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广西桂林中学2015届高三上学期12月月考数学试卷(理科)


广西桂林中学 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)满足条件 M∪{1}={1,2,3}的集合 M 的个数是() A.1 B. 2 C. 3 D.4 2. (5 分)已知复数 Z 满足(1+2i )Z=1+2i,则

Z 等于() A. B. C. D.
3

3. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)已知 x,y 满足

,则 2x﹣y 的最大值为()

A.1

B. 2

C. 3

D.4

5. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为()

A.2

B. 4 ,

C. 8

D.16

6. (5 分)已知△ ABC 中, A. 或 B.

,则 cosC 的值等于() C. D. 或

7. (5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则 f( 的值为()



A.

B. 0

C. 1

D.

8. (5 分)已知椭圆 () A. B.

的一个焦点与抛物线 y =8x 的焦点重合,则该椭圆的离心率是

2

C.
2

D.

9. (5 分)设动直线 x=m 与函数 f(x)=x ,g(x)=lnx 的图象分别于点 M、N,则|MN|的最 小值为()

A.

B.

C.1+ln2

D.ln2﹣1

10. (5 分)已知△ ABC 中,平面内一点 P 满足 A.3 B.

=

+

,若|

|=t| D.

|,则 t 的值为()

C. 2

11. (5 分) 设△ ABC 的三边长分别为 a、 b、 c, △ ABC 的面积为 S, 内切圆半径为 r, 则



类比这个结论可知:四面体 S﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径为 r, 四面体 S﹣ABC 的体积为 V,则 r=() A. C. B. D.

12. (5 分)直线 l 过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,且交抛物线于 A,B 两点,交其准线于 C 点,已知 A.2 B. ,则 p=() C. D.4

2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)将 5 名学生分到 A,B,C 三个宿舍,每个宿舍至少 1 人至多 2 人,其中学生甲不 到 A 宿舍的不同分法有种. 14. (5 分)已知 Sn=4﹣an﹣ (n∈N*) 则通项公式 an=.

15. (5 分)设

的展开式中 x 的系数为 a,二项式系数为 b,则 的值为.

3

16. (5 分)已知 G 为△ ABC 为重心,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 所对的边,若 a +b + c = ,则∠A=.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17. (10 分)已知等比数列{an}的各项均为正数,且 a2=4,a3+a4=24. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,求数列{an+bn}的前 n 项和 Tn.

18. (12 分)设函数



(Ⅰ)求 f(x)的最大值,并写出使 f(x)取最大值是 x 的集合; (Ⅱ)已知△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 的最小值. 19. (12 分) 如图, 在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, O 是 AC 的中点, A1O⊥平面 ABC, ∠BCA=90°, AA1=AC=BC. (Ⅰ)求证:A1B⊥AC1; (Ⅱ)求二面角 A﹣BB1﹣C 的余弦值. .求 a

20. (12 分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克) ,重量的分组区间为(490,495], (495,500],…, (510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示. (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量. (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布 列. (3)从流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率.

21. (12 分)已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,并且经过定点 P(

, ) .

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 A,B 为椭圆 E 的左右顶点,P 为直线 l:x=4 上的一动点(点 P 不在 x 轴上) ,连 AP 交椭圆于 C 点, 连 PB 并延长交椭圆于 D 点, 试问是否存在 λ, 使得 S△ ACD=λS△ BCD 成立, 若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由. 22. (12 分)已知函数 f(x)= ax +2x﹣lnx,其中 a<0. (Ⅰ)若函数 f(x)在定义域内单调递减,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a=﹣ 且关于 x 的方程 f(x)= x﹣b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数 b 的取值范围.
2

广西桂林中学 2015 届高三上学期 12 月月考数学试卷(理 科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)满足条件 M∪{1}={1,2,3}的集合 M 的个数是() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 先由 M∪{1}={1,2,3}可知集合 M 必含 2 和 3,是否含 1,不确定,则得出两种可 能集合,得出答案. 解答: 解:满足条件 M∪﹛1﹜=﹛1,2,3﹜的集合 M,M 必须包含元素 2,3, 所以不同的 M 集合,其中的区别就是否包含元素 1. 那么 M 可能的集合有{2,3}和{1,2,3}, 故选:B. 点评: 本题考查集合的并集运算,属于基础题目,较简单,掌握并集的定义即可. 2. (5 分)已知复数 Z 满足(1+2i )Z=1+2i,则 Z 等于() A. B. C. D.
3

考点: 专题: 分析: 解答:

复数代数形式的混合运算;复数相等的充要条件. 计算题. 3 先求出 2i 的值,然后等式两边同乘 1+2i,化简求出复数 Z 即可. 3 解: (1+2i )Z=1+2i, (1﹣2i)Z=1+2i 所以, (1+2i) (1﹣2i)Z=(1+2i) (1+2i) ,

5Z=﹣3+4i 所以 Z= 故选 B 点评: 本题是基础题,考查复数代数形式的混合运算,利用共轭复数化实数,是本题的关 键点,考查计算能力. 3. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由三视图可知该几何体,是过一正三棱柱的上底面一边作截面,截去的部分为三棱 锥,利用间接法求出其体积. 解答: 解:由三视图可知该几何体,是过一正三棱柱的上底面一边作截面,截去的部分为 三棱锥,而得到的几何体. 原正三棱锥的底面边长为 2,高为 2,体积 V1=Sh= 截去的三棱锥的高为 1,体积 V2= 故所求体积为 V=V1﹣V2= 故选 A. 点评: 本题考查三视图求几何体的体积,考查计算能力,空间想象能力,三视图复原几何 体是解题的关键 ×1= ×2=2 .

4. (5 分)已知 x,y 满足

,则 2x﹣y 的最大值为()

A.1

B. 2

C. 3

D.4

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,由图得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

令 z=2x﹣y,化为直线方程的斜截式 y=2x﹣z, 由图可知,当直线过点 C(1,0)时,zmax=2×1﹣0=2. 故选:B. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 5. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为()

A.2

B. 4

C. 8

D.16

考点: 循环结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 列出循环过程中 S 与 K 的数值,不满足判断框的条件即可结束循环. 解答: 解:第 1 次判断后 S=1,k=1, 第 2 次判断后 S=2,k=2, 第 3 次判断后 S=8,k=3, 第 4 次判断后 3<3,不满足判断框的条件,结束循环,输出结果:8.

故选 C. 点评: 本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力. 6. (5 分)已知△ ABC 中, A. 或 B.



,则 cosC 的值等于() C. D. 或

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 cosB 的值及 B 为三角形内角,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinB 的值, 由 sinB 大于 sinA,得到 A 为锐角,由 sinA 的值求出 cosA 的值,将 cosC 变形后利用两角和 与差的余弦函数公式化简,将各自的值代入计算即可求出值. 解答: 解:在△ ABC 中,sinA= ,cosB= ∴sinB= ∴A 为锐角或钝角, ∴cosA=± =± , + × = 或 . = > =sinA, ,

则 cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=± ×

故选 A 点评: 此题考查了两角和与差的余弦函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键.

7. (5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则 f( 的值为()



A.

B. 0

C. 1

D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用 y=Asin(ωx+φ)的部分图象可确定振幅 A 及周期 T,继而可求得 ω=2,利用曲 线经过( ,2) ,可求得 φ,从而可得函数解析式,继而可求 f( ﹣ = , )的值.

解答: 解:由图知,A=2, T=

∴T= 又

=π,解得 ω=2, ×2+φ=2kπ+ (k∈Z) ,

∴φ=2kπ+ ∴φ= ,

(k∈Z) ,0<φ<π,

∴f(x)=2sin(2x+ ∴f( )=2sin =

) , .

故选:D. 点评: 本题考查利用 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定解析式,φ 的确定是关键,考查识图 与运算能力,属于中档题.

8. (5 分)已知椭圆 () A. B.

的一个焦点与抛物线 y =8x 的焦点重合,则该椭圆的离心率是

2

C.

D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 首先求出抛物线的焦点坐标,由椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合得到椭圆是焦 2 2 2 点在 x 轴上的椭圆,且求得半焦距 c,然后利用 a =b +c 求出椭圆的半长轴,则离心率可求. 解答: 解:由抛物线 y =8x,得 2p=8,
2 2

,其焦点坐标为 F(2,0) .

因为椭圆

的一个焦点与抛物线 y =8x 的焦点重合,

所以椭圆

的右焦点为 F(2,0) .
2 2 2 2

则椭圆是焦点在 x 轴上的椭圆,由 a =b +c =2+2 =6,得 所以椭圆的离心率为 .



故选 D. 点评: 本题考查了椭圆的简单性质,涉及圆锥曲线离心率的求解问题,一定要找到关于 a, 2 2 2 c 的关系,隐含条件 a =b +c 的应用是解答该题的关键,此题是基础题. 9. (5 分)设动直线 x=m 与函数 f(x)=x ,g(x)=lnx 的图象分别于点 M、N,则|MN|的最 小值为()
2

A.

B.

C.1+ln2

D.ln2﹣1

考点: 两点间距离公式的应用. 专题: 综合题. 分析: 将两个函数作差,得到函数 y=f(x)﹣g(x) ,再求此函数的最小值,即可得到结论. 解答: 解:设函数 y=f(x)﹣g(x)=x ﹣lnx(x>0) , 求导数得 y′=2x﹣ = 令 y′<0,∵x>0,∴0<x< 令 y′>0,∵x>0,∴x> ∴x= (x>0) ∴函数在(0, )上为单调减函数,
2

∴函数在(

,+∞)上为单调增函数, ln =

时,函数取得唯一的极小值,即最小值为:

故所求|MN|的最小值即为函数 y 的最小值: 故选 A. 点评: 本题考查导数知识的运用,解题的关键是构造函数,确定函数的单调性,从而求出 函数的最值,属中档题. 10. (5 分)已知△ ABC 中,平面内一点 P 满足 A.3 B.

=

+

,若|

|=t| D.

|,则 t 的值为()

C. 2

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 在 CA 上取 CE=2EA,过点 E 作 EP∥BC 交 AB 于点 P,过点 P 作 PF∥AC 交 BC 于 点 F,可得 , ,可得点 P 满足 = + ,利用平行四边形法则即可

得出. 解答: 解:如图所示, 在 CA 上取 CE=2EA,过点 E 作 EP∥BC 交 AB 于点 P,过点 P 作 PF∥AC 交 BC 于点 F, 则 , = + , ,

∴点 P 满足 ∴ 满足| , |=2|

|,又|

|=t|

|,∴t=2.

故选:C.

点评: 本题考查了向量共线定理、平行四边形法则、平行线分线段成比例定理,属于中档 题. 11. (5 分) 设△ ABC 的三边长分别为 a、 b、 c, △ ABC 的面积为 S, 内切圆半径为 r, 则



类比这个结论可知:四面体 S﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径为 r, 四面体 S﹣ABC 的体积为 V,则 r=() A. C. B. D.

考点: 类比推理. 专题: 探究型. 分析: 根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线 类比 直线或平面, 由内切圆类比内切球, 由平面图形面积类比立体图形的体积, 结合求三角形的面积的方法类比 求四面体的体积即可. 解答: 解:设四面体的内切球的球心为 O, 则球心 O 到四个面的距离都是 R, 所以四面体的体积等于以 O 为顶点, 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和. 则四面体的体积为 ∴R= 故选 C.

点评: 类比推理是指依据两类数学对象的相似性,将已知的一类数学对象的性质类比迁移 到另一类数学对象上去.一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或者一致性.②用一类事 物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想) .

12. (5 分)直线 l 过抛物线 y =2px(p>0)的焦点,且交抛物线于 A,B 两点,交其准线于 C 点,已知 A.2 B. ,则 p=() C. D.4

2

考点: 专题: 分析: 解答: ∵

直线与圆锥曲线的关系. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 利用抛物线的定义、相似三角形的性质即可求出. 解:过 A,B 分别作准线的垂线交准线于 E,D. ,∴|AE|=4,|CB|=3|BF|,且|BF|=|BD|,

设|BF|=|BD|=a,则|BC|=3a, 根据三角形的相似性可得 ∴ ∴ 故选 C. . ,即 ,即 , ,解得 a=2,

点评: 熟练掌握抛物线的定义、相似三角形的性质是解题的关键. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)将 5 名学生分到 A,B,C 三个宿舍,每个宿舍至少 1 人至多 2 人,其中学生甲不 到 A 宿舍的不同分法有 60 种. 考点: 计数原理的应用. 专题: 应用题;二项式定理. 分析: 以甲单独住,合伙住进行分类,利用分类计数原理可得. 解答: 解:利用分类计数原理,第一类,甲一个人住在一个宿舍时有 第二类,当甲和另一个一起时有 =48 种, =12 种,

所以共有 12+48=60 种. 故答案为:60. 点评: 本题主要考查了分类计数原理,分类是要不重不漏,属于中档题. 14. (5 分)已知 Sn=4﹣an﹣ (n∈N*) 则通项公式 an= .

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知得 ﹣an﹣1﹣ ) , 由此得到{2
n﹣1

,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(4﹣an﹣

)﹣(4 .

an}是首项为 1, 公差为 1 的等差数列, 从而能求出 an= (n∈N ) ,
*

解答: 解:∵Sn=4﹣an﹣ ∴

,解得 a1=1, )﹣(4﹣an﹣1﹣ ) ,

当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(4﹣an﹣ ∴
1﹣1



又 2 a1=1, n﹣1 ∴{2 an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列, n﹣1 ∴2 an=n, ∴an= 故答案为: . .

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等差数列的 性质的合理运用. 15. (5 分)设 的展开式中 x 的系数为 a,二项式系数为 b,则 的值为 4.
3

考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: 在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 3,求出 r 的值,即可求得展开式中 x 的系数,再根据 x 的系数为 a,二项式系数为 b,求得 a、b 的值,可得 的值. 解答: 解: 的展开式的展开式通项公式为
3 3





,得 k=2,即 =15,则 ,

即系数为 a=60,

二项式系数为 b=

故答案为:4. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数, 二项式系数的性质,属于基础题. 16. (5 分)已知 G 为△ ABC 为重心,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 所对的边,若 a +b + c = ,则∠A= .

考点: 余弦定理;平面向量的基本定理及其意义. 专题: 解三角形. 分析: G 为△ ABC 为重心可得 = ,整理有(a﹣ 得解. 解答: 解:因为 G 为△ ABC 为重心,所以 又因为 a 所以(a﹣ 所以 a﹣ +b c) + c = ,所以:a c) +b ﹣ c( 所以, )= , , c) +(b﹣ c) ,代入已知可得 a = ,可求 a=b= +b ﹣ c( )

c,由余弦定理可求 cosA,从而

+(b﹣

= , c,

c=0,b﹣

c=0,所以,a=b=

所以,由余弦定理:cosA=

=

=



可得:A= 故答案为:

. .

点评: 本题主要考查了平面向量的基本定理及其意义,余弦定理的简单应用,属于基本知 识的考查. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤. 17. (10 分)已知等比数列{an}的各项均为正数,且 a2=4,a3+a4=24. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2an,求数列{an+bn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和.

专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设出公比,利用已知条件列出关系式,即可求解公比与首项,然后求数列{an} 的通项公式; (2)通过 bn=log2an,得到通项公式 bn,然后求解数列{an+bn}的前 n 项和 Tn. 解答: 解: (1)设等比数列的公比为 q,有 解得 a1=2,q=2,所以 (2)由(1)知 从而 ; (5 分) ,有 , . (10 分) ,

点评: 本题考查数列通项公式及其前 n 项和公式的求法,数列求和的方法拆项法的应用, 考查计算能力.

18. (12 分)设函数



(Ⅰ)求 f(x)的最大值,并写出使 f(x)取最大值是 x 的集合; (Ⅱ)已知△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 的最小值. 考点: 余弦定理;三角函数的化简求值;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)把函数解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值 化简,第二项利用二倍角的余弦函数公式化简,合并整理后,再利用两角和与差的余弦函数 公式化为一个角的余弦函数, 由余弦函数的值域得到余弦函数的最大值为 1, 可得出函数 f (x) 的最大值,并根据余弦函数的图象与性质得出此时 x 的范围,即可确定出使 f(x)取最大值 是 x 的集合; (Ⅱ)由 f(B+C)= ,将 B+C 代入第一问化简后的式子中,利用诱导公式化简后得到 cos (2A﹣ )的值,由 A 为三角形的内角,得出 2A﹣ 的范围,利用特殊角的三角函数值求
2 2 2

.求 a

出 A 的度数,进而确定出 cosA 的值,再利用余弦定理表示出 a =b +c ﹣2bccosC,利用完全 平方公式化简后,将 b+c 及 cosC 的值代入,并利用基本不等式求出 bc 的最大值,可得出 a 的最小值. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)=cos(2x﹣ =(cos2xcos = cos2x﹣ +sin2xsin )+2cos x
2

)+(1+cos2x) )+1, (3 分)

sin2x+1=cos(2x+

∵﹣1≤cos(2x+

)≤1,即 cos(2x+

)最大值为 1,

∴f(x)的最大值为 2, (4 分) 要使 f(x)取最大值,cos(2x+ 解得:x=kπ﹣ (k∈Z) , (k∈Z)}; (6 分) ]+1= ,即 cos(2π﹣2A+ )= , )=1,即 2x+ =2kπ(k∈Z) ,

则 x 的集合为{x|x=kπ﹣

(Ⅱ)由题意,f(B+C)=cos[2(B+C)+ 化简得:cos(2A﹣ )= , (8 分) ∈(﹣ , ) ,

∵A∈(0,π) ,∴2A﹣ 则有 2A﹣ = ,即 A=

, (10 分)

在△ ABC 中,b+c=2,cosA= , 由余弦定理,a =b +c ﹣2bccos 由 b+c=2 知:bc≤
2 2 2 2

=(b+c) ﹣3bc=4﹣3bc, (12 分)

2

=1,当且仅当 b=c=1 时取等号,

∴a ≥4﹣3=1, 则 a 取最小值 1. (14 分) 点评: 此题考查了余弦定理,三角函数的化简求值,余弦函数的图象与性质,基本不等式, 两角和与差的余弦函数公式,二倍角的余弦函数公式,特殊角的三角函数值,以及余弦函数的 定义域与值域,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 19. (12 分) 如图, 在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, O 是 AC 的中点, A1O⊥平面 ABC, ∠BCA=90°, AA1=AC=BC. (Ⅰ)求证:A1B⊥AC1; (Ⅱ)求二面角 A﹣BB1﹣C 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出 A1O⊥BC,从而得到 BC⊥平面 A1ACC1,进而得到 AC1⊥BC,再由 AA1=AC,得到 AC1⊥A1C,由此能证明 A1B⊥AC1. (Ⅱ)以 OC 为单位长度,建立空间直角坐标系 O﹣xyz,利用向量法能求出二面角 A﹣BB1 ﹣C 的余弦值. 解答: 解: (Ⅰ)因为 A1O⊥平面 ABC,所以 A1O⊥BC. 又 BC⊥AC,所以 BC⊥平面 A1ACC1, 所以 AC1⊥BC.…(2 分) 因为 AA1=AC,所以四边形 A1ACC1 是菱形, 所以 AC1⊥A1C. 所以 AC1⊥平面 A1BC, 所以 A1B⊥AC1.…(5 分) (Ⅱ)以 OC 为单位长度, 建立如图所示的空间直角坐标系 O﹣xyz, 则 A(0,﹣1,0) ,B(2,1,0) , C(0,1,0) ,C1(0,2, =(2,2,0) , ) . =(0,1, ) ,

设 =(x,y,z)是面 ABB1 的一个法向量, 则 ? 即 =0, ? =0, ,得 =( ,﹣ ,1) .

,取 x=

同理面 CBB1 的一个法向量为 =(0,﹣ 因为 cos< >= .

,1) .…(10 分)

所以二面角 A﹣BB1﹣C 的余弦值

.…(12 分)

点评: 本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要 认真审题,注意向量法的合理运用. 20. (12 分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克) ,重量的分组区间为(490,495], (495,500],…, (510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示. (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量. (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布 列. (3)从流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率.

考点: 频率分布直方图;组合及组合数公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)重量超过 505 克的产品结合频率分布直方图可知有两个部分,求出两矩形的面 积,根据重量超过 505 克的产品数量等于该频率乘以样本容量即可; (2)Y 的所有可能取值为 0,1,2,然后利用组合数分别求出它们的概率,列出分布列即可; (3)从流水线上任取 5 件产品,恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克,则有两件合格,有三 件不合格,利用组合数计算出概率即可.

解答: 解: (1)重量超过 505 克的产品数量是 40×(0.05×5+0.01×5)=12 件; (2)Y 的所有可能取值为 0,1,2; , Y 的分布列为 Y 0 P (3)从流水线上任取 5 件产品,重量超过 505 克的概率为 重量不超过 505 克的概为 1﹣ = ; ? . = , , ,

1

2

恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率为

点评: 本题主要考查了频率分布直方图,以及组合及组合数公式的应用,属于基础题.

21. (12 分)已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率 e=

,并且经过定点 P(

, ) .

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 A,B 为椭圆 E 的左右顶点,P 为直线 l:x=4 上的一动点(点 P 不在 x 轴上) ,连 AP 交椭圆于 C 点, 连 PB 并延长交椭圆于 D 点, 试问是否存在 λ, 使得 S△ ACD=λS△ BCD 成立, 若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出 且 ,由此能求出椭圆 E 的方程.

(Ⅱ)设 P(4,y0) ,直线 AP 的方程为:

,代入椭圆,得

.由此利用韦达定理结合已知条件能求出存在 λ=3, 使得 S△ ACD=λS△ BCD 成立. 解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆 E: + =1(a>b>0)的离心率 e= ,并且经过定点 P( ,

) ,
2 2 2





,又 c =a ﹣b

解得:a =4,b =1, ∴椭圆 E 的方程为 (1)

2

2

(Ⅱ)存在 λ=3,使得 S△ ACD=λS△ BCD 成立 设 P(4,y0) (y0≠0) ,又 A(﹣2,0) ,则

故直线 AP 的方程为:

,代入方程(1)并整理得: .

由韦达定理:





,∴



同理可解得: 故直线 CD 的方程为 y=kCD(x﹣xC)+yC, 即

,∴



,∴直线 CD 恒过定点 E(1,0) .





故 λ=3. 点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的实数是否存在的判断,解题时要认真审 题,注意函数与方程思想的合理运用.
2

22. (12 分)已知函数 f(x)= ax +2x﹣lnx,其中 a<0. (Ⅰ)若函数 f(x)在定义域内单调递减,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a=﹣ 且关于 x 的方程 f(x)= x﹣b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数 b 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;导数的综合应用. 2 分析: (Ⅰ)求出导数,依题意 f′(x)≤0 在 x>0 时恒成立,即 ax +2x﹣1≤0 在 x>0 恒成 立,对 a 讨论,则有 a<0,判别式不小于 0,即可;

(Ⅱ)由题意设 g(x)= x ﹣ x+lnx﹣b,求得导数,列表表示 g(x)和 g′(x)的关系,得 到极小值和极大值, 又方程 g(x)=0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.则令 g(1)≥0,g(2)<0,g(4)≥0, 解出它们即可. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)的定义域是(0,+∞) ,求导得 f′(x)=ax+2﹣ = >0) , 2 依题意 f′(x)≤0 在 x>0 时恒成立,即 ax +2x﹣1≤0 在 x>0 恒成立. 因为 a<0,所以二次函数开口向下,对称轴 x=﹣ >0, 问题转化为△ =4+4a≤0, 所以 a≤﹣1,所以 a 的取值范围是(﹣∞,﹣1]; (Ⅱ)由题意﹣ x +2x﹣lnx= x﹣b,即 x ﹣ x+lnx﹣b=0, 设 g(x)= x ﹣ x+lnx﹣b,则 g′(x)= x (0,1)1 (1,2)2 (2,4) g′(x)+ 0 ﹣ 0 + g(x) ↑ 极大值↓ 极小值↑ ∴g(x)极大值=g(1)=﹣b﹣ ,g(x)极小值=g(2)=ln2﹣b﹣2,又 g(4)=2ln2﹣b﹣2 又方程 g(x)=0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.
2 2 2

2

(x

列表:



,得 ln2﹣2<b

(注意﹣ <﹣1<2ln2﹣2) ) .

点评: 本题考查导数的运用:求单调性,求极值,考查函数方程的数学转换,考查运算能 力,属于中档题.


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