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高一数学第一章 章末测试题(A)


第一章

章末测试题(A)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.在△ABC 中,下列等式不成立的是( A.c= a2+b2-2abcosC a b B.sinA=sinB C.asinC=csinA a2+c2-b2 D.cosB= 2abc 答案 解析 D a2+c2-b2 很明显 A,B,C 成立;由余弦定理,得 cosB= 2ac , )

所以 D 不成立. 2.已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大 小为( ) B.60° D.30°

A.75° C.45° 答案 解析 B

1 3 由 S△ABC=3 3=2×3×4sinC,得 sinC= 2 ,又角 C 为锐

角,故 C=60° . 3.已知△ABC 中,c=6,a=4,B=120° ,则 b 等于( A.76 C.27 B.2 19 D.2 7 )

答案 解析

B 由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accosB=76,所以 b=2 19. )

4.已知△ABC 中,a=4,b=4 3,A=30° ,则 B 等于( A.30° C.60° 答案 解析 D B.30° 或 150° D.60° 或 120°

a b b 4 3 由正弦定理,得sinA=sinB.所以 sinB=asinA= 4 sin30°

3 = 2 .又 a<b,则 A<B,所以 B=60° 或 120° . 5.已知三角形的三边长分别为 a,b, a2+ab+b2,则三角形的 最大内角是( A.135° C.60° 答案 解析 B a2+ab+b2>a, a2+ab+b2>b,则长为 a2+ab+b2的 ) B.120° D.90°

a2+b2-?a2+b2+ab? 1 边所对的角最大.由余弦定理,得 cosα= =- 2ab 2, 所以三角形的最大内角是 120° . 6.△ABC 的三内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c 设向量 p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若 p∥q,则角 C 的大小为( π A.6 π C.2 答案 B π B.3 2π D. 3 )

解析

由 p∥q,得(a+c)(c-a)=b(b-a),则 b2+a2-c2=ab.由余

a2+b2-c2 1 π 弦定理,得 cosC= 2ab =2,所以 C=3. 7.在△ABC 中,已知 a=2bcosC,那么△ABC 的内角 B、C 之间 的关系是( A.B>C C.B<C 答案 B ) ) B.B=C D.关系不确定

8.在△ABC 中,B=60° ,b2=ac,则这个三角形是( A.不等边三角形 C.等腰三角形 答案 B ) B.等边三角形 D.直角三角形

9.在△ABC 中,cosAcosB>sinAsinB,则△ABC 是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 答案 C B.直角三角形 D.等边三角形

10.△ABC 中,已知 sinB=1,b=3,则此三角形( A.无解 C.有两解 答案 D B.只有一解 D.解的个数不确定

)

11.在△ABC 中,若 A<B<C,b=10,且 a+c=2b,C=2A,则 a 与 c 的值分别为( A.8,10 C.8,12 答案 C ) B.10,10 D.12,8

解析 ∵C=2A,∴sinC=sin2A=2sinA· cosA. 100+c2-a2 由正弦定理,余弦定理可得 c=2a· , 2×10c 将 a=20-c 代入上式整理,得 c2-22c+120=0,解得∴c=10(舍 去)或 c=12.∴a=8. → → → → → 12. 已知平面上有四点 O, A, B, C, 满足OA+OB+OC=0, OA· OB → → → → =OB· OC=OC· OA=-1,则△ABC 的周长是( A.3 C.3 6 答案 解析 C 由已知得 O 是△ABC 的重心, B.6 D.9 6 )

→ → → → → → → 由OA· OB=OB· OC,得OB· (OA-OC)=0. → → ∴OB· CA=0.∴OB⊥CA.同理,OA⊥BC, OC⊥AB.∴△ABC 为等边三角形. → → 2π → 故∠AOB=∠BOC=∠COA= 3 ,|OA|=|OB|=|OC|= 2. 在△AOB 中,由余弦定理,得 2π AB2=OA2+OB2-2OA· OBcos 3 =6. ∴AB= 6,故△ABC 的周长是 3 6. 讲评 本题是以向量的数量积给出条件,通过计算得出三角形中

的一些量,再利用余弦定理可解. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案 填在题中的横线上) 13.在△ABC 中,A=30° ,C=105° ,b=8,则 a=________. 答案 4 2 解析 sinA B=180° -30° -105° =45° ,由正弦定理,得 a=sinBb=

sin30° ×8=4 2. sin45° 14. 在△ABC 中, 若∠A=120° , AB=5, BC=7, 则 AC=________. 答案 3 解析 在 △ ABC 中 , 由 余 弦 定 理 , 得 cosA = cos120°=

AB2+AC2-BC2 25+AC2-49 1 ,即 =-2. 2×AB×AC 2×5×AC 解得 AC=-8(舍去)或 AC=3. 15.在△ABC 中,已知 CB=8,CA=5,△ABC 的面积为 12,则 cos2C=________. 7 答案 25 解析 1 1 由题意,得 S=2CA×CBsinC,则 12=2×5×8sinC.所以

3 7 sinC=5.则 cos2C=1-2sin2C=25. 16.甲、乙两楼相距 20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60° ,从 甲 楼顶 望乙 楼顶的 俯角 为 30° ,则甲 楼高 为 ______m , 乙楼 高为 ________m.

答案 20 3 解析

40 3 3

如下图所示,甲楼高为 AB,乙楼高为 CD,AC=20 m.

则在△ABC 中,∠BAC=90° ,AC=20(m),所以 AB=ACtan60° = 20 3(m),在△BCD 中,BC=40(m),∠BCD=90° -60° =30° ,∠CBD = 90° - 30° - 30° = 30° ,则∠ BDC = 180° - 30° - 30° = 120° . 由正弦定 sin∠CBD 40 3 理,得 = ,所以 CD= BC= 3 . sin∠BDC sin∠CBD sin∠BDC BC CD 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知 A,B,C 为△ABC 的三个内角,且其对边分别为 1 a,b,c,若 cosBcosC-sinBsinC=2. (1)求 A; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积. 思路分析 (1)转化为求 cosA;(2)求出 bc 的值即可. 解析 1 (1)∵cosBcosC-sinBsinC=2,

1 ∴cos(B+C)=2. 1 1 ∵A+B+C=π,∴cos(π-A)=2.∴cosA=-2. 2π 又∵0<A<π,∴A= 3 . (2)由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bc· cosA. 2π 则(2 3)2=(b+c)2-2bc-2bc· cos 3 . 1 ∴12=16-2bc-2bc· (-2).∴bc=4. 1 1 3 ∴S△ABC=2bc· sinA=2×4× 2 = 3. π 1 18.(12 分)在△ABC 中,C-A=2,sinB=3. (1)求 sinA 的值; (2)设 AC= 6,求△ABC 的面积. 解析 π π π (1)由 C-A=2和 A+B+C=π,得 2A=2-B,0<A<4.

1 3 故 cos2A=sinB,即 1-2sin2A=3,sinA= 3 . 6 (2)由(1)得 cosA= 3 . BC AC sinA 又由正弦定理,得sinA=sinB,BC=sinBAC=3 2. 1 1 所以 S△ABC=2AC· BC· sinC=2AC· BC· cosA=3 2. 19.(12 分)

3 如图,在△ABC 中,AC=2,BC=1,cosC=4. (1)求 AB 的值; (2)求 sin(2A+C)的值. 解析 (1)由余弦定理,得

AB2=AC2+BC2-2AC· BCcosC 3 =4+1-2×2×1×4=2. ∴AB= 2. 3 (2)由 cosC=4且 0<C<π,得 sinC= 7 1-cos2C= 4 .

AB BC BCsinC 14 由正弦定理,得sinC=sinA,解得 sinA= AB = 8 . 5 2 所以 cosA= 8 . 5 7 由倍角公式,得 sin2A=2sinAcosA= 16 , 9 且 cos2A=1-2sin2A=16. 3 7 故 sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC= 8 .

20.(12 分)已知△ABC 顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、 C(c,0). (1)若 c=5,求 sinA 的值; (2)若∠A 是钝角,求 c 的取值范围. 解析 (1)方法一 ∵A(3,4)、B(0,0),

4 ∴|AB|=5,sinB=5. 当 c=5 时,|BC|=5,|AC|= 根据正弦定理,得 |BC| |AC| |BC| 2 5 = ? sin A = sin B = sinA sinB |AC| 5 . 方法二 ∵A(3,4)、B(0,0),∴|AB|=5. 当 c=5 时,|BC|=5,|AC|= 根据余弦定理,得 |AB|2+|AC|2-|BC|2 5 cosA= = 2|AB||AC| 5. sinA= 2 5 1-cos2A= 5 . ?5-3?2+?0-4?2=2 5. ?5-3?2+?0-4?2=2 5.

(2)已知△ABC 顶点坐标为 A(3,4)、B(0,0)、C(c,0), |AB|2+|AC|2-|BC|2 根据余弦定理,得 cosA= . 2|AB||AC| 若∠A 是钝角,则 cosA<0?|AB|2+|AC|2-|BC|2<0,即 52+[(c-3)2 25 +42]-c2=50-6c<0,解得 c> 3 .

21.(12 分)如图,

A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上 的两座灯塔的塔顶. 测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° ,30° ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ° ,AC=0.1 km. 试探究图中 B,D 间距离与另外两点间距离哪个相等,然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01 km, 2=1.414, 6≈2.449). 解析 在△ABC 中,∠DAC=30° ,∠ADC=60° -∠DAC=30° ,

所以 CD=AC=0.1.又∠BCD=180° -60° -60° =60° , 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA. 在△ABC 中, AC = , sin∠BCA sin∠ABC AB

ACsin60° 3 2+ 6 即 AB= sin15° = 20 , 3 2+ 6 因此,BD= 20 ≈0.33 km. 故 B、D 的距离约为 0.33 km π 22.(12 分)设函数 f(x)=cos(2x+3)+sin2x.

(1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期; 1 C 1 (2)设 A,B,C 为△ABC 的三个内角,若 cosB=3,f( 2 )=-4,且 C 为锐角,求 sinA. 解析 π π 1-cos2x (1)f(x)=cos2xcos3-sin2xsin3+ 2

1 3 1 1 1 3 =2cos2x- 2 sin2x+2-2cos2x=2- 2 sin2x. π π 所以当 2x=-2+2kπ,即 x=-4+kπ(k∈Z)时, f(x)取得最大值,f(x)最大值= 1+ 3 2 ,

2π f(x)的最小正周期 T= 2 =π, 1+ 3 故函数 f(x)的最大值为 2 ,最小正周期为 π. C 1 1 3 1 3 (2)由 f( 2 )=-4,即2- 2 sinC=-4,解得 sinC= 2 ,又 C 为锐 π 角,所以 C=3. 1 2 2 由 cosB=3,求得 sinB= 3 . 由此 sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC 2 2 1 1 3 2 2+ 3 = 3 ×2+3× 2 = . 6



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