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高中数学(苏教版选修2-3)双基达标训练:2.5.1 离散型随机变量的均值


2.5 2.5.1

随机变量的均值和方差 离散型随机变量的均值

双基达标
数的数学期望为________. 解析

?限时15分钟?

1.设 15 000 件产品中有 1 000 件次品,从中抽取 150 件进行检查,则查得次品

设查得的次品数为随机变量 X,

1? 1 ? 由题意得 X~B?150,15?,所以 E(X)=150×15=10. ? ? 答案 10

2.随机变量 X 的分布列为 X P 则 E(3X+4)=________. 解析 ∵E(X)=1×0.5+2×0.2+4×0.3=2.1, 1 0.5 2 0.2 4 0.3

∴E(3X+4)=3E(X)+4=6.3+4=10.3 答案 10.3

3.某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者,若用随 机变量 X 表示选出的志愿者中女生的人数, 则数学期望 E(X)=________(结果 用最简分数表示). 解析 X 的可能取值为 0,1,2,

1 C2 C1 5 10 5C2 10 P(X=0)=C2=21,P(X=1)= C2 =21, 7 7

C2 1 2 P(X=2)=C2=21, 7 10 10 1 4 ∴E(X)=21×0+21×1+21×2=7. 答案 4 7

4.若随机变量 X~B(n,0.6),且 E(X)=3,则 P(X=1)的值是________. 解析 E(X)=n×0.6=3,∴n=5,

1 4 4 ∴P(X=1)=C1 5(0.6) ×0.4 =3×0.4 .

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答案

3×0.44

5.随机变量 X 的分布列是 X P 4 0.3 7 a 9 b 10 0.2

E(X)=7.5,则 a=________,b=________. 解析 由 E(X)=4×0.3+7a+9b+10×0.2=7.5,

得 7a+9b=4.3, 又 a+b+0.3+0.2=1,∴a+b=0.5. 解得 a=0.1,b=0.4. 答案 0.1 0.4

6.某广场上有 4 盏装饰灯,晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯,每盏灯出现 2 1 红灯的概率都是3, 出现绿灯的概率都是3.记这 4 盏灯中出现红灯的数量为 X, 当这排装饰灯闪烁一次时: (1)求 X=2 时的概率; (2)求 X 的数学期望. 解 (1)依题意知: X=2 表示 4 盏装饰灯闪烁一次时, 恰好有 2 盏灯出现红灯,

2 而每盏灯出现红灯的概率都是3, 8 2?2?2?1?2 ?3? ?3? = . 故 X=2 时的概率 P=C4 ? ? ? ? 27 (2)法一 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,依题意知

?2?k?1?4-k P(X=k)=Ck (k=0,1,2,3,4). 4?3? ?3? ? ?? ? ∴X 的概率分布列为 X P 0 1 81 1 8 81 2 8 81 3 32 81 4 16 81

1 8 8 32 16 8 ∴数学期望 E(X)=0×8+1×81+2×81+3×81+4×81=3. 法二 2? ? ∵X 服从二项分布,即 X~B?4,3?, ? ?

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2 8 ∴E(X)=4×3=3.

综合提高

?限时30分钟?

7.投掷两个骰子,至少有一个 4 点或 5 点出现时,就说这次试验成功,则在 10 次试验中,成功次数 X 的期望是________. 解析 4 4 5 在一次试验中成功的概率为 1-6×6=9,

5? 5 50 ? ∵X~B?10,9?,∴E(X)=np=10×9= 9 . ? ? 答案 50 9

8.某公司有 5 万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利 12%;如 果失败, 一年后将丧失全部资金的 50%.下表是过去 200 例类似项目开发的实 施结果: 投资成功 192 例 投资失败 8例

则该公司一年后估计可获收益的数学期望是________元. 解析 由题意知,一年后获利 6 000 元的概率为 0.96,获利-25 000 元的概

率为 0.04, 故一年后收益的期望是 6 000×0.96+(-25 000)×0.04=4 760(元). 答案 4 760

9.一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为 0.6,现有 4 颗子 弹,射击停止后尚余子弹的数目 X 的数学期望值为________. 解析 X 的所有可能取值为 3,2,1,0,其分布列为 X P 3 0.6 2 0.24 1 0.096 0 0.064

∴E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376. 答案 2.376

10.设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=pk(1-p)1-k(k=0.1,0<p<1),则 E(X)= ________. 解析 答案 X 服从两点分布,∴E(X)=1-p. 1-p

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11.在高中“自选模块”考试中,某考场的每位同学都选了一道数学题,第一小 组选《数学史与不等式选讲》的有 1 人,选《矩阵变换和坐标系与参数方程》 的有 5 人,第二小组选《数学史与不等式选讲》的有 2 人,选《矩阵变换和 坐标系与参数方程》的有 4 人,现从第一、第二两小组各任选 2 人分析得分 情况 . (1)求选出的 4 人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率; (2)设 X 为选出的 4 个人中选《数学史与不等式选讲》的人数,求 X 的分布列 和数学期望. 解 (1)设“从第一小组选出的 2 人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》”

为事件 A, “从第二小组选出的 2 人均选 《矩阵变换和坐标系与参数方程》 ” 为事件 B. 由于事件 A、B 相互独立, C2 C2 5 2 4 2 所以 P(A)=C2=3,P(B)=C2=5,
6 6

所以选出的 4 人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率为 P(A· B)= 2 2 4 P(A)· P(B)=3×5=15. (2)X 可能的取值为 0,1,2,3,则
1 1 2 4 C2 C4 C1 5 C2· 5 C4 22 P(X=0)=15,P(X=1)=C2· C2 +C2· C2=45, 6 6 6 6

C1 1 5 1 P(X=3)=C2· 2= . C 45
6 6

2 P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=9. 故 X 的分布列为 X P 0 4 15 1 22 45 2 2 9 3 1 45

4 22 2 1 所以 X 的数学期望 E(X)=0×15+1×45+2×9+3×45=1 (人). 12.第 16 届亚运会于 2010 年 11 月 12 日在广州举办,运动会期间来自广州大学 和中山大学的共计 6 名大学生志愿者将被随机平均分配到跳水、篮球、体操

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3 这三个比赛场馆服务,且跳水场馆至少有一名广州大学志愿者的概率是5. (1)求 6 名志愿者中来自广州大学、中山大学的各有几人? (2)设随机变量 X 为在体操比赛场馆服务的广州大学志愿者的人数, 求 X 的分 布列及均值. 解 (1)记“至少一名广州大学志愿者被分到跳水比赛场馆”为事件 A,则 A

的对立事件为“没有广州大学志愿者被分到跳水比赛场馆”, 设有广州大学志愿者 x 人(1≤x<6),
2 C2 6-xC4 3 则 P(A)=1- C2C2 =5,即 x2-11x+18=0, 6 4

解得 x=2 或 x=9(舍去), 即来自广州大学的志愿者有 2 人,来自中山大学的志愿者有 4 人. (2)X 的所有可能取值为 0,1,2.
2 1 2 C2 C1 8 4C4 2 2C4C4 P(X=0)=C2C2=5,P(X=1)= C2C2 =15, 6 4 6 4

C2 1 4 P(X=2)=C2C2=15. 6 4 故 X 的分布列为 X P 0 2 5 1 8 15 2 1 15

2 8 1 2 从而 E(X)=0×5+1×15+2×15=3(人). 13.(创新拓展)某地位于甲、乙两条河流的交汇处,根据统计资料预测,今年汛 期甲河流发生洪水的概率为 0.25, 乙河流发生洪水的概率为 0.18(假设两河流 发生洪水与否互不影响).现有一台大型设备正在该地工作,为了保护设备, 施工部门提出以下三种方案: 方案 1:运走设备,此时需花费 4 000 元; 方案 2:建一保护围墙,需花费 1 000 元,但围墙只能抵御一个河流发生的洪 水,当两河流同时发生洪水时,设备仍将受损,损失约 56 000 元; 方案 3:不采取措施,此时,当两河流都发生洪水时损失达 60 000 元,只有 一条河流发生洪水时,损失为 10 000 元.

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(1)试求方案 3 中损失费 X(随机变量)的分布列; (2)试比较哪一种方案好. 解 (1)在方案 3 中,记“甲河流发生洪水”为事件 A,“乙河流发生洪水”

为事件 B,则 P(A)=0.25,P(B=0.18),所以有且只有一条河流发生洪水的概 率为 P(A·B + A · B)=P(A)· P( B )+P( A )· P(B)=0.34,两河流同时发生洪水 的概率为 P(A· B)=0.045,都不发生洪水的概率为 P( A ·B )=0.75×0.82= 0.615,设损失费为随机变量 X,则 X 的分布列为 X P 10 000 0.34 60 000 0.045 0 0.615

(2)对方案 1 来说,花费 4 000 元;对方案 2 来说,建围墙需花费 1 000 元, 它只能抵御一条河流的洪水,但当两河流都发生洪水时,损失约 56 000 元, 而两河流同时发生洪水的概率为 P=0.25×0.18=0.045.所以,该方案中可能 的花费为 1 000+56 000×0.045=3 520(元). 对于方案 3:损失费的数学期望为 E(X)=10 000×0.34+60 000×0.045=6 100(元), 比较可知,方案 2 最好,方案 1 次之,方案 3 最差.

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