方法. 第 1 类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 2,4,6 ,分 6 步完成这件事,共有 3×3×2×2×1×1=36 种不同的播放方式. 第 2 类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 1,4,6 ,分 6 步完成这件事,共有 3×3×2×2×1×1=3 6 种不同的播放方式. 第 3 类:宣传广告与公益广告 的播放顺序是 1,3,6,同样分 6 步完成这件事,共有 3×3×2×2×1×1=36 种不同的播放方式. 由分类加法计数原理得:6 个广告共有 36+36+36=108 种不同的播放方式. 12. 某城市在中心广场建造一个花圃, 花圃分为 6 个部分(如图). 现要栽种 4 种不同颜 色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有多少种(用 数字作答).
3 6

解:法一:从题意来看,6 部分种 4 种颜色的花,又从图形看,知必有 2 组同颜色的花, 从同颜色的花入手分类求解. (1)2 与 5 同色,则 3,6 也同色或 4,6 也同色,所以共有 4×3×2×2×1=48 种栽种方 法; (2)3 与 5 同色,则 2,4 或 4, 6 同色,所以共有 4×3×2×2×1=48 种栽种方法; (3)2 与 4 且 3 与 6 同色,所以共有 4×3×2×1=24 种栽种方法. 所以共有 48+48+24=120 种栽种方法.
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法二: 记颜色为 A, B, C, D 四色, 先安排 1,2, 3 有 4×3×2 种不同的栽法, 不妨设 1,2,3 已分别栽种 A,B,C,则 4,5,6 的栽种方法共 5 种,由以下树状图清晰可见.

根据分步乘法计数原理,共有 4×3×2×5=120 种不同的栽种方法. [冲击名校] 1.设集合 I={1,2,3,4,5},选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则不同的选择方法的种数为( A.50 B.49 C.48 D.47 )

解析:选 B 根据题意,B 中最小的数大于 A 中最大的数,则集合 A,B 中没有相同的元 素,且都不是空集,按 A 中元素分情况讨论,分别计算其选法种数,进而相加即可. 第 1 类,当 A 中最大的数是 1 时,A 是{1},B 可以是{2,3,4,5}的非空子集,即有 2 -1 =15 种选法; 第 2 类,当 A 中最大的数是 2 时,A 可以是{2}或{1,2},B 可以是{3,4,5}的非空子集, 即有 2×(2 -1)=14 种选法; 第 3 类, 当 A 中最大的数是 3 时, A 可以是{3}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}, B 可以是{4,5} 的非空子集,即有 4×(2 -1)=12 种选法; 第 4 类, 当 A 中最大的数是 4 时, A 可以是{4}, {1,4}, {2,4}, {3,4}, {1,2,4}, {1,3,4} , {2,3,4},{1,2,3,4},B 是{5},即有 8×1=8 种选法. 综上可知,共有 15+14+12+8=49 种不同的选择方法. 2. 若 m, n 均为非负整数, 在做 m+n 的加法时各位均不进位(例如: 134+3 802=3 936), 则称(m,n)为“简单的”有序对,而 m+n 称为有序对(m,n)的值,那么值为 1 942 的“简 单的”有序对的个数 为________. 解析:第 1 步,1=1+0,或 1=0+1,共 2 种组合方式; 第 2 步,9=0+9,或 9=1+8,或 9=2+7,或 9=3+6,?,或 9=9+0,共 10 种组 合方式; 第 3 步,4=0+4,或 4=1+3,或 4=2+2,或 4=3+1,或 4= 4+0,共 5 种组合方 式; 第 4 步,2=0+2,或 2=1+1,或 2=2+0,共 3 种组合方式. 根据分步乘法计数原理,值为 1 942 的“简单的”有序对的个数为 2×10×5×3=300. 答案:300
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