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中职数学基础知识汇总


职 教 单 招 数 学 总 复 习

中职数学基础知识汇总
预备知识:
1.完全平方和(差)公式: (a+b) =a +2ab+b 2.平方差公式: 3.立方和(差)公式: 1. 2. 3. 4.
2 2 2

(a-b)2=a2-2ab+b2 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

第一章

集合

构成集合的元素必须满足三要素:确定性、互异性、无序性。 集合的三种表示方法:列举法、描述法、图像法(文氏图) 。 常用数集:N(自然数集) 、Z(整数集) 、Q(有理数集) 、R(实数集) +(正整数集) 、N 元素与集合、集合与集合之间的关系: 元素与集合是“ ? ”与“ ? ”的关系。 集合与集合是“ ? ” “ ” = ” / ”的关系。 “ “?

(1) (2)

注: (1)空集是任何集合的子集,任何非空集合的真子集。 (做题时多考虑Ф 是否满足题意) (2)一个集合含有 n 个元素,则它的子集有 2n 个,真子集有 2n-1 个,非空真子集有 2n-2 个。 5. 集合的基本运算(用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法)

(1) A ? B

= {x | x 挝A且x = {x | x 挝A或x

B} : A 与 B 的公共元素组成的集合
。 B} : A 与 B 的所有元素组成的集合(相同元素只写一次)

(2) A ? B

(3) CU A : U 中元素去掉

A 中元素剩下的元素组成的集合。

注: CU (A ? B ) ? CU A ? CU B 6. 7.

CU ( A ? B ) = C U A ? C U B

会用文氏图表示相应的集合,会将相应的集合画在文氏图上。 充分必要条件: p 是 q 的??条件 p 是条件, q 是结论

如果 p ? q,那么 p 是 q 的充分条件;q 是 p 的必要条件. 如果 p ? q,那么 p 是 q 的充要条件

第二章
1. 不等式的基本性质: (略)

不等式

注: (1)比较两个实数的大小一般用比较差的方法;另外还可以用平方法、倒数法。 (2)不等式两边同时乘以负数要变号! ! (3)同向的不等式可以相加(不能相减) ,同正的同向不等式可以相乘。 2. 重要的不等式:
2 2

(1) a ? b ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时,等号成立。 (2) a ? b ? 2 注: 3. 4. (3) ab(a, b ? R ? ) ,当且仅当 a ? b 时,等号成立。

a?b (算术平均数) ? ab (几何平均数) 2

一元一次不等式的解法(略) 一元二次不等式的解法 保证二次项系数为正 分解因式(十字相乘法、提取公因式、求根公式法) ,目的是求根:
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(1) (2)

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(3) 5.

定解: (口诀)大于取两边,小于取中间。

绝对值不等式的解法

若 a ? 0 ,则 ?

? | x |? a ? ?a ? x ? a ?| x |? a ? x ? a或x ? ?a
第三章 函数

分式不等式的解法:与二次不等式的解法相同。注:分母不能为 0. 1. 函数 (1)定义:设 A、B 是两个非空数集,如果按照某种对应法则 f ,对 A 内任一个元素 x,在 B 中总有一个且只

有一个值 y 与它对应,则称 f 是集合 A 到 B 的函数,可记为: f :A→B,或 f :x→y.其中 A 叫做函数 f 的定义域.函 数 f 在 x ? a 的函数值,记作 f (a ) ,函数值的全体构成的集合 C(C? B),叫做函数的值域.
(2)函数的表示方法:列表法、图像法、解析法。 注:在解函数题时可以画出图像,运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。 2. 函数的三要素:定义域、值域、对应法则 定义域的求法:使函数(的解析式)有意义的 x 的取值范围 主要依据:?分母不能为 0,?偶次根式的被开方式 ? 0, ?特殊函数定义域: (1)

y ? x0 , x ? 0

y ? a x , (a ? 0且a ? 1), x ? R

y ? loga x, (a ? 0且a ? 1), x ? 0
(2) ① ② ③ ④ (3) 3. (1) 值域的求法:

y 的取值范围

正比例函数: y ? kx 和 一次函数: y ? kx ? b 的值域为 R 二次函数:

y ? ax2 ? bx ? c 的值域求法:配方法。如果 x 的取值范围不是 R 则还需画图像
1 的值域为 { y | y ? 0} x

反比例函数: y ?

另求值域的方法:换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。 解析式求法:在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。 平移

函数图像的变换

y ? f ( x)

向左平移 ? y ? f ( x ? a) a个单位

y ? f ( x)

向右平移 ? y ? f ( x ? a) a个单位

y ? f ( x)
(2) 翻折

向上平移 ? y ? f ( x) ? a a个单位

y ? f ( x)

向下平移 ? y ? f ( x) ? a a个单位

y ? f ( x)

沿x轴 ? y ? ? f ( x) 上、下对折

y ? f ( x)
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保留x轴 上 方 图 像 ? y ?| f ( x) | 下方翻折到上方
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4.

函数的奇偶性 定义域关于原点对称 若 f ( ? x) ? ? f ( x)

(1) (2)

?奇

若 f ( ? x) ? f ( x)

?偶

注:①若奇函数在 x ? 0 处有意义,则 f (0) ? 0 ②常值函数 f ( x) ? a ( a ? 0 )为偶函数 ③ f ( x) ? 0 既是奇函数又是偶函数 5. 函数的单调性

对于 ?x1、x2

? f ( x1 ) ? f ( x 2 ), 称f ( x)在[a, b]上为增函数 ? [a, b] 且 x1 ? x 2 ,若 ? ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ), 称f ( x)在[a, b]上为减函数

增函数: x 值越大,函数值越大; x 值越小,函数值越小。 减函数: x 值越大,函数值反而越小; x 值越小,函数值反而越大。 6. 二次函数 (1)二次函数的三种解析式 ①一般式: ②顶点式: ③两根式: (2)图像与性质 二次函数的图像是一条抛物线,有如下特征与性质: ① 开口

f ( x) ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 ) f ( x) ? a( x ? k ) 2 ? h
(a ? 0) ,其中 ( k , h) 为顶点 (a ? 0) ,其中 x1、x2 是 f ( x) ? 0 的两根

f ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 )

a ? 0 ? 开口向上

a ? 0 ? 开口向下

b ② 对称轴: x ? ? 2a

b 4ac ? b 2 , ) 顶点坐标: (? 2a 4a

?? ? 0 ? 有两交点 ? ③ ? 与 x 轴的交点: ? ? ? 0 ? 有1交点 ? ? ? 0 ? 无交点 ?
2 ⑤ f ( x) ? ax ? bx ? c 为偶函数的充要条件为 b ? 0

b ? ? x1 ? x 2 ? ? a ④ 根与系数的关系: (韦达定理) ? c ? x1 ? x 2 ? a ?

⑥ 二次函数(二次函数恒大(小)于 0)

?a ? 0 f (x) ? 0 ? ? ? 图像位于x轴上方 ?? ? 0

?a ? 0 f ( x) ? 0 ? ? ? 图像位于x轴下方 ?? ? 0

⑦ 若二次函数对任意 x 都有 f (t ? x) ? f (t ? x) ,则其对称轴是 x ? t 。

第四章
1. 指数幂的性质与运算

指数函数与对数函数
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(1)根式的性质: ① n 为任意正整数, (n

a) n ? a

②当 n 为奇数时,

n

a n ? a ;当 n 为偶数时, n a n ?| a |

③零的任何正整数次方根为零;负数没有偶次方根。 (2) 零次幂: a ? 1
0

(a ? 0)
?n

(3)

负数指数幂: a

?

1 an

(a ? 0, n ? N * ) (a ? 0, m, n ? N ? 且n ? 1)

(4) (5)

分数指数幂: a

m n

? n am

实数指数幂的运算法则: (a ? 0, m, n ? R)
m n m? n

①a ?a ? a

② (a

m n

) ? a mn

③ (a ? b)

n

? an ? bn

2. 幂运算时,注意将小数指数、根式都统一化为分数指数;一般将每个数都化为最小的一个数的 n 次方。

?当a ? 0时, y ? x a 在(0, ?)上单调递增 ? y ? xa ? 3. 幂函数 a ? ?当a ? 0时, y ? x 在(0, ?)上单调递减
4. 指数与对数的互化: a
b

? N ? loga N ? b
a ?1

(a ? 0且a ? 1) 、 ( N ? 0)
③a
log a N

5. 对数基本性质: ① loga ⑤ loga b与logb ⑥ log a m b ?
n

② loga 1 ? 0

?N

④ loga

aN ? N

a互为倒数 ? loga b ? logb a ? 1 ? loga b ?

1 logb a

n log a b m

6.

对数的基本运算:

loga (M ? N ) ? loga M ? loga N
7. 8. 换底公式: loga

log a

M ? log a M ? log a N N

N?

logb N logb a

(b ? 0且b ? 1)

指数函数、对数函数的图像和性质 指数函数 定 义 对数函数

y ? a x (a ? 0, a ? 1 的常数)

y ? loga x(a ? 0, a ? 1 的常数)

图 像

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(1) x ? R, y ? 0 性 质 (3) (2) 图像经过 (0,1) 点

(1) x ? 0, y ? R (2) 图像经过 (1,0) 点

a ? 1, y ? a x在R上为增函数; 0 ? a ? 1, y ? a x在R上为减函数。

(3)

a ? 1, y ? loga x在(0,??)上为增函数;

0 ? a ? 1, y ? loga x在(0,??)上为减函数

9.

利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小,将其变为同底、同幂(次)或用换底公式或是利用 中间值 0,1 来过渡。

10. 指数方程和对数方程:?指数式和对数式互化 ?同底法 ?换元法 ④ 取对数法 注:解完方程要记得验证根是否是增根,是否失根。

第五章
等差数列 每一项与前一项之差为同一个常数 定 义 注:当公差 d ? 0 时,数列为常数列 通项 公式 推 论

数列
等比数列 每一项与前一项之比为同一个常数

a 2 ? a1 ? a3 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? d

a a 2 a3 ? ? ? ? n ? q (q ? 0) a1 a2 an?1
注:等比数列各项及公比均不能为 0; 当公比为 1 时,数列为常数列

an ? a1 ? (n ? 1)d
(1) d ?

an ? a1q n?1
(1) q
n?m

an ? am n?m

?

an am

(2) an

? am ? (n ? m)d

(2) an

? am q n?m ? a p aq

(3)若 m ? n ? p ? q ,则 am 中项 公式 前

? an ? a p ? aq

(3)若 m ? n ? p ? q ,则 am an

三个数 a、b、c 成等差数列,则有

三个数 a、b、c 成等比数列,则有

a?c 2b ? a ? c ? b ? 2

b 2 ? ac

n
Sn ?

项和 公式 1.

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

Sn ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ( q ? 1) ? 1? q 1? q

已知前 n 项和 S n 的解析式,求通项 an

( n ? 1) ? S1 an ? ? ?S n ? S n?1 ( n ? 2)
2. 1. 弄懂等差、等比数通项公式和前 n 项和公式的证明方法。 (见教材)

第六章
弧度和角度的互换

三角函数
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180o ? ? 弧度
2.

1o ?

?
180

弧度 ? 0.01745 弧度

1弧度 ? (

180

?

) o ? 57 o18'

扇形弧长公式和面积公式

L扇 ?| ? | ?r
3.

S扇 ?

1 1 1 Lr ? | ? | ?r 2 (记忆法:与 S ?ABC ? ah 类似) 2 2 2

任意三角函数的定义:

sin ? ?
4.

对边 y = 斜边 r

cos? ?

邻边 x = 斜边 r

tan? ?

对边 y = 邻边 x

特殊三角函数值

?
sin ?

0 ? 00

?
6

? 30 0

?
4

? 45 0

?
3

? 60 0

?
2

? 90 0

0 2 4 2
0

1 2 3 2 3 3

2 2 2 2

3 2 1 2

4 2 0 2
不存在

cos?

tan?
5.

1

3

三角函数的符号判定 口诀:一全二正弦,三切四余弦。 (三角函数中为正的,其余的为负) 图像记忆法 三角函数基本公式

(1) (2) 6.

tan ? ?

sin ? cos ?

(可用于化简、证明等) (可用于已知 sin ? 求 cos? ;或者反过来运用)

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
7.

诱导公式:口诀:奇变偶不变,符号看象限。 解释:指 k ?

?
2

? ? ( k ? Z ) ,若 k 为奇数,则函数名要改变,若 k 为偶数函数名不变。

7.

已知三角函数值求角 ? :

(1) 确定角 ? 所在的象限; (2) 求出函数值的绝对值对应的锐角 ? ' ; (3) 写出满足条件的 0 ~ 2? 的角; (4) 加上周期(同 终边的角的集合) 8. 和角、倍角公式 注意正负号相同 注意正负号相反 ⑴ 和角公式: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

tan( ? ? ) ? ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

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⑵ 二倍角公式:

s i n ? ? 2s i n c o s 2 ? ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?

tan 2? ?
⑶ 半角公式:

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

sin ?? 2

?

1? c o ? s 2

cos

?
2

??

1 ? cos? 2

9. 三角函数的图像与性质 性 定义域 值域 同期 质 奇偶性 单调性

函数

图像

y ? sin x

x?R

[?1,1]

T ? 2?



]? 2 ? 3? [2k? ? ,2k? ? ] ? 2 2 2

[ 2k? ?

?

,2k? ?

?

y ? cos x

x?R

[?1,1]

T ? 2?

[2k? ? ? ,2k? ] ?


[2k? ,2k? ? ? ] ?

9.

正弦型函数 y ? A sin(?x ? ? )

( A ? 0, ? ? 0)

(1)定义域 R ,值域 [ ? A, A] (2)周期: T ?

2?

?
? a 2 ? b 2 sin(x ? ? )

(3)注意平移的问题:一要注意函数名称是否相同,二要注意将 x 的系数提出来,再看是怎样平移的。 (4) y ? a sin x ? b cos x 10. 正弦定理

a b c ? ? ? 2R ( R 为 ?ABC 的外接圆半径) sin A sin B sin C b ? 2R s i n B c ? 2 R s i n (注意理解记忆,可只记一个) C 其他形式: (1) a ? 2 R sin A (2) a : b : c ? sin A : sin B : sin C
11. 余弦定理

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
12. 三角形面积公式

?

cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

(注意理解记忆,可只记一个)

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S ?ABC

1 1 1 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

(注意理解记忆,可只记一个)

13. 海伦公式: S ?ABC

? P(P ? a)(P ? b)(P ? c) (其中 P 为 ?ABC 的半周长, P ?
第七章 平面向量

a?b?c ) 2

1.

向量的概念 定义:既有大小又有方向的量。 向量的表示:书写时一定要加箭头!另起点为 A,终点为 B 的向量表示为 AB 。 向量的模(长度) | :

(1) (2) (3) (4)

AB | 或| a |

零向量:长度为 0,方向任意。 单位向量:长度为 1 的向量。 向量相等:大小相等,方向相同的两个向量。 反(负)向量:大小相等,方向相反的两个向量。

2.

向量的运算 图形法则

(1)

三角形法则 (2)计算法则 加法: AB ? BC ?

平形四边形法则

AC

减法: AB ? AC ? CA 注:乘法(内积)不具有结合律 (2)方向: ? 为正与 a 相同; ? 为负与 a 相反。

(3)运算律:加法交换律、结合律 3. 4. 5.

数乘向量: ? a (1)模为: | ? || a |

AB 的坐标:终点 B 的坐标减去起点 A 的坐标。 AB ? ( xB ? x A , y B ? y A )
向量共线(平行) ? 唯一实数 ? ,使得 a :

? ?b 。

(可证平行、三点共线问题等)

6. 平面向量分解定理:如果 e1 , e2 是同一平面上的两个不共线的向量,那么对该平面上的任一向量 a ,都存在唯一的
一对实数 x1 , x2 ,使得 a ? 7. 8.

x1 e1 ? x2 e2 。

注意 ?ABC 中,重心(三条中线交点)、外心(外接圆圆心:三边垂直平分线交点) 、内心(内切圆圆心:三角平分 线交点) 、垂心(三高线的交点) 向量的内积(数量积) 向量之间的夹角:图像上起点在同一位置;范围 [0, ? ] 。 内积公式: a ? b ?| a || b | cos ? a, b ?
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(1) (2)

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9.

向量内积的性质:

(1) cos ? a, b ??

a ?b | a || b |

(夹角公式)

(2) a ⊥ b

? a?b ? 0

(3) a ? a ?| a | 或 | a |?
2

a?a

(长度公式)

10. 向量的直角坐标运算:

(1) AB ? ( xB

? x A , yB ? y A )

(2)设 a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) ,则

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? a ? (?x1, ?y1 )

a ? b ? x1x2 ? y1 y2

11.中点坐标公式:若 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,点 M(x,y)是线段 AB 的中点,则 x ?
12.向量平行、垂直的充要条件:设 a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x2 y ? y2 ,y? 1 2 2

a ∥b ?

x1 y1 ? x2 y2

(相对应坐标比值相等)

a ⊥ b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
11. 长度公式 (1) (2)

(两个向量垂直则它们的内积为 0)

向量长度公式:设 a ? ( x, y) ,则 | a |?

x2 ? y2 ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

两点间距离公式:设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 | AB |?

12. 向量平移 (1) 平移公式:点 P ( x, y ) 平移向量 a ? (a1 , a2 )到P' ( x' , y' ) ,则 ?

? x' ? x ? a1 ? y' ? y ? a2

记忆法: “新=旧+向量”

(2)图像平移: y ? f (x) 的图像平移向量 a ? (a1 , a2 ) 后得到的函数解析式为:

y ? a2 ? f ( x ? a1 )

第八章
1. 曲线 C 上的点与方程 F ( x, y) ? 0 之间的关系: 曲线 C 上点的坐标都是方程 F ( x, y) ? 0 的解;

平面解析几何

(1) (2)

以方程 F ( x, y) ? 0 的解 ( x, y ) 为坐标的点都在曲线 C 上。

则曲线 C 叫做方程 F ( x, y) ? 0 的曲线,方程 F ( x, y) ? 0 叫做曲线 C 的方程。 2. 求曲线方程的方法及步骤: (1) 设动点的坐标为(x,y) ;(2) 写出动点在曲线上的充要条件;(3) 用 x, y 的关系式 表示这个条件列出的方程; (4) 化简方程(不需要的全部约掉)(5)证明化简后的方程是所求曲线的方程。如果 ; 方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。 3. 4. 两曲线的交点:联立方程组求解即可。 直线:
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(1) 倾斜角 ? :一条直线 l 向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是 [0, ? ) (2) 斜率:①倾斜角为 90 的直线没有斜率;② k ? tan ? (倾斜角的正切)
0

③ 经过两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) 的直线的斜率 K 1 (3) 直线的方程 ① 两点式:

?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

( x1 ? x 2 )

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1

② 斜截式: y ? kx ? b ④ 一般式: Ax ? By ? C ? 0

③ 点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 )

注:1.若直线 l 方程为 3x+4y+5=0,则与 l 平行的直线可设为 3x+4y+C=0;与 l 垂直的直线可设为 4X-3Y+C=0 2.求直线的方程最后要化成一般式。 (4) 两条直线的位置关系

l1 : y ? k1 x ? b1
l1 与 l 2 平行
l1 与 l 2 重合

l 2 : y ? k 2 x ? b2

l1 : A1 x ? B1 x ? C1 ? 0
A1 B1 C 2 ? ? A2 B2 C 2
A1 B1 C 2 ? ? A2 B2 C 2
A1 B ? 1 A2 B2

l 2 : A2 x ? B2 x ? C2 ? 0

k1 ? k 2且b1 ? b2
k1 ? k 2且b1 ? b2
k1 ? k 2

l1 与 l 2 相交 l1 ⊥ l 2
(5)点到直线的距离

k1 ? k 2 ? ?1

A1 A2 ? B1 B2 ? 0

注:系数为 0 的情况可画图像来判定。

①点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离: d 5. 圆的方程 (1) (2) 标准方程: ( x ? a) 一般方程: x
2
2

?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

? ( y ? b) 2 ? r 2 ( r ? 0 )其中圆心 (a, b) ,半径 r 。

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 )
半径: r

圆心( ?

D E ,? ) 2 2

?

D 2 ? E 2 ? 4F 2
d ? r ? 相离

(4)直线和圆的位置关系:主要用几何法,利用圆心到直线的距离 d 和半径 r 比较。

d ? r ? 相交 ;
6. 椭圆

d ? r ? 相切;

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动点与两定点(焦点)的距离之和等于常数 2 a 几何定义

| PF1 | ? | PF2 |? 2a
x2 y2 ? ? 1 (焦点在 x 轴上) a2 b2 x2 y2 ? ? 1 (焦点在 y 轴上) b2 a2

标准方程

图像

a, b, c 的关系
对称轴与对称中心 顶点坐标 焦点坐标

a2 ? b2 ? c2

注意:通常题目会隐藏这个条件

x 轴:长轴长 2a ; y 轴:短轴长 2b ; O(0,0)
(? a,0) (0,?b)

(?c,0) 焦距 2c

注:要特别注意焦点在哪个轴上

离心率

e?

c b2 ? 1? 2 ? 1 a a

7.

双曲线 动点与两定点(焦点)的距离之差的绝对值等于常数 2 a 几何定义

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a
x2 y2 ? ? 1 (焦点在 x 轴上) a2 b2 y2 x2 ? ? 1 (焦点在 y 轴上) a2 b2

标准方程

图像

a, b, c 的关系
对称轴与对称中心

c2 ? a2 ? b2

注意:通常题目会隐藏这个条件

x 轴:实轴长 2a ; y 轴:虚轴长 2b ; O(0,0)
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顶点坐标 焦点坐标

(? a,0) (?c,0) 焦距 2c
注:要特别注意焦点在哪个轴上

离心率

c b2 e ? ? 1? 2 ? 1 a a
y?? b x (焦点在 x 轴上) a y?? a x (焦点在 y 轴上) b

渐近线

注:等轴双曲线: (1)实轴长和虚轴长相等 ? a ? b (2)离心率 e 8. 抛物线 几何 定义 焦点 位置 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹

? 2 (3)渐近线 y ? ? x

| MF |? d ( d 为抛物线上一点 M 到准线的距离)

x 轴正半轴

x 轴负半轴

y 轴正半轴

y 轴负半轴

图像

标准 方程 焦点 坐标 准线 方程 顶点 对称 轴 离心 率 注: (1)

y 2 ? 2 px ( p ? 0)
p F ( ,0) 2 p x?? 2

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)
F (? p ,0 ) 2 p x? 2

x 2 ? 2 py ( p ? 0)
p F (0, ) 2 p y?? 2

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)
p F (0,? ) 2 p y? 2

O(0,0)

x轴
e ?1

y轴

p 的几何意义表示焦点到准线的距离。

(2) 掌握焦点在哪个轴上的判断方法 (3)圆锥曲线中凡涉及到弦长,都可用联立直线和曲线的方程求解再用弦长公式:

| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2
(4)圆锥曲线中最重要的是它本身的定义! !做题时应注意圆锥曲线上的点是满足圆锥曲线的定义的!

第九章

立体几何
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1. 2.

空间的基本要素:点、线、面 平面的基本性质 三个公理:

注:用集合符号表示空间中点(元素) 、线(集合) 、面(集合)的关系 (1)

① 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 ② 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线。 ③ 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 (2) 三个推论: ① 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 ② 经过两条相交直线,有且只有一个平面。 ③ 经过两条平行直线,有且只有一个平面。 3. 两条直线的位置关系: 相交:有且只有一个公共点,记作“ a ? b ? A ” 平行: a. 过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。 (1) (2) (3)

b . 平行于同一条直线的两条直线平行
异面: ① 定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线的夹角:对于两条异面直线,平移一条与另一条相交所成的不大于 角时可作其中一条的平行线,让它们相交。 4. 直线和平面的位置关系: 直线在平面内: l ? ? 直线与平面相交: l ? ? ? A 直线与平面平行 (1) (2) (3)

? 的角。注意在找异面直线之间的夹 2

① 定义:没有公共点,记作: l ∥ ? ② 判定:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,则该直线与平面平行。 ③ 性质:如果一条直线与一平面平行,且过直线的另一平面与该平面相交,则该直线与交线平行。 5. 两个平面的位置关系 相交: ? ? ? ? l 平行:

(1) (2)

① 定义:没有公共点,记作: ? ∥ ? ” “ ② 判定:如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行,则两平面平行 ③ 性质:

a. 两个平行平面与第三个平面都相交,则交线互相平行
b . 平行于同一平面的两个平面平行

c. 夹在两平行平面间的平行线段相等
d . 两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例
6. 直线与平面所成的角: 定义:直线与它在平面内的射影所成的角 范围: [ 0, (1) (2) 7.

? ] 2

直线与平面垂直 判定:如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,则该直线与平面垂直
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(1)

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(2)

性质:

① 如果一条直线垂直于一平面,则它垂直于该平面内任何直线; ② 垂直于同一平面的两直线平行; ③ 垂直于同一直线的两平面平行。 8. 两个平面垂直 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,则两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直。 定义:过二面角 ? ? l ? ? 的棱上一点 O ,分别在两半平面内引棱 l 的垂线 OA、OB ,则 ?AOB 为二面角的 平面角 (2) (3) 范围: [0, ? ] 二面角的平面角构造: (1) (2) 9.

二面角

(1)

① 按定义,在棱上取一点 O ,分别在两半平面内引棱的垂线 OA、OB ,则 ?AOB 即是 ② 作一平面与二面角的棱垂直,与两半平面分别交于 OA、OB , ?AOB 即是

第十章
1.分类用加法: N

排列、组合与二项式定理
分步用乘法: N

? m1 ? m2 ? ?? ? mn

? m1m2 ??mn

2.有序为排列: Pn

m

? n(n ? 1)(n ? 2) ??(n ? m ? 1) ?

n! (n ? m)!

无序为组合: Cn
n

m

?

Pnm n(n ? 1)(n ? 2)??(n ? m ? 1) n! ? ? m m! m!(n ? m)! Pm

阶乘: Pn

? n!? n(n ? 1)(n ? 2)??? 3 ? 2 ?1
0 Cn ? 1

规定: 0! ? 1

注: (1)做排列组合题的原则:先特殊,后一般! (2)在一起,用捆绑法;不在一起,用插空法;另外的思考方法:一般法、排除法、分类讨论法、机会均等法等等。 3.组合数的两个性质: (1) Cn 4.二项式定理:
0 1 r n n (a ? b) n ? Cn a n b 0 ? Cn a n?1b1 ? ??? Cn a n?r b r ? ??Cn ?1a1b n?1 ? Cn a 0b n
r r ? Cn a n?r b r ,其中 Cn 叫做第 r ?1项的二项式系数。 r

m

n ? Cn ?m

(2) Cn?1

m

m m ? Cn ? Cn ?1

通项: Tr ?1

注: (1)二项展开式中第 r ?1项的系数与第 r ?1项的二项式系数 C n 是两个不同的概念。 (2)杨辉三角 1. 二项式系数的性质 除每行两端的 1 以外,每个数字都等于它肩上两数之和,即 Cn?1
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r r r ? Cn ? Cn ?1

(1)

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(2) (3)

与首末两端等距离的两项的二项式系数相等,即 Cn

r

n ? Cn ? r

n ? 1 项) 2 n ?1 (第 项和后一项) n 为奇数,展开式有偶数项,中间两项的二项式系数最大。 2
(第 n 为偶数,展开式有奇数项,中间项的二项式系数最大;
0 1 n Cn ? Cn ? ??Cm ? ??Cn ? 2n n 0 2 4 1 3 5 Cn ? Cn ? Cn ? ?? ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? ? 2n?1

7.

第十一章
一、概率.

概率与统计

1. 概率:随机事件 A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个,且所有结果出现的可能性都相等,那么,每 一个基本事件的概率都是

1 m ,如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P (A)? . n n

3. ① 互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥,那么事件 A+B 发生(即 A、B 中 有一个发生)的概率,等于事件 A、B 分别发生的概率和,即 P(A+B)=P(A)+P(B)。 ② 对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. ............... 注意:i.对立事件的概率和等于 1: P(A)? P(A) ? P(A? A) ? 1 . ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件. ③ 相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即 P(A· B)=P(A)· P(B). 由此,当两个事件同时 发生的概率 P(AB)等于这两个事件发生概率之积,这时我们也可称这两个事件为独立事件. ④ 独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这 n 次试验是 独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率:
P n (k) ?C k P k (1 ? P)n ?k . n

二、随机变量. 1. 随机试验的结果应该是不确定的.试验如果满足下述条件: ① 试验可以在相同的情形下重复进行;② 试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③ 每次试验总是恰 好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随 机变量。 设离散型随机变量 ξ 可能取的值为: x 1 , x 2 , ? , x i , ? ξ 取每一个值 x 1 (i ? 1,2, ?) 的概率 P(? ? x i ) ? p i ,则表称为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的分布列.

?
P

x1

x2

… …

xi

… …

p1

p2

pi

有性质① p 1 ? 0, i ? 1,2, ? ;

② p1 ? p 2 ? ? ? p i ? ? ? 1 .

注意:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如: ? ? [0,5] 即 ? 可以取 0~ 5 之间的一切数,包括整数、小数、无理数. 3. ⑴ 离散型随机变量的二项分布: 在 一 次 随 机 试 验 中 , 某 事 件 可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 , 在 n 次独立重复试 验中这个事件发生的次数 ξ 是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中 这个事件恰好发生 k 次的概率是
k (k=0,1,2,…,n, q ? 1 ? p ) . Pn (? ? k ) ? Cn p k q n?k ,

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于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下: ? 0 P 由 于 Cn
k

1
1 n 1 n ?1


k …n k

k
n ?k


n …n

n

C pq

0 n

0 n

C pq

C p q

C pnq0

p k q n?k 恰好是二项展开式

0 1 k n (q ? p) n ? Cn p 0 q n ? Cn p1q n?1 ? ? ? Cn p k q n?k ? ? ? Cn p n q 0

中 的 各 项 的 值 , 所 以 称 这 样 的 随 机 变 量 ξ 服 从 二 项 分 布 , 记 作 ξ~B(n,p),其中 n,p 为参数,并记

C p q n?k =b(k;n,p).
k n k

⑵ 二项分布的判断与应用. ① 二项分布,实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复,且每次试验只有两种结 果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布. ② 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有两种试验结果,此时 可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列. 三、数学期望与方差. 1. 期望的含义:一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ? x1 x2 … P
p1
p2 xi

… …



pi

则称 E? ? x 1 p 1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ? ? 为 ξ 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型 随机变量取值的平均水平. 2. 二项分布的数学期望: E? ? np 其分布列为 ? ~ B(n, p) .(P 为发生 ? 的概率) 3. 方 差 、 标 准 差 的 定 义 : 当 已 知 随 机 变 量 ξ 的 分 布 列 为 P(? ? x k ) ? p k (k ? 1,2, ?) 时 , 则 称
D? ? ( x1 ?E? ) 2 p1 ?( x 2 ?E? ) 2 p 2 ? ? ? ( x n ?E? ) 2 p n ? ? 为 ξ 的方差。 显然 D? ? 0 ,故 ?? ?

D? . ?? 为 ξ 的根方差或标准差。随机

变量 ξ 的方差与标准差都反映了随机变量 ξ 取值的稳定与波动,集中与离散的程度. D ? 越小,稳定性越高,波动越小. . ............. 4.二项分布的方差: D? ? npq 5. 期望与方差的关系: D? ? E? 2?(E? ) 2 四、正态分布.(基本不列入考试范围) 1.密度曲线与密度函数:对于连续型随机变量 ξ,位于 x 轴上方,ξ 落在任一区间 [a, b) 内的概率等于它与 x 轴. 直线 x ? a 与直线 x ? b 所围成的曲边梯形的面积 (如图阴影部分)的曲线叫 ξ 的密度曲线,以其作为 图像的函数 f (x) 叫做 ξ 的密度函数,由于“ x ? (??,??) ” 是必然事件,故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1. 2. ⑴ 正态分布与正态曲线: 如果随机变量 ξ 的概率密度为:f ( x) ?
a b


y y=f(x)

x

1 2? ?

?

( x?? )2 2? 2

e

. ( x ? R, ? , ? 为常数, ? ? 0 ) 且 ,

称 ξ 服从参数为 ?, ? 的正态分布,用 ? ~ N (?,? 2) 表示. f (x) 的表达式可简记为 N (?,? 2) ,它的密度曲线简称为正态曲 线. ⑵ 正态分布的期望与方差:若 ? ~ N (?,? 2) ,则 ξ 的期望与方差分别为: E? ? ? , D? ?? 2 ⑶ 正态曲线的性质. ① 曲线在 x 轴上方,与 x 轴不相交. ② 曲线关于直线 x ? ? 对称.
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③ x ? ? 时曲线处于最高点,当 x 向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. 当 ④ x < ? 时,曲线上升;当 x > ? 时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时,以 x 轴为渐近线, 当 向 x 轴无限的靠近. ⑤ ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定, ? 越大,曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散; ? 越小,曲线越“瘦高”, 当 表示总体的分布越集中. 3. ⑴ 标准正态分布:如果随机变量 ξ 的概率函数为 ? ( x) ?

1 2?

e

?

x2 2

(?? ? x ? ??) ,则称 ξ 服从标准正态分布. 即

? ~ N (0,1) 有 ? ( x) ? P(? ? x) , ? ( x) ? 1 ? ? (? x) 求出,而 P(a< ξ ≤b)的计算则是 P(a ? ? ? b) ? ? (b) ? ? (a) .
注意:当标准正态分布的 ?(x) 的 X 取 0 时,有 ?(0) ? 0.5 ,当 ?(x) 的 X 取大于 0 的数时,有 ? ( x ) ? 0.5 ,如图.


y S

⑵ 正态分布与标准正态分布间的关系:若 ? ~ N (?,? ) 则 ξ 的分布函数通
2

常用 F (x) 表示,且有 P(ξ ? x) ? F(x) ? ? (

x ?μ ). σ

x a 标准正态分布曲线

4.⑴ ? ”原则. “3

S阴=0.5 Sa=0.5+S

假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:① 提出统计假设,统计假设里的变量服从正态 分布 N (?,? 2) .② 确定一次试验中的取值 a 是否落入范围 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) .③ 做出判断:如果 a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) ,接受统计 假设. 如果 a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) ,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设. ⑵ ? ”原则的应用: “3 若随机变量 ξ 服从正态分布 N (?,? 2) 则 ξ 落在 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) 内的概率为 99.7% 亦即落在
( ? ? 3? , ? ? 3? ) 之外的概率为 0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生了,就说明此种产品不合格(即 ξ 不服从正态

分布) 。

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