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广东高考文科数学一轮复习 指对数运算及指对数函数 学生版


用孔子的教育思想来润泽每一个孩子

指对数运算及指对数函数
一.指数与指数函数
1. 根式的性质 n (1)( a)n=a. 2. 有理数指数幂 (1)幂的有关概念 an=a· a· …· a (n∈N*). 个
n

?a ?a≥0? ? n n (2)当 n 为奇数时 an=a. 当 n 为偶数时 an=? ? ?-a ?a<0?

a0=1(a≠0)

1 - .a p= p(a≠0,p∈N*). a

m n m 1 1 a = am(a>0,m、n∈N*,且 n>1).a- = = (a>0,m、n∈N*,且 n>1). n n m n a am n (2)有理数指数幂的性质 ①aras=ar s(a>0, r、 s∈Q); ②(ar)s=ars(a>0, r、 s∈Q); ③(ab)r=arbr(a>0, b>0, r∈Q).


(3)记忆方次: 2 ,3 ,4 ,5 , 15 3.指数函数的图像与性质 y=ax

n

n

n

n

n

a>1

0<a<1

图像

定义域 值域

(1)R (2)(0,+∞) (3)过定点(0,1) (4)当 x>0 时, y>1; x<0 时, 0<y<1 (5)当 x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1 (7)在(-∞,+∞)上是减 函数

性质

(6)在(-∞,+∞)上是增函数

注:1.做函数图像,注意三个点(0,1) , (1,a) , (-1,1/a) 2. y ? a 与y ? ( ) 图像关于 y轴对称
x x

1 a

3.指数图像,底数按逆时针方向变大(可以通过 x=1,y=a 来验证) 4.比较大小方法:1 同底(或互为倒数,化同底)利用指数函数的单调性 2 取中间值,常取 1

题型一 指数幂的运算
【例 1】计算
子润教育 电话:82097089 18925955199 1

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.? ?

1 7 0.5 ? 16 ? 0 0.75 ④ 23 a ? 46 a ? b ? (?3) b3 ? ? (0.027) 3 ? 3 125 ? (2 ) ? 3? ? 256 9 ? 81 ?

3 ? 4

【变式训练 1】 (1) (2 ) 2 ? (?9.6) ? (
0
? 1 3

1 4

1

8 3 3 ) ? ( ) ?2 =___________ 27 2

2

(2) (0.027)
2

1 ? (? ) ?2 ? 2560.75 ? ( 2 ? 1) 0 ? 3?1 =________ 6
1 1

1

(3)化简 (a 3 b 2 )(?3a 2 b 3 ) ? ( a 6 b 6 ) 的结果____________

1 3

1

5

题型二

指数函数的图像、性质的应用
1 2
0. 5

1.比较大小: ? ( ) , ( )

1 2

1.0

? 1.1 ,1.1

?

3.14

?2 ,( )

?3

1 2

2

④ ( ) ,3

1 2

0.5

0.5

⑤( )

1 2

0.7

1 , ( ) ?0.7 3

⑥ a2 ,a3

1

1

2.求下列函数的定义域与值域 ? y ?3
2 x ?1

( x ?[?1,1])

? y ?3

x ?2

1 ? y ? ( )x 2

1

④ y ? 4 ? 2 ? 3( x ?[?1,1])
x x

3.求解下列不等式
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?( )

1 2

5 x?2

1 ? ( ) 2 ?5 x 2

?( )

1 3

x2 ?2

?3

?1? ?? ? ?? ?

x 2 ?5 x

? ?? ?

6

④ (a 2 ? a ? 2) x ? (a 2 ? a ? 2)1? x

4.求下列函数的单调区间(参考复合函数的单调性判定) ? y ? 2? x
2

?3 x ? 2

?y?2

? x 2 ?3 x?2

?y?( )

1 2

x2 ? x

【自我检测】1 下列各式中成立的一项 A. ( C. 4
3


4 B. 12 ( ?3) ? 3 ? 3



n 7 ) ? n7m 7 m
3 3 4

1

x ? y ? ( x ? y)

D.

3

9 ?3 3


2.设指数函数

f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) ,则下列等式中不正确的是 (
? B. f(x ? y)
n n

A.f(x+y)=f(x)·f(y)
n

f ( x) f ( y)
n ?

C. f (nx) ? [ f ( x)] D. f ( xy) ? [ f ( x)] · (n ? Q) [ f ( y)] (n ? N ) 3.某种细菌在培养过程中,每 20 分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过 3 个小时,这种细菌 由 1 个可繁殖成( A.511 个 C.1 023 个
4.函数

) B.512 个 D.1 024 个 得单调递增区间是
子润教育 电话:82097089 18925955199

1 y?( ) 2

? x2 ? x?2




3

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A. [ ?1, ]

1 2

B. (??,?1] C. [2,??)

D. [ , 2 ]

1 2

A.a>b>c C.b>c>a

B.b>a>c D.c>b>a )

6.已知函数 f ( x) ? 2x ? 2 , 则函数 y ? f ( x) 的图象可能是(

7.当 a>0 且 a≠1 时,函数 f (x)=ax-2-3 必过定点 . 7 8.已知 f(x)= x+1,g(x)=2x,在同一坐标系中画出这两个函数的图象.f(x)<g(x)时 x 的取值 3 范围区间为_____________ 9.(1)k 为何值时,方程|3x-1|=k 无解?有一解?有两解? 1 (2)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x- |x|. 2 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 ②若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围.

二.对数运算及对数函数
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1. 对数的概念 如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫作以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其中__a__ 叫作对数的底数,__N__叫作真数. 2.常用对数: lg N ? log10 N 自然对数: ln N ? loge N (e ? 2.71828 ? ??)

3.对数运算性质:如果 a>0,且 a ? 1 ,M>0,N>0,那么 ? loga (M ? N ) ? loga M ? loga N ? log a ? log a M ? n log a M (n ? R) ?? log a m
n

M ? log a M ? log a N N n M n ? log a M (n ? R) m

④ loga b ?

1 logb a

loga b ?

logc a (换底公式,常取 lg或ln) ⑤ a loga N ? N logc b
a>1 0<a<1

3. 对数函数的图像与性质

图象

(1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R 性质 (3)过定点(1,0),即 x=1 时,y=0 (4)当 x> 1 时,y>0 当 0<x<1 时,y<0 (6)在(0,+∞)上是增函数 1.做函数图像,注意三个点(1,0) , (a,1) , 2. y ? loga x与y ? log1 x图像关于x轴对称
a

(5)当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0 (7)在(0,+∞)上是减函数

3.指数图像,底数按顺时针方向变大(可以通过 y=1,x=a 来验证) 4.比较大小方法:1 同底利用指数函数的单调性 2 同真图像法。 3 中间值,常取 0,即 loga 1 ? 0 4. 反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图像关于直线__y=x__对称.

题型一 对数的运算
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【例 1】1.求下列格式中的 x 值 ? log 64 x ? ?

2 3

? log x 27 ?

3 2

? ? ln e ? x
2

④ log 27

1 ?x 9

2.求下列各式的值 ? lg

x y z
2

log89 ? log23

? (log3 3 2 ) 2 ? 9 log5 5

1

④lg 25+lg 2· lg 50+(lg 2)2;

题型二 对数函数的性质
1.比较大小 ? log1 0.7, log1 0.5
2 2

? lg e, lg ?

? log2 0.3, log0.2 0.3

④ log3 5, log6 4

⑤ log0.7 6,0.76 ,60.7

2.解下列不等式 ? log2 ( x ? x) ? log2 x
2

? log0.2 ( x ?1) ? logo.2 ( x ? 3) ? log0.2 0,8

3.求下列函数的定义域 ? y ? lg( x ? 2) ?

1 x?3

? y ? log( x?1) (16 ? 4x)

4.求下列函数的值域
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? y ? log2 ( x 2 ? 4)

2 ? y ? log 1 (? x ? 2 x ? 3)
2

5.求下列函数的单调区间 ? y ? log2 (3x 2 ? 2 x ? 1) ?

y ? l n4 ( ? 3x ? x 2 )

log x,x>0, ? ? 2 【自我检测】1.设函数 f(x)=? 1 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围( log ?-x?,x<0, ? 2 ? A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) ( )

)

2. 函数 f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,则 a 的取值范围是 A.(1,+∞) B.(0,1) 1 0, ? C.? ? 3? D.(3,+∞)

3. 设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时,f(x)=ln x,则有 ( 1 1 A.f( )<f(2)<f( ) 3 2 1 1 B.f( )<f(2)<f( ) 2 3 1 1 C.f( )<f( )<f(2) 2 3 1 1 D.f(2)<f( )<f( ) 2 3

)

4.函数 f(x)= 1-2log6x的定义域为________. 1 5. 函数 f(x)=log (x2-2x-3)的单调递增区间是__________. 2
2 2 6.设函数 f(x)=logax (a>0,且 a≠1),若 f(x1x2…x2 015)=8,则 f(x2 1)+f(x2)+…+f(x2 015)=__.

7. 已知函数 f(x)=loga(8-2x) (a>0 且 a≠1). (1)若 f(2)=2,求 a 的值; (2)当 a>1 时,求函数 y=f(x)+f(-x)的最大值.

子润教育 电话:82097089

18925955199

7


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