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高三数学周测与答案-12.10教师版


第十三周周六考试 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x 3 ? x ? 7? , B ? ? x x 2 ? 7 x ? 10 ? 0? ,则 ? ( A ? B) ? U
A. ?? ?,3? ? ?5,??? 答案:D 2. sin 585? 的值为 A. B. ?? ?,3? ? ?5,??? C. ?? ?,3? ? ?5,??? D. ?? ?,

3? ? ?5,???

2 2

B. ?

2 2

C.

3 2

D. ?

3 2

【答案】B 【解析】 sin 585 ? sin 225 ? sin(180 ? 45 ) ? ? sin 45 ? ?
? ? ? ? ?

2 ,选 B. 2

3. 已知 a ? 0, a ? 1 ,函数 y ? loga x, y ? a x , y ? x ? a 在同一坐标系中的图象可能是

【答案】C 【解析】当 a ? 1 时,A,B,C,D 都不正确;当 0 ? a ? 1 时,C 正确,选 C.

4. 要完成下列两项调查:①从某社区 125 户高收入家庭、200 户中等收入家庭、95 户低收 入家庭中选出 100 户, 调查社会购买能力的某项指标; ②从某中学的 5 名艺术特长生中选出 3 名调查学习负担情况。宜采用的方法依次为 (A)①简单随机抽样,②系统抽样 (B)①分层抽样,②简单随机抽样

(C)①系统抽样, ②分层抽样 (D)①②都用分层抽样 、答案:B 解析:①中总体是由有明显差异的三部分组成,宜采取分层抽样的方法;②中总体的容量比 较小,宜采用简单随机抽样,选 B. 5. 在等差数列 ?an ? 中, a9 ? A.24 B.48 C.66

1 a12 ? 6 ,则数列 ?an ? 的前 11 项和 S11 等于 2

D.132

1

【答案】D 【 解 析 】 由 a9 ?

S11 ?

11(a1 ? a11 ) ? 11a6 ,所以 S11 ? 11a6 ? 132 ,选 D. 2

1 a 1 2? 6 得 2a9 ? a12 ? 12 , 即 a6 ? a 1 2? a 1 ? 12 , 所 以 a6 ? 12 . 又 2 2

6. . 在小语种提前招生考试中,某学校获得 5 个推荐名额,其中 俄语 2 名,日语 2 名,西班牙语 1 名。并且日语和俄语都要求必须有男生参加。学校通过选 拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象,则不同的推荐方法共有 (A)20 种 (B)22 种 (C)24 种 (D)36 种
3 2 2 2 2 解析:三个男生每个语种各推荐一人共有 A3 A2 ? C3 A2 A2 ? 24 (种).选 C.

7. .已知 an ? ( ) ,把数列 ?an ? 的各项排列成如下的三角形状,

1 3

n

10 ) 记 A(m, n) 表示第 m 行的第 n 个数,则 A( ,12 =
( A. ) 1 3
93

( B. )

1 3

92

C.( )

1 3

94

( D. )

1 3

112

【答案】A 【解析】前 9 行共有 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 17 ?

(1 ? 17) ? 9 ? 81 项,所以 A( ,12 为数列中的第 10 ) 2

1 81 ? 12 ? 93 项,所以 a93 ? ( )93 ,选 A. 3
8. 函数 f ? x ? ? cos ? x 与函数 g ? x ? ? log 2 x ? 1 的图像所有交点的横坐标之和为 A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B 【 解 析 】 将 两 个 函 数 同 时 向 左 平 移

1

个 单 位 , 得 到 函 数

y ? f ? x+1? ? cos ? x+1 =cos ? x+?) ? cos ? x , y ? g ? x ? 1? ? log 2 x ,则此时两个 ( ) ( =
新 函 数 均 为 偶 函 数 . 在 同 一 坐 标 系 下 分 别 作 出 函 数 y ? f ? x+1? ? ? cos ? x 和

2

y ? g ? x ? 1? ? log 2 x 的图象如图

, 由偶函数的性质

可知,四个交点关于原点对称,所以此时所有交点的横坐标之和为 0,所以函数

f ? x ? ? cos ? x 与函数 g ? x ? ? log 2 x ? 1 的图像所有交点的横坐标之和为 4,选 B.

9. 计算: ? x 2 ?
1

??

2

?

1? ? dx ? _____________. x?

【答案】

7 ? ln 2 3

【解析】 ? x 2 ?
1

??

2

?

1? 1 3 7 2 ? dx ?( x ? ln x) 1 ? ? ln 2 . x? 3 3

10. 设 (1 ? x)8 ? a0 ? a1x ? ?? a8 x8 , 则 a0, a1 ,?, a8 中奇数的个数为:
i 0 8 【解析】由题知 ai ? C8 (i ? 0,1,2,?8) ,逐个验证知 C8 ? C8 ? 1,其它为偶数,故填 2

11. 如果存在实数 x 使得不等式| x +1|-| x -2| ? k 成立,则实数 k 的取值范围是 答案: k ? ?3 。解析:设 f ( x ) =| x +1|-| x -2|,则 k ? f ( x ) min ? ?3 。



?x ? 0 ?y ? 0 ? 12 在约束条件 ? 下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围 x? y ? s ? ? y ? 2x ? 4 ?
是 .

答案:[7,8] .解:当 S ? 3 时,可行域是一个四边形,在点 P(1,2)处目标函数 z ? 3x ? 2 y

3

取最大值 7;当 S=5 时,可行域是一个三角形,在点 P(0,4)处目标函数 z ? 3x ? 2 y 取 最大值 8.所以当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是[7,8].

13. 已知函数 f (x) 的定义域[-1,5] ,部分对应值如表, f (x) 的导函数 y ? f ' ( x) 的图象 如图所示, x F(x) -1 1 0 2 2 1.5 4 2 5 1

下列关于函数 f (x) 的命题; ①函数 f (x) 的值域为[1,2] ; ②函数 f (x) 在[0,2]上是减函数; ③如果当 x ?[?1, t ] 时, f (x) 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x) ? a 最多有 4 个零点. 其中正确命题的序号是 【答案】①②④ .

【解析】由导数图象可知,当 ? 1 ? x ? 0 或 2 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ,函数单调递增,当

0 ? x ? 2 或 4 ? x ? 5 , f ' ( x) ? 0 ,函数单调递减,当 x ? 0 和 x ? 4 ,函数取得极大值

f (0) ? 2 , f (4) ? 2 ,当 x ? 2 时,函数取得极小值 f (2) ,,又 f (?1) ? f(5) ? ,所以函 1
数的最大值为 2,最小值为 1,值域为 [1, 2] ,①正确;②正确;因为在当 x ? 0 和 x ? 4 , 函数取得极大值 f (0) ? 2 , f (4) ? 2 ,要使当 x ? [?1, t ] 函数 f (x) 的最大值是 4,当

2 ? t ? 5 ,所以 t 的最大值为 5,所以③不正确;由 f ( x) ? a 知,因为极小值 f (2) ? 1.5 ,
极大值为 f (0) ? f (4) ? 2 ,所以当 1 ? a ? 2 时, y ? f ( x) ? a 最多有 4 个零点,所以④正 确,所以真命题的序号为①②④.

4

14、 (坐标系与参数方程选做题)已知在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为

? x ? 3 ? 3cos ? ? , (? 为参数) ,以 ox 为 极轴建立极坐标系,直 线 l 的极坐标方程 为 ? ? y ? 1 ? 3sin ? ?

? ? cos(? ? ) ? 0. 则圆 C 截直线 l 所得的弦长为
6
答案: 4 2



15. (几何证明选讲选做题)如图, PC 切圆 O 于点 C ,割线

C

PAB 经过圆 O ,弦 CD ?AB 于点 E ,已知圆 O 的半径为 3 , PA ? 2 ,则 PC ? ______
答案: 4 . B O
·

E D

A

P

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 x ? R , A ? 0 ,? ? 0, ? 象如图 3 所示. (1)求 A , ? , ? 的值; (2)已知在函数 f ( x ) 图象上的三点 M , N , P 的横坐标分别为 ?1, 1, 3 ,求 sin ?MNP 的值.

π π ? ? ? )的部分图 2 2

解: (1)由图可知, A ? 1 .

图3 ………1 分

f ( x) 的最小正周期 T ? 4 ? 2 ? 8,
所以由 T ?



?

? 8 ,得 ? ?

π . 4

………3 分

又 f ?1? ? sin ?

π π ?π ? ? ? ? ? 1 ,且 ? ? ? ? , 2 2 ?4 ?

5

所以

π π π ? ? ? ,解得 ? ? . 4 2 4

…………6 分

(2)因为 f ? ?1? ? 0, f ?1? ? 1, f ?3? ? 0 , 所以 M ? ?1, 0? , N ?1,1? , P ?3 , 0? .设 Q ?1,0 ? . 在等腰三角形 MNP 中,设 ?MNQ ? ? ,则 sin ? ? …………7 分

2 1 , cos ? ? , 5 5
……………12 分

所以 sin ?MNP ? sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ?

2 1 4 ? ? . 5 5 5

17. 近几年来,我国许多地区经常出现干旱现象,为抗旱经常要进行人工降雨。现由天气预 报得知,某地在未来 5 天的指定时间的降雨概率是:前 3 天均为 50%,后 2 天均为 80%,5 天内任何一天的该指定时间没有降雨, 则在当天实行人工降雨, 否则, 当天不实施人工降雨。 (1)求至少有 1 天需要人工降雨的概率; (2)求不需要人工降雨的天数 x 的分布列和期望。 解: (1)5 天全不需要人工降雨的概率是 P ? ( ) ( ) ? 1
3

4 2 2 ,…………2 分 5 25 92 46 23 ? ? 故至少有 1 天需要人工降雨的概率是 1 ? P ? …………4 分 1 100 50 25

1 2

(2)x 的取值是 0,1,2,3,4,5,由(1)知 4 天不需要人工降雨的概率是:

1 1 4 56 7 1 4 1 1 P( x ? 4) ? ( )3 C2 ? ? C3 ( )3 ( ) 2 ? ? …………5 分 2 5 5 2 5 200 25 1 4 1 1 73 1 1 1 1 4 P( x ? 3) ? C32 ( )3 ( ) 2 ? C3 ( )3 C2 ( )( ) ? ( )3 ( ) 2 ? …………6 分 2 5 2 5 5 2 5 200
2 天不需要人工降雨的概率是:

1 1 4 1 4 43 1 1 1 1 P( x ? 2) ? C32 ( )3 ( ) 2 ? C3 ( )3 C2 ( ) ? ( ) ? ( )3 ? ( ) 2 ? …………7 分 2 5 2 5 5 2 5 200 11 1 天不需要人工降雨的概率是: P ( x ? 1) ? …………8 分 200 1 3 1 2 1 0 天不需要人工降雨的概率是: P ( x ? 0) ? ( ) ( ) ? …………9 分 2 5 200
不需要人工降雨的天数 x 分布列是 x P 0 1 2 …………10 分 3 4 5

1 200

11 200

43 200

73 200

7 25

2 25

不需要人工降雨的天数 x 的期望是:

6

Fx ? 0 ?

1 11 43 73 7 2 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4 ? ? 5 ? ? 3.1 …………12 分 200 200 200 200 25 35

18. 已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, S 3 ? 21 a3 ? 12 , (1)求数列 ?an ? 的的通项公式; (2)求数列 ?nan ?的前 n 项和. 18.解:(1)设首项 a1 ,公比 q ,由已知 q ? 1 , :

? a1 (1 ? q 3 ) 2 ? 21 ? 解得q ? 2(q ? ? 舍去),a1 ? 3, an ? 3 ? 2n ?1 ? ? 1? q 6分 3 ? a q 2 ? 12 1 ?
(2)

nan ? 3n ? 2 n ?1 , 设其前n项和为Tn Tn ? 3(1 ? 2 0 ? 2 ? 21 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n ? 2 ? n ? 2 n ?1 ) 2Tn ? 3(1 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ) ? ?Tn ? 3(2 0 ? 21 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ) 1 ? 2n ? n ? 2n ) 1? 2 ? Tn ? 3 ? 3 ? 2 n ? 3n ? 2 n ? 3(
12 分

19. 如图,PC⊥平面 ABC,PM∥CB,∠ACB=120° ,PM=AC=1,BC=2,异面直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60° . P M (Ⅰ)求二面角 M-AC-B 大小的正切值; (Ⅱ)求三棱锥 P-MAC 的体积. 【解】方法一: (Ⅰ)取 BC 的中点 N,连结 MN. 由已知,PM // CN,则 MN // PC,所以 MN⊥平面 ABC. (1 分) 过点 N 作 NH⊥AC,交 AC 的延长线于 H,连结 MH, 由三垂线定理知,AC⊥MH. 所以∠MHN 为二面角 M-AC-B 的平面角. 分) 连结 AN,在△ACN 中,由余弦定理,得 AN ? C A (3 B

AC2 ? CN 2 ? 2 AC ? CN ? cos1200 ? 3 . AN ? 1. 由已知∠AMN=60° ,在 Rt△ANM 中, MN ? (6 P M tan 60?
分) 在 Rt△CHN 中, NH ? CN ? sin 60 ?
?

3 . 2
C
7

H N A B

(7

分)

MN 1 2 3 . ? ? NH 3 3 2 2 3 故二面角 M-AC-B 的正切值是 . 3
在 Rt△MNH 中, tan ?MHN ? 分) (Ⅱ)因为四边形 PCNM 为正方形,MN⊥平面 ABC,则

(8

1 1 3 VP ? MAC ? VA? PCM ? VA? MNC ? VM ? ACN ? ? AC ? CN ? sin1200 ? MN ? . 3 2 12
分) 方法二: (Ⅰ)在平面 ABC 内,过点 C 作 CB 的垂线, 按如图所示建立空间直角坐标系 C ? xyz . 分) 设点 P(0,0, z0 )( z0 ? 0) ,由已知可得,点 A( y P

(12

M

(1

3 1 , ? , 0) , 2 2
B C A x y

???? ? ??? ? 3 3 , , z0 ), CP ? (0, 0, z0 ) . M (0,1, z0 ) ,则 AM ? (? 2 2
因为直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60° ,则

???? ??? ???? ??? ? ? ? ? 1 AM ? CP ?| AM | ? | CP | cos600 ,即 z0 2 ? z0 2 ? 3 ? z0 .
2

???? ? ??? ? 3 1 解得 z0=1,从而 CM ? (0,1,1), CA ? ( , ? , 0) . 2 2
分)

(3

???? ? ? y1 ? z1 ? 0 ?n ? CM ? 0 ? ? 设平面 MAC 的一个法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 ? ??? ,即 ? 3 . ? 1 x1 ? y1 ? 0 ?n ? CA ? 0 ? ? ? 2 2 取 x1 ? 1 ,则 n ? (1, 3, ? 3) .

(5

分) 又 m = (0 , 0 , 1) 为 平 面 ABC 的 一 个 法 向 量 , 设 向 量 m 与 n 的 夹 角 为 θ , 则

m?n 3 . ?? | m | |n | 7 2 2 3 从而 sin ? ? , tan ? ? ? . 3 7 cos ? ?
分) 显然,二面角 M-AC-B 的平面角为锐角,故二面角 M-AC-B 的正切值是 分) (Ⅱ)因为 a=(1,0,0)为平面 PCM 的一个法向量, CA ? ( 点 A 到平面 PCM 的距离 h ? 分)

(7

2 3 . 3

(8

??? ?

??? ? CA ? a |a|

3 1 , ? , 0) ,则 2 2
(10

?

3 . 2

8

又 PC=PM=1, VP ? MAC ? VA? PCM ?? 则 分)

1 1 1 3 3 ? ? PC ? PM ? h ? ?1?1? ? . 3 2 6 2 12

(12

? a ?1 ? 20.各项均为正数的数列 ?an ? 中,前 n 项和 Sn ? ? n ? . ? 2 ?
2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若

1 1 1 ? ?? ? ? k 恒成立,求 k 的取值范围; a1a2 a2 a3 an an ?1

(3)对任意 m ? N * , 将数列 ?an ? 中落入区间 (2m , 22 m ) 内的项的个数记为 bm , 求数列 ?bm ? 的前 m 项和 Sm .

解:(1)? Sn ? ?

? an ? 1 ? ? an -1 ? 1 ? ? ,? Sn -1 ? ? ? ,n ? 2, ? 2 ? ? 2 ?
2 2 2 2

? a ? 1 ? ? an-1 ? 1 ? 两式相减得 an ? ? n ? ?? ? ,n ? 2, ? 2 ? ? 2 ?
整理得 ? an ? an-1 ?? an ? an-1 ? 2? ? 0 ,

………………2 分

? 数列 ?an ? 的各项均为正数,? an ? an-1 ? 2, n ? 2 ,

??an ? 是公差为 2 的等差数列,
又 S1 ? ?

………………4 分

? a1 ? 1 ? ? 得 a1 ? 1 ,? an ? 2n ? 1. ? 2 ?
2

………………5 分

(2)由题意得 k ? ?

? 1 1 1 ? ? ?? ? ? , an an ?1 ? max ? a1a2 a2 a3

?

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, an an?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1 1 1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ??? ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? a1a2 a2 a3 an an?1 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

?

9

1? 1 ? 1 ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2

………………8 分

?k ?
m

1 2
2m

………………10 分 ,则 2
m ?1

(3)对任意 m ? N ? , 2 ? 2n ? 1 ? 2

?

1 1 ? n ? 22 m?1 ? , 2 2
………………12 分

而 n ? N * ,由题意可知 bm ? 22m?1 ? 2m?1 ,

于是 Sm ? b1 ? b2 ? ?? bm ? 21 ? 23 ? ?? 22m?1 ? (20 ? 21 ? ?? 2m?1 )

?

2 ? 22 m?1 1 ? 2m 22 m?1 ? 2 22 m?1 ? 3 ? 2m ? 1 ? ? ? ? 2m ? 1? ? , 1 ? 22 1? 2 3 3 22 m?1 ? 3 ? 2m ? 1 . 3
………………16 分

即 Sm ?

21. 已知函数 f ( x) ?

px ? p ? ln x ( p ? 0) .

(1)若函数 f ( x ) 在定义域内为增函数,求实数 p 的取值范围; (2)当 n ? N 时,证明

2k ? 1 ? 2ln(n ? 1) k k ?1 n 1 ? (3)(理) 当 n ? 2 且 n ? N 时,证明: ? ? ln n . k ? 2 ln k
?

?

n

解: (1) p ? 0 ,函数 f ( x) ?

px ? p ? ln x 的定义域为 [1, ??) .

p 1 ? . 2 px ? p x p 1 4( x ? 1) ? 在 x ? (1, ??) 恒成立,? p ? 依题意, 在 x ? (1, ??) 恒成立. x2 2 px ? p x 4( x ? 1) 1 1 1 ? ? 4[?( ? ) 2 ? ] ? 1 ,? p ? 1 ,∴ p 的取值范围为 [1, ??) . …… (4 分) 2 x x 2 4 n 2k ? 1 * (2)当 n ? N 时, ? ? 2ln(n ? 1) . k k ?1 f ?( x) ?
证明:当 n ? N 时,欲证
*

?
k ?1

n

2k ? 1 ? 2ln(n ? 1) , k

2k ? 1 ? 2[ln(k ? 1) ? ln k ](k ? N * ) . k 由(Ⅰ)可知:取 p ? 1 ,则 f ( x) ? f (1) ( x ? 1) ,
只需证

而 f ?1? ? 0 ,? x ?1 ? ln x (当 x ? 1 时,等号成立). 用(

x ?1 2 x ?1 2 x ?1 2 ) 代换 x ,得 ( ) ? 1 ? ln( ) ( x ? 0) , x x x
10

2x ?1 2k ? 1 ? 2[ln( x ? 1) ? ln x]( x ? 0) ,∴ ? 2[ln(k ? 1) ? ln k ](k ? N * ) . x k n 2k ? 1 在上式中分别取 k ? 1, 2,3,?, n ,并将同向不等式相加,得 ? ? 2ln(n ? 1) . k k ?1


2k ? 1 ……………………………… (9 分) ? 2ln(n ? 1) . k k ?1 (3)由(Ⅱ)可知 x ? 1 ? ln x ( x ? 1 时,等号成立). 而当 x ? 2 时: x ?1 ? x ?1 ,∴ 当 x ? 2 时, x ? 1 ? ln x . 1 x ?1 设 g ( x) ? x ? 1 ? ln x, x ? (0, 2) ,则 g ?( x) ? 1 ? ? , x x ∴ g ( x) 在 (0,1) 上递减,在 (1, 2) 上递增, ∴ g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln x 在 x ? (0, 2) 时恒成立. 故当 x ? (0, ??) 时, x ? 1 ? ln x (当且仅当 x ? 1 时,等号成立). …… ① 用 x 代换 x ? 1 得: x ? ln(1 ? x) (当且仅当 x ? 0 时,等号成立). …… ② 1 1 * ? 当 k ? 2, k ? N 时,由①得 k ? 1 ? ln k ? 0 ,? . ln k k ? 1 1 1 1 ? ln(1 ? ). 当 k ? 2, k ? N * 时,由②得 k ? ln(1 ? k ) ,用 代换 k ,得 k ?1 k ?1 k ?1 1 1 1 ? ln(1 ? ) ,即 ? ln k ? ln(k ? 1) . ∴当 k ? 2, k ? N * 时, ln k k ?1 ln k n 1 在上式中分别取 k ? 2,3, 4,?, n ,并将同向不等式相加,得 ? ? ln n ? ln1 . k ? 2 ln k n 1 * 故当 n ? 2 且 n ? N 时, ? ………………………………………(14 分) ? ln n . k ? 2 ln k
∴当 n ? N * 时,

?

n

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11


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高三小题训练二教师版(1210 日) 一、选择题...在所申请学校开学前的 3 个月到 2 个星期内 ...答案:C 【A 项“……领导干部,是……工作态度”...

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