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浅谈四种数列递推公式求通项公式的方法


浅谈四种数列递推公式求通项公式的方法

摘要:本文是介绍数列通项公式的求法,数列的通项公式是研究数列性质的关键,对数列的单调性,数 列的最大项,最小项,数列的求和等都有重大作用,通过构造等比数列将四种数列的递推公式转化为等 比数列,先有等比数列的通项公式再求所求数列的通项公式。 关键词:等比数列 递推公式 通项公式 数列的递推公式是数列的一种表示方法, 它反映

的是数列相邻项之间的关系式, 如果要研究某个数 列的性质,我们就要确定其通项公式。本文就介绍了四种根据数列的递推公式求通项公式的方法。 一、 数列 {an } 中, 已知 a1 ? a, an ? pan?1 ?q ,?n ? 1, n ? N ? ? , p ? 1, q ? 0 , 求数列 {an } 的通项公式。 解析:可以设 an ? x ? p?an ?1 ? x ? ,化简得 an ? pan ?1 ? ? p ? 1?x 比较系数得到 ? p ? 1?x ? q, 即 x ?

q , p ?1

所以数列 {an } 满足: an ?

? q q ? ? ? p? an ?1 ? ? p ?1 p ?1? ? ?

即数列 {an ?

q q } 是以首项为 a ? ,公比为 p 的等比数列。 p ?1 p ?1

即 an ?

? q q ? n ?1 ?p ?? a? ? p ?1 ? p ?1? ? ? q ? q

n ?1 所以 an ? ? , ( n ? N ? , p ? 1, q ? 0 ) ? ? a ? p ?1? ?p p ?1 ? ?

【例 1】设数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? 3an ?1 ? 2, 通项公式。

?n ? 1, n ? N? ? ,求数列 {an } 的

解:根据 an ? 3an ?1 ? 2 可以得到 an ? 1 ? 3?an ?1 ? 1? 即数列 {an ? 1 }是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,公比为 3 的等比数列。 所以 an ? 1 ? 2 ? 3n ?1 即 an ? 2 ? 3n ?1 ? 1 二 、 数 列 {an } 中 , 已 知 a1 ? a , an ? pan ?1 ? qn ? r , ?n ? 1, n ? N ? ? ,

p ? 1, a ? 0, q ? 0, r ? R ,求数列 {an } 的通项公式。
解析:可以设 an ? xn ? y ? p[an ?1 ? x?n ? 1? ? y] ,可以得到

an ? pan ?1 ? ? px ? x?n ? px ? py ? y ,比较系数可得
px ? x ? q, py ? y ? px ? r , 解得 x ?

q ,y ? p ?1

pq r ? 2 p ?1 ? p ? 1?

即数列 {an ? xn ? y} 是以 a ? x ? y 为首项,公比为 p 的等比数列。 所以 an ? xn ? y ? ?a ? x ? y ? pn ?1 , 把上述解得的 x , y 带入下面 ? 1? 式 可得数列

{an } 的通项公式为: an ? ?a ? x ? y ? p n ?1 ? xn ? y , ?n ? 1, n ? N ? ? ?1?
【例 2】数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? 3an ?1 ? 2n ? 2 , ?n ? 1, n ? N ? ? ,求数列

{an } 的通项公式。
解:根据 an ? 3an ?1 ? 2n ? 2 ,可得 an ? n ? 即数列 {an ? n ? 所以 an ? n ?

5 5 ? 3[ an ?1 ? ?n ? 1? ? ] 2 2

5 9 5 ? } 是以首项为 1 ? 1 ? ,公比为 3 的等比数列。 2 2 2

5 9 1 5 ? ? 3n ?1 ,即 an ? ? 3n ? 1 ? n ? 2 2 2 2

三 、 数 列 {an } 中 , a1 ? a , an ? pan ?1 ? qn ? r ,

?n ? 1, n ? N? ? ,

p ? 1, a ? 0, q ? 0, p ? q ,求数列 {an } 的通项公式。
解析:可以设 an ? xqn ? y ? p an ?1 ? xqn ?1 ? y ,化简得

?

?

? p ? n an ? pan ?1 ? ? ? q x ? x? ?q ? ? p ? 1? y 比较系数可以得到, ? ?

p q r x ? x ? 1, ? p ? 1? y ? r ,解出 x ? ,y ? q p?q p ?1
即数列 {an ? xqn ? y}是以 a ? xq ? y 为首项,公比为 p 等比数列。 所以 an ? xqn ? y ? ?a ? xq ? y ? pn ?1 ,把上述解得的 x , y 带入下面 ?2 ? 式可得数列

{an } 的通项公式为 an ? ?a ? xq ? y ? pn ?1 ? xqn ? y , ?n ? 1, n ? N ? ? ?2 ?
【例 3】数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? 3an ?1 ? 2n ? 2 , ?n ? 1, n ? N ? ? ,求数列

{an } 的通项公式。

解:根据 an ? 3an ?1 ? 2n ? 2 可以得到 an ? 2 ? 2n ? 1 ? 3 an ?1 ? 2 ? 2n ?1 ? 1 即数列 {an ? 2 ? 2n ? 1 } 是以 1+4+1=6 为首项,公比为 3 的等比数列,所以

?

?

an ? 2 ? 2n ? 1 ? 6 ? 3n ?1 即 an ? 2 ? 3n ? 2n ?1 ? 1
四、数列 {an } 中, a1 ? a , a2 ? b , an ? pan ?1 ? qan ? 2 , ?n ? 2, n ? N ? ? 其中 p ? 0, q ? 0, p 2 ? 4q ? 0 ,求数列 {an } 的通项公式。 解析:可以设 an ? xan ?1 ? y?an ?1 ? xan ? 2 ?, ?3? 即 an ?

? y ? x?an ?1 ? xyan ? 2

比 较 系 数 可 以 得 到 , y ? x ? p, xy ? q 解 出 ,

x?

? p?

p 2 ? 4q p? , y ? 2 p 2 ? 4q p? , y ? 2

p 2 ? 4q , 2 p 2 ? 4q , 2

或x?

? p?

所以数列 {an ? xan ?1} 是以 b ? xa 为首项,公比为 y 的等比数列。 即 an ? xan ?1 ? ?b ? xa?y n ? 2 ①

同样我们将 ?3? 式写成 an ? yan ?1 ? ? x?an ?1 ? yan ? 2 ? 形式 所以数列 {an ? yan ?1} 是以 b ? ya 为首项,公比为 ? x 的等比数列。 即 an ? yan ?1 ? ?b ? ya??? x? 根据①②式可得数列 {an } 的通项公式为
n?2



an ?

?b ? xa? y n ?1 ? ?b ?
x? y

ya??? x ?

n ?1

?4 ?

把上述解得的 x , y 的一组值带入 ?4 ? 式就可以,因为另一组值带入的结果是一样的。 【例 4】 数列 {an } 满足 a1 ? 3, a2 ? 4 ,an ? 3an ?1 ? 2an ? 2 ,?n ? 2, n ? N ? ? , 求数列 {an } 的通项公式。 解:根据 an ? 3an ?1 ? 2an ? 2 可得, an ? an ?1 ? 2?an ?1 ? an ? 2 ? 所以数列 {an ? an ?1} 是以 4 ? 3 ? 1 为首项,公比为 2 的等比数列。

即 an ? an ?1 ? 1 ? 2n ? 2 ③ 同样根据 an ? 3an ?1 ? 2an ? 2 可得, an ? 2an ?1 ? ?an ?1 ? 2an ? 2 ? 所以数列 {an ? 2an ?1} 是以 4 ? 6 ? ?2 为首项,以 1 为公比的等比数列。 即 an ? 2an ?1 ? ?? 2? ? 1n ? 2 ? ?2 ④ 根据③④可以解出数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ?1 ? 2


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