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求数列通项公式常用的七种方法


求数列通项公式常用的七种方法
一、公 式 法 : 已 知 或 根 据 题 目 的 条 件 能 够 推 出 数 列 ?an ? 为 等 差 或 等 比 数 列 , 根 据 通 项 公 式

注: 解决这类问题的方法, 用具俗话说就是 “比着葫芦画瓢” , 由 s n 与 an 的关系式, 类比出 a n ?1 与 s n ?1 的关系式,然后两式作差,最后别忘了检验 a1 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法:当数列 ?an ? 中有 an ? an?1 ? f ?n? ,即第 n 项与第 n ? 1 项的差是个有“规律”的数时,就 可以用这种方法. 例 4:

an ? a1 ? ?n ?1?d 或 an ? a1q n?1 进行求解.
例 1:已知 ?an ? 是一个等差数列,且 a 2 ? 1, a5 ? ?5 ,求 ?an ? 的通项公式. 分析:设数列 ?an ? 的公差为 d ,则 ?

?a1 ? d ? 1 ?a1 ? 3 解得 ? ?d ? ?2 ?a1 ? 4d ? ?5

a1 ? 0, an?1 ? an ? 2?n ? 1? ,求通项 an
? a2 ? a1 ? 1

分析:? an?1 ? an ? 2n ? 1

a3 ? a2 ? 3

a4 ? a3 ? 5

? an ? a1 ? ?n ? 1?d ? ?2n ? 5
二、前 n 项和法:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 s n 的解析式,求 an . 例 2:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 sn ? 2 n ? 1 ,求通项 an . 分析:当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 = 2 ? 3 ? 2
n

┅ an ? an?1 ? 2n ? 3

?n ? 2?
2

以上各式相加得 an ? a1 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ?? ?2n ? 3? ? ?n ?1? 又 a1 ? 0 ,所以 an ? ?n ? 1?
2

?n ? 2?
2

?n ? 2? ,而 a1 ? 0 也适合上式,

? an ? ?n ?1?

?n ? N ?
?

?

? ?

n?1

? 3 = 2 n ?1

?

五、累乘法:它与累加法类似 ,当数列 ?an ? 中有 律”的数时,就可以用这种方法. 例 5: a1 ? 1, an ?

而 a1 ? s1 ? ?1 不适合上式,? an ? ?

?? 1?n ? 1?
n?1 ?2 ?n ? 2?

an ? f ? n ? ,即第 n 项与第 n ? 1 项的商是个有“规 an ?1

三、 s n 与 an 的关系式法:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 s n 与通项 an 的关系式,求 an . 例 3:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 s n 满足 a n ?1 ? 分析:? sn ? 3an?1 ① ①-② 得

n an ?1 n ?1

? n ? 2, n ? N ?
?

求通项 an

1 s n ,其中 a1 ? 1 ,求 an . 3

分析:? an ?

? sn?1 ? 3an

?n ? 2?

n a n an ?1 ? n ? n ?1 an ?1 n ? 1

? n ? 2, n ? N ?
?

② 故 an ? a1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?

an ? 3an?1 ? 3an

? 4an ? 3an?1

a a a a1 a2 a3

an 2 3 4 n ? 1? ? ? ? ?? ?n an?1 1 2 3 n ?1

? n ? 2, n ? N ?
?

a 4 即 n ?1 ? an 3

?n ? 2?

1 1 又 a 2 ? s1 ? a1 不适合上式 3 3

? 而 a1 ? 1 也适合上式,所以 an ? n n ? N

?

?

六、构造法: ㈠、 一次函数法: 在数列 ?an ? 中有 an ? kan?1 ? b( k , b 均为常数且 k ? 0 ) ,从表面形式上来看 an 是 关于 an ?1 的“一次函数”的形式,这时用下面的方法: 一般化方法:设 an ? m ? k ? an?1 ? m? 则 an ? kan?1 ? ? k ?1? m 而 an ? kan?1 ? b

4 ? 数列 ?an ? 从第 2 项起是以 为公比的等比数列 3

? 4? ? an ? a2 ? ? ?3?

n ?2

1? 4? ? ? ? 3? 3?

n?2

?n ? 2?

?1?n ? 1? ? ? a n ? ? 1 ? 4 ? n?2 ? 3 ? 3 ? ?n ? 2 ? ? ? ?

? b ? ? k ?1? m 即 m ?

b k ?1

故 an ?

b b ? ? ? k ? an ?1 ? ? k ?1 k ?1 ? ?

lg an ? lg an?12 ? 2lg an?1 即

lg an ?2 lg an ?1
n?1

? 数列 ?lg an ? 是以 lg 3 为首项,以 2 为公比的等比数列

b ? ? ? 数列 ?an ?1 ? ? 是以 k 为公比的等比数列,借助它去求 an k ? 1? ?
例 6:已知 a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1

故 lg an ? 2n?1 lg3 ? lg32

? an ? 32

n?1

? n ? 2, n ? N ?
?

求通项 an

七、 “ an?1 ? ban ? c m ( b, c 为常数且不为 0 , m, n ? N * ) ”型的数列求通项 an . 例 9:设数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,已知 a1 ? a, an?1 ? sn ? 3n , n ? N * ,求通项 an . 解:? an?1 ? sn ? 3n 两式相减得

分析:? an ? 2an?1 ? 1

? an ?1 ? 2an?1 ? 2 ? 2 ? an?1 ?1?

?an ? sn?1 ? 3n?1


?n ? 2?
an?1 ? 2an ? 2 ? 3n?1

? 数列 ?an ?1? 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列 ? an ?1 ? ? a1 ?1? ? 2n?1 ? 2n
㈡、取倒数法:这种方法适用于 an ? 故 an ? 2n ? 1
?

an?1 ? an ? an ? 2 ? 3n?1
n ?1

上式两边同除以 3 令 cn ?

ka n?1 man ?1

, ? n ? 2, n ? N ? ( k , m, p 均为常数 m ? 0 ) ?p

an 得 3n

c n ?1

a n?1 2 a n 2 ? ? ? (这一步是关键) 3n ?1 3 3n 9 2 2 ? cn ? 3 9


两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 an ? kan?1 ? b 的式子. 例 7:已知 a1 ? 2, an ?

? cn?1 ?

2 ? 3

2? 2? ? cn ? ? 3? 3?

?n ? 2?

(想想这步是怎么得来的)

2an ?1 an ?1 ? 2

? n ? 2, n ? N ?
?

求通项 an

2 2 a ?3 2? ? 为首项,以 为公比的等比数列 ? 数列 ?c n ? ? 从第 2 项起,是以 c 2 ? ? 3 3 9 3? ?

? an ?

2an ?1 an ?1 ? 2

?

1 1 1 1 an?1 ? 2 1 1 ? ? ? ? 即 ? an an?1 2 an 2an?1 an?1 2

? n ? 2, n ? N ?
?

2 ? 2 ?? 2 ? 故 cn ? ? ? c2 ? ?? ? 3 ? 3 ?? 3 ?
? cn ? ?a ? 3? 2 n?2 2 ? 3 3n

n?2

a ?3? 2? ? ? ? 9 ?3?
又 cn ?

n ?2

? ?a ? 3?

2 n ?2 3n

?1? 1 1 ? 数列 ? ? 是以 为首项,以 为公差的等差数列 2 2 ? an ?

an ,所以 an ? ?a ? 3? ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 n 3

?

1 1 1 n ? ? ? n ? 1? ? ? an 2 2 2
k l

? an ?

2 n

? a1 ? a 不适合上式
m

?a?n ? 1? ? an ? ? n?2 n ?1 ??a ? 3? ? 2 ? 2 ? 3 ?n ? 2?
*

㈢、取对数法:一般情况下适用于 an ? an?1 ( k , l 为非零常数) 例 8:已知 a1 ? 3, an ? an?1
2

注:求 an?1 ? ban ? c ( b, c 为常数且不为 0 , m, n ? N ) ”型的数列求通项公式的方法是等式的 两边同除以 c 便可求出
n ?1

? n ? 2?
2

求通项 an

,得到一个“ an ? kan?1 ? b ”型的数列,再用上面第六种方法里面的“一次函数法”

分 析 : 由 a1 ? 3, an ? an?1

? n ? 2? 知 an ? 0 ? 在 an ? an?12 的 两 边 同 取 常 用 对 数 得

an n n 的通式,从而求出 an .另外本题还可以由 an?1 ? sn ? 3 得到 sn?1 ? sn ? sn ? 3 即 n c

sn?1 ? 2sn ? 3n ,按照上面求 an 的方法同理可求出 s n ,再求 an .您不不妨试一试.

除了以上七种方法外,还有嵌套法(迭代法) 、归纳猜想法等,但这七种方法是经常用的,将其总结 到一块,以便于学生记忆和掌握.



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