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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学必修四课时作业:2.1.5]


2. 1. 5

向量共线的条件与轴上向量坐标运算

课时目标 1 .掌握平行向量的基本定理并理解两个向量共线的条件及单位向量的含 义.2.掌握轴上向量的坐标公式、数轴上两点间的距离公式,并会运用两个公式解决实际问 题.

1.平行向量基本定理 (1)平行向量基本定理:如果 a=λb,则______;反之,如果 a∥b,

且________,则一定 存在唯一一个实数 λ,使 a=λb. (2)a 的单位向量:给定一个非零向量 a,与 a________且____________的向量,叫做向量 a 的单位向量.记作 a0,则 a=__________或 a0=________. 2.轴上向量的坐标 (1)规定了方向和长度单位的直线叫做____.当在轴上选一定点 O 作为原点时,轴就成了 数轴. (2)轴上向量的坐标:已知轴 l,取单位向量 e,使 e 的方向与轴 l 的方向相同,对轴上任 一向量 a,一定存在唯一实数 x,使 a=xe,单位向量 e 叫做轴 l 的基向量,x 叫做 a 在 l 上的 坐标(或数量). ①给定单位向量 e,能生成与它平行的所有向量的集合__________________; ②x 的绝对值等于________;当 a 与 e 同方向时,x 是________,当 a 与 e 反方向时,x 是______. 于是在一条轴上,实数与这条轴上的向量建立起一一对应关系,我们就可用数值来表示 向量. 3.轴上向量的坐标运算 (1)轴上两个向量相等的法则:轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等,即设 a=x1e, b=x2e,则 a=b?________. (2)轴上求两个向量和的法则: 轴上两个向量的和的坐标等于两个向量的坐标的和, 即设 a =x1e,b=x2e,则 a+b=____________________. → → (3)轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标,即在数轴 x 上,OA=x1e,OB= x2e,则 AB=________. (4)数轴上两点的距离公式:|AB|=________.

一、选择题 → → 1.设 O 为平行四边形 ABCD 的中心,AB=4e1,BC=6e2,则 2e1-3e2 等于( ) → → → → A.OA B.OB C.OC D.OD → → 2.点 C 是线段 AB 的中点,则有AB=λBC,那么 λ 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.-2 → → → 3.已知OB=me,AB=xe,则OA等于( ) A.(m+x)e B.(m-x)e C.(x-m)e D.无法确定 4.设 e1,e2 是两个不共线的向量,若向量 m=-e1+ke2 (k∈R)与向量 n=e2-2e1 共线, 则( ) 1 A.k=0 B.k=1 C.k=2 D.k= 2

→ → → 5. 已知向量 a、 b, 且AB=a+2b, BC=-5a+6b, CD=7a-2b, 则一定共线的三点是( ) A.B、C、D B.A、B、C C.A、B、D D.A、C、D → → → 6.四边形 ABCD 中,AB=a+2b,BC=-4a-b,BD=-5a-3b,其中 a,b 不共线,则 四边形 ABCD 是( ) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 二、填空题 → 7.已知数轴上 A,B 两点的坐标分别为 x1,x2,若 x2=3,且AB=-3,则 x1=________. → → → 8.已知 A、B、P 三点共线,O 为平面内任一点,若OP=λOA+2OB,则实数 λ 的值为 ________. 9.设 e1,e2 是两个不共线的向量,关于向量 a,b 有 ①a=2e,b=-2e;②a=e1-e2,b=-2e1+2e2; 2 1 ③a=4e1- e2,b=e1- e2;④a=e1+e2,b=2e1-2e2. 5 10 其中 a,b 共线的有________. → → → → → 10.如图所示,在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则MN= ____________.(用 a,b 表示)

三、解答题 → 1 → → 11. 已知任意平面四边形 ABCD 中, E、 F 分别是 AD、 BC 的中点. 求证: EF= (AB+DC). 2

12.已知非零向量 e1,e2 不共线. → → → (1)如果AB=e1+e2,BC=2e1+8e2,CD=3(e1-e2), 求证:A、B、D 三点共线; (2)欲使 ke1+e2 和 e1+ke2 共线,试确定实数 k 的值.

能力提升 S△AOB → → → 13.在△ABC 的内部有一点 O 满足OA+OC+3OB=0,求 的值. S△AOC

14.已知?ABCD 中 M 为 AB 的中点,N 在 BD 上,3BN=BD. 求证:M、N、C 三点共线.

1.向量平行与直线平行存在本质区别,利用向量平行可以处理共线和平行问题. 2.判断向量 a 与 b 是否共线的方法是:判断是否有且只 有一个实数 λ,使 b=λa(a≠0). → → 3.判断 A、B、C 三点是否共线的方法是:判断是否有且只有一个实数 λ,使AC=λAB.

2. 1. 5
知识梳理 1.(1)a∥b b≠0

向量共线的条件与轴上向量坐标运算
(2)同方向 长度等于 1 |a|a0 a |a|

答案

2.(1)轴 (2)①{xe|x∈R} ②a 的长 正数 负数 3.(1)x1=x2 (2)(x1+x2)e (3)x2-x1 (4)|x2-x1| 作业设计 1.B → → 2.D [∵向量AB与BC方向相反, → → 且|AB|=2|BC|.

→ → ∴AB=-2BC.从而 λ=-2.] 3.B 1 1 4.D [当 k= 时,m=-e1+ e2,n=-2e1+e2. 2 2 ∴n=2m,此时 m,n 共线.] → → → → 5.C [∵BD=BC+CD=2a+4b=2AB, ∴A、B、D 三点共线.] → → → 6.B [∵CD=BD-BC=-a-2b, → → → AD=AB+BD=-4a-b, → → ∴AD=BC,∴四边形 ABCD 是平行四边形.] 7.6 → 解析 AB=x2-x1=-3,∴x1=x2+3=6. 8.-1 9.①②③ 1 10. (b-a) 4 → → → → 解析 MN=MB+BA+AN 1 3→ 1 3 =- b-a+ AC=- b-a+ (a+b) 2 4 2 4 1 = (b-a). 4 11.证明

取以 A 为起点的向量,应用三角形法则求证. ∵E 为 AD 的中点, → 1→ ∴AE= AD. 2 ∵F 是 BC 的中点, → 1 → → ∴AF= (AB+AC). 2 → → → → 1 → → → 又AC=AD+DC,∴AF= (AB+AD+DC) 2 1 → → 1→ = (AB+DC)+ AD. 2 2 → → → 1 → → ∴EF=AF-AE= (AB+DC). 2 → 12.(1)证明 ∵AB=e1+e2, → → → → BD=BC+CD=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5AB. → → ∴AB,BD共线,且有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线. (2)解 ∵ke1+e2 与 e1+ke2 共线, ∴存在 λ,使 ke1+e2=λ(e1+ke2), 则(k-λ)e1=(λk-1)e2,

? ?k-λ=0, 由于 e1 与 e2 不共线,只能有? ∴k=± 1. ?λk-1=0, ? 13.

解 设 AC 的中点为 D, → → → 则OA+OC=2OD, → → ∴2OD+3OB=0, 2→ → 即OB=- OD, 3 S△AOB S△AOB 1 2 1 ∴ = = × = . S△AOC 2S△AOD 2 3 3 → → 14.证明 设AB=a,AD=b, → → → 则BD=BA+AD=-a+b, 1 1 → 1→ BN= BD=- a+ b, 3 3 3 1 → → → MB= a,BC=AD=b, 2 → → → 1 ∴MC=MB+BC= a+b, 2 → → → 1 1 1 1?1 MN=MB+BN= a- a+ b= ?2a+b? ?, 2 3 3 3 → 1→ → → ∴MN= MC,∴MN∥MC,又 M 为公共点. 3 ∴M、N、C 三点共线.


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