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圆锥曲线中的最值问题


圆锥曲线中的最值问题

一、求最值的常用方法:
1. 数形结合法
例 1. 已知 P 为抛物线 y 2 ? 4x 上一个动点,直线

l1 : x ? ?1 ,l2 : x ? y ? 3 ? 0 ,则 P 到直线 l1 、l2 的
距离之和的最小值为

2 2

.<

br />
例 2.

已 知 椭 圆

x2 y 2 ? ?1 12 3

和 直 线

l : x ? y ? 9 ? 0 ,在 l 上取一点 M ,经过点 M 且以
椭圆的焦点 F1 , F2 为焦点作椭圆 , M 在何处时所 求 作椭圆的长轴最短,并求此椭圆方程 .

M(-5,4)

x y ? ?1 45 36

2

2

例 3.

设实数 x, y 满足:

y

x2 y 2 ? ? 1 ,则 3x ? 4 y 的 16 9
最大值是 12 2 ;最小值 是 ?12 2 .

O

t x ( , 0) 3 3x ? 4 y ? t

解 : 设3 x ? 4 y ? t ? x2 y2 ?1 ? ? 由? 16 9 ?3x ? 4 y ? t ?

? 32 y ? 8ty ? 16 ? 9 ? t ? 0
2 2

? ? 64t ? 4 ? 32(t ? 16 ? 9) ? 0
2 2

? t ? ?12 2

2. 函数法
x2 y 2 例 4. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点 a b
分别为 F (?c,0), F2 (c,0) , P 为椭圆上一点. 1 (1)求 | PF1 | 的最大、最小值; (2)当 ?F PF2 取最大值时,试确定 P 点位置. 1

例 5. 若 M 为抛物线 y 2 ? 4x 上一个动点, N 是圆

( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 上 一 个 动 点 , 则 MN 的 最 小 值


2? 2 .

x2 例 6. 设 P 是椭圆 2 ? y 2 ? 1? a ? 1? 短轴的上端点, a
Q 为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值.

x y 例 7. A,B 是 ? = 1 (x ? 0) 上的不同两点,O 是 2 2

2

2

??? ??? ? ? 坐标原点,求 OA ? OB 的最小值.

例 8 . 过椭圆 2 x2 ? y 2 ? 2 上焦点的直线交椭圆 A,B
两点 ,求 ?AOB 面积的最大值 .

二、课堂小结
1. 掌握求圆锥曲线中的有关最值的基本方法:
(1)几何法 (2)函数法

2. 解析几何是研究“形”的科学,在求圆 锥曲线的最值问题时要善于结合图形,通过 数形结合将抽象的问题、繁杂的问题化归为 动态的形的问题,从而使问题顺利解决.

谢 谢!

2011.3.20


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