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江西省南昌市十所省重点中学命制2015届高三第二次模拟突破冲刺(五)数学(文)试题


高三第二次模拟突破冲刺数学(文)试题(五)
高三文数备课组
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.集合 U = {1,2,3,4,5,6} , N = {1,4,5} , M= {2,3,4} ,则 N ∩( CU M )= ( A.{1 ,4 ,5} 2.已知复数 z ?

B.{4} C.{1 ,5} ) D. 1 ? i )

D.{ 1 ,2 ,3 ,4 ,5}

A. 1 ? i 3.下列有关命题的说法正确的是(

1? i (i 为虚数单位 ) ,则 z 的共轭复数是( 1? i B. i C. ? i
)

A.p 是 q 的必要不充分条件,则 ? p 是 ? q 的充分不必要条件 B.对于命题 p: ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p : ?x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 C.线性回归方程 y = bx + a 对应的直线一定经过其样本数据点(x (xn , yn) 中的一个 D.“ m ? ?1 ”是“直线 l1: mx ? (2m ? 1) y ? 1 ? 0 与直线 l2: 3x ? my ? 3 ? 0 垂直”的充要条件 4 .过点 M(1 ,2)的直线 l 与圆 C : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 25 交于 A、B 两点,C 为圆心,当∠ACB 最
2 2
?

1

, y1)、(x2 , y2)、?,

小时, 直线 l 的方程是( A.x-2y+3=0

) C.x-y+1=0 D.x+y-3=0

B.2x+y-4=0

5. 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 周 期 为 4 的 奇 函 数 , 当 x ? (0, 2] 时 , f ( x) ? 2 x ? log 2 x , 则

f (2015) ? (
A.-2

) B.

1 C.2 D. 5 2 ?x ? y ? 5 ? 0 ? 6. 已知点 M ( x, y ) 的坐标满足 ? x ? y ? 0 , N (1,?3) ,点 O 为坐标原点,则 ON ? OM 的最小值 ?x ? 3 ?
是( ) A. 12 B. -21 C. -6 D. 5 7.设 l , m, n 表示不同的直线, ? , ? , ? 表示不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ∥ l ,且 m ? ? ,则 l ? ? ; ②若 m ∥ l ,且 m ∥ ? ,则 l ∥ ? ;
第 1 页 共 10 页

③若 ? ∩ ? ? l , ? ∩ ? ? m, ? ∩ ? ? n ,则 l ∥ m ∥ n ; ④若 ? ∩ ? ? m, ? ∩ ? ? l , ? ∩ ? ? n ,且 n ∥ ? ,则 l ∥ m . 其中正确命题的个数是( A.1 ) C.3 ) D. 4

B.2

8. 某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为( A. 2+

1+ 5 ? 2 1+2 5 ? 2

B. 2+

C. 2+

2+ 5 ? 2

D. 2+ 1+ 5 ? 9.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是( A. 2016 B. ? 1 C. )

?

?

1 2

D. 2

10. 函数 y ?

2 x sin(

? 6 x) 2 的图象大致为( 4x ?1

?

)

11、坐标 平面上的点集 S 满足 S ? {( x, y ) | log 2 ( x 2 ? x ? 2) ? 2sin 4 y ? 2cos 4 y,y ? [所有点向 x 轴作投影,所得投影线段的长度为( )

? ? , ]} ,将点集 S 中的 8 4

A. 1
2

B. 2

C.

8 2 ?7

D.

3? 5 2

12.已知点 A 是抛物线 x ? 4 y 的对称轴与准线的交点, 点 B 为抛物线的焦点,P 在抛物线上且满足
第 2 页 共 10 页

PA ? m PB ,当 m 取最大值时,点 P 恰好在以 A, B 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为
( A. )

2 ?1 2

B. 2 ? 1

C.

5 ?1 2

D. 5 ? 1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题卡的相应位置. 13.向量 a,b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 , (a ? b) ? (2a ? b) ,则向量 a 与 b 的夹角为__________。 14.三棱柱 ABC - A1B1C1 各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,∠ACB = 120°,CA = CB = 2 3 ,

AA1= 4,则这个球的表面积为__________。
15. 在△ABC 中, 角 A, B, C, 所对的边分别为 a, b, c, 且C ? 则 b=________。
?x ? 1 ?3 ( x ? 0) 16.已知函数 f ( x) ? ? ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? b 有且仅有两个零点, 2 ? ? x ( x ? 0)

5 3 , 若 c ? a ? 5 ? 10 , ? ,sin A ? 5 4

则实数 b 的取值范围是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 等差数列 {a n } 中公差 d ? 0 , a1 ? 3 , a1 、 a 4 、 a13 成等比数列. (Ⅰ) 求 {a n } 的通项公式 ; (Ⅱ) 设 {a n } 的前 n 项和为 S n ,求:

1 1 ? ? S1 S 2

?

1 。 Sn

18. (本小题满分 12 分) 3 当空气污染指数(单位:μ g/m )为 0~50 时,空气质量级别为一级,空气质量状况属于优;当空 气污染指数为 50~100 时,空气质量级别为二级,空气质量状况属于良; 当空气污染指数为 100~150 时, 空气质量级别为三级,空气质量状况属于轻度污染;当空气污染指数为 150~200 时,空气质量级别为 四级,空气质量状况属于中度污染;当空气污染指数为 200~300 时,空气质量级别为五级,空气质量状 况属于重度污染;当空气污染指数为 300 以上时,空气质量级别为六级,空气质量状况属于严重污染. 某日某省 x 个监测点数据统计如下: 空气污染指数 3 (单位:μ g/m ) 监测点个数

?0,50?
15

? 50,100?
40

?100,150?
y

?150, 200?
10

第 3 页 共 10 页

(1) 根据所给统计表和频率分布直方图中 的信息求出 x,y 的值,并完成频率分 布直方图; (2)若 A 市共有 5 个监测点,其中有 3 个 监测点为轻度污染,2 个监测点为良. 从中任意选取 2 个监测点,事件 A“其 中至少有一个为良”发生的概率是多 少?

频率 组距

0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 50 100 150 200

空气污染指数 (μg/m )
3

19. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC , AC ? BC ? BB1 ? 2 , D 为 AB 的中点. (Ⅰ)求证: BC1 ∥平面 A1CD ; (Ⅱ) 求证: BC1 ? 平面 AB1C ; (Ⅲ)求三棱锥 D ? A1 AC 的体积.
A1 B1 C1 A D B C

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆
x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1、F2,点 A(2, 2 )在椭圆上,且 AF2 与 x 轴垂 a 2 b2

直。 (1)求椭圆的方程; (2)过 A 作直线与椭圆交于另外一点 B,求 Δ AOB 面积的最大值。 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? 2 x 2 ? ax ? b, g ? x ? ? e x ? cx ? d ? ,且函数 f ? x ? 的导函数为 f ?( x) , 3

若曲线 f ? x ? 和 g ? x ? 都过点 A(0,2) ,且在点 A 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 . (1)求 a, b, c, d 的值; (2)若 x ? ?2 时, m ? g ( x) ? f ?( x) ? 2 恒成立,求实数 m 的取值范围。

请考生在第 22,23 题中任选一题做答,做答时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4: 坐标系与参数方程
第 4 页 共 10 页

在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ? 轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的极坐标方程是 2? sin(? ?

? x ? 1 ? cos ? (?为参数) .以 O 为极点, x 轴的非负半 ? y ? sin ?

?
3

) ? 3 3 ,射线 OM : ? ?

?
3

与圆 C 的交点为 O、P,与直线

l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.
23. (本小题满分 10 分)选修 4-5: 不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 | 。 (1)解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若 ?x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 2m 2 ? 4m ,求实数 m 的取值范围。

第 5 页 共 10 页

参考答案

18. 解 : (1) 0.003 ? 50 ?
15 ? x ? 100 x 15 ? 40 ? y ? 10 ? 100 ? y ? 35 35 ? 0.007 100 ? 50
频率 组距

??2 分
10 ? 0.002 100 ? 50

40 ? 0.008 100 ? 50

0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 50 100 150 200

空气污染指数 ( ?g / m3 )

??5 分 (2)设 A 市空气质量状况属于轻度污染 3 个监测点为 1,2,3,空气质量状况属于良的 2 个监测点
第 6 页 共 10 页

为 4,5,从中任取 2 个的基本事件分别为 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共 10 种, ??8 分 其中事件 A“其中至少有一个为良”包含的 基本事件为 (1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共 7 种, ??10 分 所以事件 A“其中至少有一个为良”发生的概率是 P( A) ?
7 . 10

??12 分

19. 解: (Ⅰ)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,连结 AC1 交 A1C 于 G ,连结 DG . 因为 AC ? BC ? BB1 ? 2 , 所以四边形 A1C1CA 、 BCC1 B1 为正方形. 所以 G 为 AC1 中点. 在 ?ABC1 中,因为 D 为 AB 的中点, 所以 BC1 ∥ DG .

A D B G A1 B1

C

C1

因为 DG ? 平面 A1CD , BC1 ? 平面 A1CD , 所以 BC1 ∥平面 A1CD .

???4 分

(Ⅱ)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为直三棱柱,所以 CC1 ? 平面 ABC . 因为 AC ? 平面 ABC , 所以 CC1 ? AC . 又 AC ? BC , CC1 ? BC ? C , 所以 AC ? 平面 BCC1 B1 . 因为 BC1 ? 平面BCC1 B1 ,所以 BC1 ? AC . 因为 BB1C1C 是正方形,所以 BC1 ? B1C . 又 B1C ? AC ? C , 所以 BC1 ? 平面 AB1C . (Ⅲ)因为 ?ABC 为等腰直角三角形, 所以 S ?ACD ? ???8 分

1 1 AD ? CD ? ? 2 ? 2 ? 1 . 2 2

因为 AA1 ? 平面 ABC , 所以 VD ? A1 AC ? VA1 ? ADC ?

1 1 1 ? AA1 ? S ?ACD ? ? 2 ? 1 ? . 3 3 3
第 7 页 共 10 页

???12 分

20.解: (1)有已知:c = 2, 故椭圆方程为

b2 ? 2 ,∴ a ? 2 2 , b 2 ? 4 a
??4 分
1 ?2 2?2 ? 2 2 2

x2 y 2 ? ?1 8 4

(2)当 AB 斜率不存在时: S?AOB ?

??6 分
(k ? 2 ) 2

当 AB 斜率存在时:设其方程为: y ? 2 ? k ( x ? 2)
? y ? kx ? ( 2 ? 2k ) ? 由? 2 ,得 2 ? ? x ? 2 y =8

? 2k
2

2

? 1? x 2 ? 4

?
?

2 ? 2k kx ? 2

?

?

2 ? 2k

?

2

?8 ? 0

由已知: ? ? 16 即: k ? ?
2 2

?

2 ? 2k

?

k 2 ? 8 ? 2k 2 ? 1? ? ? ?

2 ? 2k

?

2

? 4 ? ? 8 2k ? 2 ? ?

?

?

2

?0

AB ? 1 ? k 2 ?

2 2 ? 2k ? 2 2k 2 ? 1
2 ? 2k 1? k2

??8 分

O 到直线 AB 的距离: d ?
∴ S?ABC ? ∵k ? ?

1 4 AB d ? 2 2 ? 2 2 2k ? 1

??10 分

2 ,∴ 2k 2 ? 1 ? 2 ,∴ 2k 2 ? 1 ? ?1, 2 ? 2

? 2, ?? ? ,∴ 2 ?

? ? ?2, 0 ? 2k ? 1 ?
2

4

? 0, 2 ?

此时 S?AOB ? (0, 2 2] 综上所求:当 AB 斜率不存在或斜率为零时,Δ AOB 面积取最大值为 2 2 21.解: (I)由已知得 f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 , 而 f ?( x) ? x ? 4 x ? a, g ?( x) ? e (cx ? d ? c )
2 x

??12 分

故 b ? 2, d ? 2, a ? 4, c ? 2
x 2 x

???????????4 分
x

(2)令 ? ( x) ? 2me ( x ? 1) ? x ? 4 x ? 2 ,则 ? ?( x) ? 2me ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 2( x ? 2)( me ? 1) 因 ? (0) ≥ 0 ,则 m ≥ 1 令 ? ?( x) ? 0 得 x1 ? ? ln m, x2 ? ?2 ① ????????????6 分

若 1≤m ? e 2 ,则 ?2 ? x1 ≤ 0 ,从而 x ? (?2, x1 ) 时 ? ?( x) ? 0 ;当 x ? ( x1 , ??) 时 ? ?( x) ? 0, 即

? ( x) 在 (?2, x1 ) 单调递减,在 ( x1 , ??) 单调递增,故 ? ( x) 在 [?2, ??) 的最小值 ? ( x1 )
第 8 页 共 10 页

? ( x1 ) ? 2me x ( x1 ? 1) ? x12 ? 4 x1 ? 4 ? 2 x1 ? 2 ? x12 ? 4 x1 ? 2 ? ? x12 ? 2 x1 ? ? x1 ( x1 ? 2) ≥ 0
1



当 x ≥ ?2 时 ? ( x) ≥ 0, 即 mg ( x) ≥ f ?( x) ? 2 恒成立。
2 x ?2

?????????8 分

② 若 m ? e2 , 则 ? ?( x) ? 2e ( x ? 2)(e ? e ) , 从而当 x ≥ ?2 时 ? ?( x) ≥ 0 , 即 ? ( x) 在 [?2, ??) 单 调递增,而 ? (?2) ? 0 ,故当 x ≥ ?2 时 ? ( x) ≥ 0, 即 mg ( x) ≥ f ?( x) ? 2 恒成立。 若 m ? e2 , 则 ? (?2) ? ?2me 不可能恒成立。 综上: m 的取值范围是 [1, e 2 ]
2 2 ?2

? 2 ? ?2e ?2 (m ? e 2 ) ? 0 ,从而当 x ≥ ?2 时,mg ( x) ≥ f ?( x) ? 2
??????????11 分 ??????????12 分.

22.解: (1)圆 C 的普通方程为 ( x ? 1) ? y ? 1 ,又 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 所以圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ???5 分
? ? ? 2 cos ? (2)设 P ( ?1 , ?1 ) ,则由 ? ? ? ?? ? 3 ?

解得 ?1 ? 1, ?1 ?

?
3

???7 分

? ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ? 设 Q ( ? 2 , ? 2 ) ,则由 ? 解得 ? 2 ? 3, ? 2 ? ? ? 3 ?? ? 3 ? 所以 | PQ |? 2

???9 分 ???10 分

23. 解: (1)当 x < -2 时, f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 1 ? 2 x ? x ? 2 ? ? x ? 3 , f ( x) ? 0 ,即 ? x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 3 ,又 x ? ?2 ,∴x ? ?2 ; 当 ?2 ? x ?
1 时, f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 1 ? 2 x ? x ? 2 ? ?3 x ? 1 , 2

1 1 1 f ( x) ? 0 ,即 ?3x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ? ,又 ?2 ? x ? ,∴?2 ? x ? ? ; 3 2 3

当x?

1 时, f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 3 , 2 1 ,∴x ? 3 . 2

f ( x) ? 0 ,即 x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 3 ,又 x ?

……3 分

1? ? 综上,不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? ??, ? ? 3? ?

(3, ??) .

……5 分

? ? ? x ? 3, x ? ?2 ? 1 ? (2) f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? ??3 x ? 1, ?2 ? x ? 2 ? 1 ? x ? 3, x ? ? ? 2

5 ?1? ∴ f ( x)min ? f ? ? ? ? . 2 2 ? ?
第 9 页 共 10 页

……8 分

5 ∵?x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 2m 2 ? 4m ,∴4m ? 2m 2 ? f ( x) min ? ? , 2

1 5 整理得: 4m 2 ? 8m ? 5 ? 0 ,解得: ? ? m ? , 2 2 1 5 因此 m 的取值范围是 (? , ) . 2 2
……10 分

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