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【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布课时作业67 理


课时作业 67

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

一、选择题 1. 高三年级的三个班去甲、 乙、 丙、 丁四个工厂参加社会实践, 但去何工厂可自由选择, 甲工厂必须有班级要去,则不同的分配方案有( A.16 种 C.37 种 ) B.18 种 D.48 种
3 3

解析:三个班去四个工厂不同的分配方案共 4 种,甲工厂没有班级去的分配方案共 3 种,因此满足条件的不同的分配方案共有 4 -3 =37 种. 答案:C
3 3

2.a,b,c,d,e 共 5 个人,从中选 1 名组长 1 名副组长,但 a 不能当副组长,不同选 法的种数是( A.20 C.10 ) B.16 D.6

解析:当 a 当组长时,则共有 1×4=4 种选法;当 a 不当组长时,又因为 a 也不能当副 组长,则共有 4×3=12 种选法.因此共有 4+12=16 种选法. 答案:B 3. 有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学, 在数学检测时要求每位教师不 能在本班监考,则监考的方法有( A.8 种 C.10 种 ) B.9 种 D.11 种

解析:设四位监考教师分别为 A,B,C,D,所教班分别为 a,b,c,d,假设 A 监考 b, 则余下三人监考剩下的三个班,共有 3 种不同方法,同理 A 监考 c,d 时,也分别有 3 种不同 方法,由分类加法计数原理共有 3+3+3=9(种). 答案:B 4.已知两条异面直线 a,b 上分别有 5 个点和 8 个点,则这 13 个点可以确定不同的平面 个数为( A.40 C.13 解析:分两类情况讨论: 第 1 类,直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的平面; 第 2 类,直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面.
1

) B.16 D.10

根据分类加法计数原理知,共可以确定 8+5=13 个不同的平面. 答案:C 5.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”,在一 个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 ( ) A.60 C.36 B.48 D.24

解析:长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”有 6×6=36 个,6 个对角面构成的“平 行线面组”有 6×2=12(个).故共有 36+12=48(个). 答案:B

6.如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现有要求在其余四个区域中涂色,现 有四种颜色可供选择.要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂 色方法种数为( A.64 C.84 ) B.72 D.96

解析: 分成两类: A 和 C 同色时有 4×3×3=36(种); A 和 C 不同色时 4×3×2×2=48(种), ∴一共有 36+48=84(种). 答案:C 二、填空题 7.一个乒乓球队里有男队员 5 人,女队员 4 人,从中选出男、女队员各一名组成混合双 打,共有________种不同的选法. 解析:“完成这件事”需选出男、女队员各一人,可分两步进行:第一步选一名男队员, 有 5 种选法;第二步选一名女队员,有 4 种选法,共有 5×4=20(种)选法. 答案:20 8.如果把个位数是 1,且恰有 3 个数字相同的四位数叫作“好数”,那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的有重复数字的四位数中,“好数”共有________个. 解析:当相同的数字不是 1 时,有 C3个;当相同的数字是 1 时,共有 C3C3个,由分类加
1 1 1

2

法计数原理知共有“好数”C3+C3C3=12 个. 答案:12 9.集合 N={a,b,c}? {-5,-4,-2,1,4},若关于 x 的不等式 ax +bx+c<0 恒有 实数解,则满足条件的集合 N 的个数是________. 解析:依题意知,最多有 C5=10 个集合 N,其中对于不等式 ax +bx+c<0 没有实数解的 情况可转化为需要满足 a>0,且 Δ =b -4ac≤0,因此只有当 a,c 同号时才有可能,共有 2 种情况,因此满足条件的集合 N 的个数是 10-2=8. 答案:8 三、解答题 10.某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O 型血的共有 28 人,A 型血的共有 7 人, B 型血的共有 9 人,AB 型血的共有 3 人. (1)从中任选 1 人去献血,有多少种不同的选法? (2)从四种血型的人中各选 1 人去献血,有多少种不同的选法? 解: 从 O 型血的人中选 1 人有 28 种不同的选法, 从 A 型血的人中选 1 人共有 7 种不同的 选法, 从 B 型血的人中选 1 人共有 9 种不同的选法, 从 AB 型血的人中选 1 人共有 3 种不同的 选法. (1)任选 1 人去献血, 即不论选哪种血型的哪一个人, 这件“任选 1 人去献血”的事情就 已完成,所以用分类加法计数原理,有 28+7+9+3=47 种不同选法. (2)要从四种血型的人中各选 1 人, 即要在每种血型的人中依次选出 1 人后, 这件“各选 1 人去献血”的事情才完成,所以用分步乘法计数原理,有 28×7×9×3=5 292 种不同的选 法. 11.由数字 1,2,3,4, (1)可组成多少个三位数; (2)可组成多少个没有重复数字的三位数; (3)可组成多少个没有重复数字的三位数, 且百位数字大于十位数字, 十位数字大于个位 数字. 解:(1)百位数共有 4 种排法;十位数共有 4 种排法;个位数共有 4 种排法,根据分步乘 法计数原理共可组成 4 =64(个)三位数. (2)百位上共有 4 种排法;十位上共有 3 种排法;个位上共有 2 种排法,由分步乘法计数 原理共可排成没有重复数字的三位数 4×3×2=24(个). (3)排出的三位数分别是 432,431,421,321,共 4 个.
3 2 3 2 2

1

1 1

3

1.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位 朋友 1 本,则不同的赠送方法共有( A.4 种 C.18 种 ) B.10 种 D.20 种
1

解析:分两类:第一类是取出 1 本画册,3 本集邮册,此时赠送方法有 C4=4 种;第二 类是取出 2 本画册,2 本集邮册,此时赠送方法有 C4=6 种.故赠送方法共有 4+6=10 种. 答案:B
2

2.将 1,2,3,?,9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中,要求每一行从左到右,每一列 从上到下分别依次增大.当 3,4 固定在图中的位置时,填写空格的方法为( A.6 种 C.18 种 B.12 种 D.24 种 )

解析:因为每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大, 1,2,9 只有一种填法,5 只能填在右上角或左下角,5 填好后与之相邻的空格可填 6,7,8 任一个,余下两个数字按从 小到大只有一种方法.共有 2×3=6 种结果,故选 A. 答案:A 3.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2,且 a2>a3,则称这样的三位数为凸数(如 120,343,275 等),那么所有凸数的个数为________. 解析: 若 a2=2, 则“凸数”为 120 与 121, 共 1×2=2 个. 若 a2=3, 则“凸数”有 2×3 =6 个.若 a2=4,满足条件的“凸数”有 3×4=12 个,?,若 a2=9,满足条件的“凸数” 有 8×9=72 个.∴所有凸数有 2+6+12+20+30+42+56+72=240(个). 答案:240 4.

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编号为 A,B,C,D,E 的五个小球放在如图所示的五个盒子里,要求每个盒子只能放一 个小球,且 A 球不能放在 1,2 号,B 球必须放在与 A 球相邻的盒子中,求不同的放法有多少 种? 解:根据 A 球所在位置分三类: (1)若 A 球放在 3 号盒子内,则 B 球只能放在 4 号盒子内,余下的三个盒子放球 C、D、E, 则根据分步乘法计数原理得,3×2×1=6 种不同的放法; (2)若 A 球放在 5 号盒子内,则 B 球只能放在 4 号盒子内,余下的三个盒子放球 C、D、E, 则根据分步乘法计数原理得,3×2×1=6 种不同的放法; (3)若 A 球放在 4 号盒子内,则 B 球可以放在 2 号、3 号、5 号盒子中的任何一个,余下 的三个盒子放球 C、D、E 有 A3=6 种不同的放法,根据分步乘法计数原理得,3×3×2×1= 18 种不同方法. 综上所述,由分类加法计数原理得不同的放法共有 6+6+18=30 种.
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