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宁夏石嘴山市第三中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文


2015-2016 第一学期期中高二数学文科试卷
注意事项: 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考生作答时,将答案答在答题卡 上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将答题卡交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓 名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡 的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非 选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4 .保持卡面清洁,不折叠,不破损。 第 I 卷(选择题) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.一个年级有 12 个班,每个班的同学从 1 至 50 排学号,为了交流学习经验,要求每班学 号为 14 的同学留下进行交流,这里运用的是( A.系统抽样
2 2

) D.随机抽样

B.分层抽样

C.抽签抽样

2.双曲线 x -4y =4 的离心率为 A. 6 B. 5 C. 6
2

D. 5
2

3.将二进制数 11100( 2 ) 转化为四进制数,正确的是( ) A. 120( 4 ) B.130( 4 ) C. 200( 4 ) D. 202( 4)

4.下列说法错误的是( ) A.若 p:? x∈R,x -x+1=0,则?p:? x∈R,x -x+1≠0 B. “sinθ = 1 ”是“θ =30°”的充分不必要条件
2
2 2

C.命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a≠0,则 ab≠0” D.已知 p:? x∈R,cosx=1,q:? x∈R,x -x+1>0,则“p∧(?q) ”为假命题 5.如图是在一次全国少数民族运动会上,七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶图,去 掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 7 7 8 44647 9 3 A.84,4.84 B.84,1.6 C.85,1.6 D.85,4
1
2





6.运行如图所示的程序框图,则输出的所有实数对 ( x, y ) 所对应的点都在函数(



A、

f ( x) ? log 2 ( x ? 1) 的图像上
4 3

B、 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2 的图像上 D、 f ( x) ? 2 x ?1 的图像上

C、 f ( x) ? x 的图像上

7.若样本的频率分布直方图中一共有 n 个小矩形,中间一个小矩形的面积等于其余 n ? 1 个 小矩形面积和的 1 ,且样本容量为 160,则中间一组的频数是(
4

)

A.32

B.20

C.40

D.25

8.已知 m ? R , “函数 y ? 2 x ? m ? 1 有零点”是“函数 y ? log m x 在 上为减函数”的 ( 0, +?) A.充分不必要条件 C.充要条件 9.过椭圆 ( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 , 为右焦点,

若 A.

,则椭圆的离心率为( B. C.

) D.

2 2 10.已知椭圆 E : x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两 2 2

a

b

点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为
2 2 A. x ? y ? 1

45

36

2 2 B. x ? y ? 1

36

27

2 2 C. x ? y ? 1

27

18

2 2 D. x ? y ? 1

18

9

11.下列四个命题:
2

①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度; ②某只股票经历了 l0 个跌停 (每次跌停, 即下跌 l0%) 后需再经过 10 个涨停 (每次涨停, 即上涨 10%)就可以回到 原来的净值; ③某校高三一级部和二级部的人数分别是 m、n,本次期末考试两级部;数学平均分分别 是 a、b,则 这两个级部的数学平均分为 na ? mb
m n

④某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康 检查,现将 800 名学生从 001 到 800 进行编号,已知从 497--512 这 16 个数中取得的学 生编号是 503,则初始在第 1 小组 00l~016 中随机抽到的学生编号是 007. 其中真命题的个数是 A.0 个
a

B. 1 个
b

C.2 个

D.3 个

2 2 12.若双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1 有公共点,则 2 2

双曲线的离心率的取值范围是( A. (1, 6 ]
2

) C. [ 6 ,??)
3

B. [ 6 ,??)
2

D. [ 6 ,1)
3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.运行如图所示的程序,其输出的结果为 n=5 s=0 WHILE s<14 s=s+n n=n-1 WEND PRINT n END .

14.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到如右数据: 单价 x (元) 销量 y (件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8. 8 75 9 68

由表中数据,求得线性回归方程为 y ? ? ?20 x ? a ? .若在这些样本点中任取一点,则它在
3

回归直线左下方的概率为_______.
2 2 15.以椭圆 x + y = 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为



8

5

16.若 r(x):sin x ? cos x ? m ,s(x):x +mx+1>0,如果对? x∈R,r(x)为假命题,s(x)
2

为真命题,则 m 的取值范围



三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 10 分) 设椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,且长轴长是短轴长的 2 倍.又点 P(4,1)在椭 圆上,求该椭圆的方程.

18. (本小题满分 12 分) 设命题 p:{x|x -4a x+3a <0}(a>0),
2 2

命题q : ?x 1 ? x ? 1 ? 2?

(1)如果 a=1,且 p∧q 为真时,求实数 x 的取值范围; (2)若?p 是?q 的 充分不必要条件时,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知命题 p :方程 圆 ( x ? 10) 范围.
2

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆;命题 :点 (m,4) 在 16 ? m m ? 4

q

? ( y ? 1) 2 ? 13 内.若 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,试求实数 m 的取值

20. (本小题满分 12 分)
4

某校高一(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污 损,可见部分如下图.
频率 组距

0.044 0.028 0.012 0.008 0 50 60 70 80 90 100 分数

60) 的频率及全班人数; (1)求分数在 [50, 90) 之间的频数,并计算频率分布直方图中 [80, 90) 间矩形的高; (2)求分数在 [80,
100) 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷 (3)若要从分数在 [80, 100) 之间的概率. 中, 至少有一份分数在 [90,

21. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的一次函数 y ? ax ? b (1) 设集合 A ? ??2, ?1,1, 2? 和 B ? ??2, 2? , 分别从集合 A 和 B 中随机取一个数作为 a , b, 求函数 y ? ax ? b 是增函数的概率;

?a ? b ? 1 ? 0 ? (2)若实数 a ,b 满足条件 ? ?1 ? a ? 1 ,求函数 y ? ax ? b 的图象不经过第四象限的概率. ? ?1 ? b ? 1 ?

22. (本小题满分 12 分)
2 2 已知椭圆 C : x ? y ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 A(2, 2 2

a

b

1)

,离心率为 2 ,过点 B(3,
2

0)



直 线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N . (1)求椭圆 C 的方程;

???? ? ???? (2)求 BM ? BN 的取值范围.

5

高二文科数学参考答案与评分标准 一、选择题 1 A 2 D 3 B 4 C 5 C 6 D 7 A 8 B 9 B 10 D 11 C 12 A

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 16 分) 13.1 14.

1 3

15.

x2 y 2 ? ?1 3 5

16. - 2≤m<2.

三、解答题 17. (本题满分 10 分,)
2 2 2 2 解:设该椭圆的方程为 x 2 + y2 =1 或 x 2 + y 2 =1(a>b>0), a b b a 依题意,2a=2(2b) a=2b. 由于点 P(4,1)在椭圆上,

2 2 所以 4 2 + 12 =1 或 1 2 + 42 =1. 4b b 4b b

解得 b =5 或 65 ,这样 a =20 或 65,
2 2

4

2 2 2 2 故该椭圆的方程为 x + y =1 或 4 x + y =1. 65 65 20 5

18. (本题满分 12 分) 解: (1) 当 a>0 时, {x|x2-4ax+3a2<0}={x|(x-3a)( x-a)<0}={x|a<x<3a}, 如果 a=1 时,则 x 的取值范围是{x|1<x<3},而 q:{x|2<x≤3}, 因为 p∧q 为真,所以有{x|1<x< 3}∩{x|2<x≤3}={x|2<x<3}. 故实数 x 的取值范围是{x|2<x≤3}. (2) 若?p 是?q 的充分不必要条件,表明 q 是 p 的充分不必要条件. 由(1)知,{x|2<x≤3}是{x|a<x<3a}(a>0)的真子集, 易知 a≤2 且 3<3a,解得{a|1<a≤2}. 故实数 a 的取值范围是{a|1<a≤2}. 19. (本题满分12分) 解:命题 P : 4 ? m ? 10 ; 命题 q : 8 ? m ? 12
q

由题意,命题 p 和命题 q 一真一假, 若 p 真 q 假,则 4 ? m ? 8 ; 若 p 假 q 真,则 10 ? m ? 12 ; 故实数 m 的取值范围是 4 ? m ? 8 或 10 ? m ? 12 . 20.(本题满分 12 分)
60) 的频率为 0.008 ? 10 ? 0.08 , 解: (1)分数在 [50,

由茎叶图知:分数在 90) 之间的频数为 25 ? 22 ? 3 ; (2)分数在 [80,
[50, 60)

2 ? 25 之间的频数为 2 ,所以全班人数为 0.08 .

6

3 ? 10 ? 0.012 90) 间的矩形的高为 25 频率分布直方图中 [80,
90) 之间的 3 个分数编号为 (3)将 [80,

a1 , a2 , a3 ,

[90, 100)

之间的 2 个分数编号为

b1 , b2 ,

100) 之间的试卷中任取两份的基本事件为: 在 [80,

b1 ), ( a2 , b2 ), ( a3 , b1 ) , ( a3 , b2 ) , ( b1 , b2 ) (a1 , a2 ), ( a1 , a3 ), ( a1 , b1 ) , ( a1 , b2 ) , ( a2 , a3 ) ,( a2 ,
10 个,



其中,至少有一个在 故至少有一份分数在

7 ? 0.7 [90, 100) 之间的概率是 10 .

[90, 100)

之间的基本事件有 7 个,

21. (本题满分 12 分) 解: (1)抽取全部结果所构成的基本事件空间为

(?2, ?2),(?2, 2),(?1, ?2),(?1, 2),(1, ?2),(1, 2),(2, ?2),(2, 2),

共8个

设函数 y ? ax ? b 是增函数为事件 A ,? a ? 0 ,有 4 个 ? P( A) ?

1 2

?a ? b ? 1 ? 0 ? (2)实数 a , b 满足条件 ? ?1 ? a ? 1 ,要函数 y ? ax ? b 的图象不经过第四象限 ? ?1 ? b ? 1 ?
则需使 a , b 满足 ?

?0 ? a ? 1 ?a ? 0 ,即 ? , ?0 ? b ? 1 ?b ? 0
1 2. ? 7 7 2

设“函数 y ? ax ? b 的图象不经过第四象限”为事件 B,则 P( B) ?

22. (本题满分 12 分)

?4 1 ? a 2 ? b 2 ? 1, ? 解解: (1)由题意得 ?a 2 ? b 2 ? c 2 , 解得 a ? 6 , b ? 3 . ? ? ?c ? 2 . ? 2 ?a
? 椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 . 6 3

(2)由题意显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,

? y ? k ( x ? 3), ? 由 ? x2 y 2 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 12k 2 x ? 18k 2 ? 6 ? 0 . ? 1, ? ? 3 ?6
? 直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ,
7

? ? ? 144k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(18k 2 ? 6) ? 24(1 ? k 2 ) ? 0 ,解得 ?1 ? k ? 1 .

设 M , N 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,
2 2 则 x1 ? x2 ? 12k , x1 x2 ? 18k ? 6 , y1 ? k ( x1 ? 3) , y2 ? k ( x2 ? 3) . 2 2

1 ? 2k

1 ? 2k

???? ? ???? BM ? BN ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2 ? (1 ? k 2 )[ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9]
? 3 ? 3k 2 3 3 . ? ? 1 ? 2k 2 2 2(1 ? 2k 2 )

? ?1 ? k ? 1 ,? 2 ?

???? ? ??? ? 3 3 ? ? 3 .? BM ? BN 的取值范围为 (2, 3] . 2 2 2(1 ? 2k )

8



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