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2013届高考数学一轮复习精品学案:第27讲 正、余弦定理及应用


2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第 27 讲 正、余弦定理及应用
一.课标要求:
(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决 一些简单的三角形度量问题; (2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实 际问题。

二.命题走向
对本讲内容的考察主

要涉及三角形的边角转化、 三角形形状的判断、 三角形内三角函数 的求值以及三角恒等式的证明问题,立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。 今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架,以三角形为主要依托,结合实际应用 问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题,也可能是中、难度的解 答题。

三.要点精讲
1.直角三角形中各元素间的关系: 如图,在△ ABC 中,C=90° ,AB=c,AC=b, BC=a。 (1)三边之间的关系:a2+b2=c2。(勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90° ; (3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) sinA=cosB=

a b a ,cosA=sinB= ,tanA= 。 c c b

2.斜三角形中各元素间的关系: 如图 6-29,在△ ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 (1)三角形内角和:A+B+C=π。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。

a b c ? ? ? 2R 。 sin A sin B sin C
(R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的

余弦的积的两倍。 a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC。 3.三角形的面积公式:

1 1 1 aha= bhb= chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高); 2 2 2 1 1 1 (2)△ = absinC= bcsinA= acsinB; 2 2 2
(1)△ = (3)△ =

a 2 sin B sin C b 2 sin C sin A c 2 sin A sin B = = ; 2 sin(B ? C ) 2 sin(C ? A) 2 sin( A ? B )

(4)△ =2R2sinAsinBsinC。(R 为外接圆半径) (5)△ =

abc ; 4R
? ? 1 ? (a ? b ? c) ? ; 2 ?

(6)△ = s( s ? a)( s ? b)( s ? c) ; ? s ? (7)△ =r· s。

4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少 有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三 角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般 可分为下面两种情形:若给出的三角形是直角三角形,则称为解直角三角形;若给出的三角 形是斜三角形,则称为解斜三角形。 解斜三角形的主要依据是: 设△ ABC 的三边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C。 (1)角与角关系:A+B+C = π; (2)边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b,a-b < c,b-c < a,c-a > b; (3)边与角关系: 正弦定理

a b c ? ? ? 2R (R 为外接圆半径); sin A sin B sin C
b2 ? c2 ? a2 sin A a 。 ? , cos A ? 2bc sin B b

余弦定理 c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 = b2+c2-2bccosA; 它们的变形形式有:a = 2R sinA, 5.三角形中的三角变换 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的 特点。

(1)角的变换 因为在△ ABC 中, A+B+C=π, 所以 sin(A+B)=sinC; cos(A+B)=-cosC; tan(A+B)=-tanC。

sin

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; 2 2 2 2
(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。

r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半。 (3)在△ ABC 中,熟记并会证明:∠A,∠B,∠C 成等差数列的充分必要条件是 ∠B=60° ;△ ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A,∠B,∠C 成等差数列且 a,b,c 成 等比数列。

四.典例解析
题型 1:正、余弦定理 例 1.(1)在 ?ABC 中,已知 A ? 32.00 , B ?81.80 , a ? 42.9 cm,解三角形; (2)在 ?ABC 中,已知 a ? 20 cm, b ? 28 cm, A? 400 ,解三角形(角度精确到 10 ,边 长精确到 1cm)。 解析:(1)根据三角形内角和定理,

C ?1800 ? ( A ? B) ?1800 ? (32.00 ? 81.80 ) ? 66.20 ;
根据正弦定理,

b?

asin B 42.9sin81.80 ? ?80.1(cm) ; sin A sin32.00 asin C 42.9sin66.20 ? ? 74.1(cm). sin A sin32.00

根据正弦定理,

c?

(2)根据正弦定理,

sin B ?

bsin A 28sin400 ? ? 0.8999. a 20

因为 00 < B < 1800 ,所以 B ? 640 ,或 B ?1160. ①当 B ? 640 时,

C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (400 ? 640 ) ? 760 ,

c?

asin C 20sin760 ? ? 30(cm). sin A sin400

②当 B ?1160 时,

0 C ?1 8 0 ? A ( ? B )? 1 08 0 ?

0

( 4? 0

0

asin C 20sin240 0 1 1?6, )c ?2 4 ? ?13(cm). sin A sin400

点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两 解的情形;(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2.(1)在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 600 ,求 b 及 A; (2)在 ? ABC 中,已知 a ?134.6cm , b ?87.8cm , c ?161.7cm ,解三角形 解析:(1)∵ b2 ? a2 ? c2 ? 2accos B = (2 3)2 ? ( 6 ? 2)2 ? 2?2 3 ?( 6 ? 2) cos 450 = 12 ? ( 6 ? 2)2 ? 4 3( 3 ?1) =8 ∴ b ? 2 2. 求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: 解法一:∵cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 (2 2) 2 ? ( 6 ? 2 ) 2 ? (2 3) 2 1 ? ? , ∴ A? 600. 2bc 2 2? 2 2 ? ( 6 ? 2)

a 2 3 解法二:∵sin A ? sin B ? ?sin450 , b 2 2
又∵ 6 ? 2 > 2.4 ?1.4 ?3.8, 2 3 < 2?1.8?3.6, ∴ a < c ,即 00 < A < 900, ∴ A? 600. (2)由余弦定理的推论得: cos A ?

b2 ? c2 ? a2 87.82 ?161.72 ?134.62 ? 0.5543, ? 2bc 2?87.8?161.7

A?56020? ;
cos B ?

c2 ? a 2 ?b2 134.62 ?161.72 ?87.82 ? 0.8398, ? 2ca 2?134.6?161.7

B ?32053? ;
C ?1800 ? ( A? B) ?1800 ? (56020? ? 32053?) ? 90047?.
点评:应用余弦定理时解法二应注意确定 A 的取值范围。 题型 2:三角形面积 例 3.在 ?ABC 中,sin A ? cos A ?

2 , AC ? 2 , AB ? 3,求 tan A 的值和 ?ABC 2

的面积。 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。

? sin A ? cos A ? 2 cos(A ? 45 ? ) ? 1 ? cos(A ? 45 ? ) ? . 2

2 , 2

又 0? ? A ? 180? , ? A ? 45 ? 60 , A ? 105 .
? ? ?

? tan A ? tan(45? ? 60? ) ?

1? 3 ? ?2 ? 3 , 1? 3
2? 6 . 4

sin A ? sin105 ? ? sin(45 ? ? 60 ? ) ? sin 45 ? cos 60 ? ? cos 45 ? sin 60 ? ?

S ?ABC ?

1 1 2? 6 3 AC ? AB sin A ? ? 2 ? 3 ? ? ( 2 ? 6) 。 2 2 4 4

解法二:由 sin A ? cos A 计算它的对偶关系式 sin A ? cos A 的值。

? s i nA ? cos A ?

2 2



?( s i n A?c o s A) 2 ? ?2s i n Ac o s A??

1 2

1 2 ? ? ? 0 ? A ? 1 8 0 ,? s i n A ? 0, c o s A ? 0.

?( s i n A?c o s A) 2 ? 1 ? 2 s i n Ac o s A?
? s i nA ? cos A ? 6 2 s iA n?


3 , 2

① + ② 得

2? 6 。 4

① - ② 得

cos A ?

2? 6 。 4

从而

tan A ?

sin A 2? 6 4 ? ? ? ?2 ? 3 。 cos A 4 2? 6

以下解法略去。

点评:本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,着重数学考查运算 能力,是一道三角的基础试题。两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简单呢? 例4.已知ΔABC的三个内角A、B.C成等差数列,其外接圆半径为1,且有

sin A ? sin C ?

2 2 。(1)求A、B.C的大小;(2)求ΔABC的的面积。 cos( A ? C ) ? 2 2

解析:∵A+B+C=180° 且2B=A+C,∴B=60° ,A+C=120° ,C=120° -A。 ∵ sin A ? sin C ?

2 2 , cos( A ? C ) ? 2 2



1 3 2 2 sin A ? cos A ? [1 ? 2 sin 2 ( A ? 60 0 )] = , 2 2 2 2 2 . 2

? sin(A ? 60 0 )[1 ? 2 sin(A ? 60 0 )] ? 0,? sin(A ? 60 0 ) ? 0或 sin(A ? 60 0 ) ?
又∵0° <A<180° ,∴A=60° 或A=105° , 当A=60° 时,B=60° ,C=60° ,

此时 S ? ?

1 1 3 3 ac sin B ? ? 4 R 2 sin 3 600 ? ; 2 2 4 1 1 3 ac sin B ? ? 4 R 2 sin1050 sin150 sin 600 ? . 2 2 4

当A=105° 时,B=60° ,C=15° ,

此时 S ? ?

点评:要善于借助三角形内的部分变形条件,同时兼顾三角形的面积公式求得结果。 题型 3:与三角形边角相关的问题 例 5.(1)△ ABC 中, A ? A. 4 3 sin( B ? C. 6sin( B ?

?
3

, BC ? 3, 则△ ABC 的周长为(
B. 4 3 sin( B ? D. 6sin( B ?



?
3

)?3

?
6

)?3

?
3

)?3

?
6

)?3
2 5 ,求( 1 ) BC ? ? ( 2 )若点 5

( 2 )在 ?ABC中,?B ? 45?, AC ? 10, cos C ?

D是AB的中点,求中线CD的长度。
解析:(1)答案:D 解析:在 ?ABC 中,由正弦定理得:

AC 3 ? , 化简得 AC= 2 3 sin B, sin B 3 2

AB sin[? ? ( B ?

?
3

? )

3 3 2

,化简得 AB= 2 3 sin(

2? ? B) , 3 2? ? B) 3

所以三角形的周长为:3+AC+AB=3+ 2 3 sin B + 2 3 sin( =3+ 3 3 sin B ? 3 cos B ? 6 sin(B ? (2)解:(1)由 cos C ?

?
6

) ? 3. 。故选 D。

2 5 5 , 得sin C ? 5 5 2 3 10 , sin A ? sin(180? ? 45? ? C ) ? (cos C ? sin C ) ? 2 10
BC ? AC 10 3 10 ? sin A ? ? ?3 2 , sin B 2 10 2

由正弦定理知

(2)

AB ?

AC 10 5 ? sin C ? ? ?2 1 , BD ? AB ? 1 。 sin B 2 5 2 2

由余弦定理知:

CD ? BD 2 ? BC 2 ? 2 BD ? BC cos B ? 1 ? 18 ? 2 ? 1 ? 3 2 ? 2 ? 13 2

点评:本题考查了在三角形正弦定理的的运用,以及三角公式恒等变形、化简等知识的 运用。 例 6.在锐角 △ABC 中,角 A ,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 sin A ? (1)求 tan
2

2 2 , 3

B?C A ? sin 2 的值;(2)若 a ? 2 , S△ ABC ? 2 ,求 b 的值。 2 2
2 2 1 ,所以 cosA= , 3 3

解析:(1)因为锐角△ ABC 中,A+B+C=?, sin A ? 则

B+C sin 2 B + C A 2 +sin 2 A tan 2 +sin 2 = 2 2 cos 2 B+C 2 2 1-cos (B+C) 1 1+cos A 1 7 = +( 1-cos A)= + = 1+cos(B+C) 2 1-cosA 3 3

(2) 因为S? ABC= 2,又S? ABC= bcsin A= bc ? 将 a=2,cosA=

1 2

1 2

2 2 ,则 bc=3。 3

1 3 2 2 2 ,c= 代入余弦定理: a =b +c -2bccos A 中, 3 b

得 b4-6b2+9=0 解得 b= 3 。 点评: 知道三角形边外的元素如中线长、 面积、 周长等时, 灵活逆用公式求得结果即可。 题型 4:三角形中求值问题 例 7. ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时,cos A ? 2cos 大值,并求出这个最大值。 B+C π A B+C A 解析:由 A+B+C=π,得 = - ,所以有 cos =sin 。 2 2 2 2 2 B+C A A A A 1 3 cosA+2cos =cosA+2sin =1-2sin2 + 2sin =-2(sin - )2+ ; 2 2 2 2 2 2 2 当 sin A 1 π B+C 3 = ,即 A= 时, cosA+2cos 取得最大值为 。 2 2 3 2 2

B?C 取得最 2

点评: 运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式, 通过三 角函数的性质求得结果。 例 8. 已知 A、 B、 C 是 ?ABC 三内角, 向量 m ? (?1, 3 ) n ? (cos A, sin A) , 且 m.n ? 1 , (Ⅰ)求角 A;(Ⅱ)若
1 ? sin 2 B ? ?3, 求tanC。 cos 2 B ? sin 2 B

解析:(Ⅰ)∵ m ? n ? 1 ∴ ?1, 3 ? ? cos A, sin A ? ? 1,即 3 sin A ? cos A ? 1 ,

?? ?

?

?

? 3 1? 1 , ? A? ? ? 2? ?? ; ? sin A ? 2 ? cos A ? 2 ? ? ? 1 sin ? 6 2 ? ? ? ?

5? ? ? ? ,∴ A ? ? ,∴ A ? 。 6 6 6 6 6 3 1 ? 2sin B cos B (Ⅱ)由题知 ? ?3 , cos 2 B ? sin 2 B
∵0 ? A ? ?,?

?

? A?

?

?

整理得 sin B ? sin B cos B ? 2cos B ? 0 ,∴ cos B ? 0 ∴ tan B ? tan B ? 2 ? 0 ;
2 2 2

∴ tan B ? 2 或 tan B ? ?1 ,而 tan B ? ?1 使 cos B ? sin B ? 0 ,舍去;
2 2

∴ tan B ? 2 。 点评:本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的 公式以及倍角公式,考察应用、分析和计算能力。

题型 5:三角形中的三角恒等变换问题 例 9.在△ ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数 列,且 a2-c2=ac-bc,求∠A 的大小及
b sin B 的值。 c

分析:因给出的是 a、b、c 之间的等量关系,要求∠A,需找∠A 与三边的关系,故可 用余弦定理。由 b2=ac 可变形为
b2 b sin B =a,再用正弦定理可求 的值。 c c

解法一:∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac。 又 a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc。
b2 ? c2 ? a2 bc 1 = = ,∴∠A=60° 。 2bc 2bc 2 b sin A 在△ ABC 中,由正弦定理得 sinB= ,∵b2=ac,∠A=60° , a

在△ ABC 中,由余弦定理得:cosA=



3 b sin B b 2 sin 60? =sin60° = 。 ? 2 c ac

解法二:在△ ABC 中, 由面积公式得
1 1 bcsinA= acsinB。 2 2

∵b2=ac,∠A=60° ,∴bcsinA=b2sinB。 ∴
3 b sin B =sinA= 。 2 c

评述:解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用 正弦定理。 例 10.在△ ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,求 tan 的值。 解析:因为 A、B、C 成等差数列,又 A+B+C=180° ,所以 A+C=120° , 从而

A C A C ? tan ? 3 tan tan 2 2 2 2

A?C A?C =60° ,故 tan ? 3 .由两角和的正切公式, 2 2

A C ? tan 2 2 ? 3。 得 A C 1 ? tan tan 2 2 tan
所以 tan

A C A C ? tan ? 3 ? 3 tan tan , 2 2 2 2

tan

A C A C ? tan ? 3 tan tan ? 3 。 2 2 2 2

点评:在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公式,将未知角变换为已知 角求解,同时结合三角变换公式的逆用。 题型 6:正、余弦定理判断三角形形状 例 11.在△ ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 答案:C 解析:2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC, ∴sin(A-B)=0,∴A=B 点评:本题考查了三角形的基本性质,要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形 方向,通畅解题途径。 例 12.如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则 ( ) B.直角三角形 D.等边三角形 )

A. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 解析: ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则 ?A1 B1C1 是锐角三角形,

? ? ? ? ? sin A2 ? cos A1 ? sin( 2 ? A1 ) ? A2 ? 2 ? A1 ? ? ? ? ? ? 若 ?A2 B2C2 是锐角三角形,由 ? sin B2 ? cos B1 ? sin( ? B1 ) ,得 ? B2 ? ? B1 , 2 2 ? ? ? ? ? ? ?sin C2 ? cos C1 ? sin( 2 ? C1 ) ?C2 ? 2 ? C1 ? ?
那么, A2 ? B2 ? C2 ?

?
2

,所以 ?A2 B2C2 是钝角三角形。故选 D。

点评: 解决此类问题时要结合三角形内角和的取值问题, 同时注意实施关于三角形内角 的一些变形公式。

题型 7:正余弦定理的实际应用 例 13.如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援, 同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ? , 相距 10 海里 C 处的乙船, 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度 精确到 1 ? )? 解 析 : 连 接 BC, 由 余 弦 定 理 得 BC2=202+102 - 2× 20× 10COS120° =700. 于是,BC=10 7 。 ∵ 10 ?C A 20 B ? 北

3 sin ACB sin120 ? ,∴sin∠ACB= , ? 7 20 10 7

∵∠ACB<90° ,∴∠ACB=41° 。 ∴乙船应朝北偏东 71° 方向沿直线前往 B 处救援。 点评:解三角形等内容提到高中来学习,又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换 要求的降低, 对三角的综合考查将向三角形中问题伸展, 但也不可太难, 只要掌握基本知识、 概念,深刻理解其中基本的数量关系即可过关。 例 14.如图,已知△ ABC 是边长为 1 的正三角形,M、 N 分别是 边 AB、AC 上的点,线段 MN 经过△ ABC 的中心 G, 设?MGA=?(
A

?
3

?? ?

2? ) 3
B

?
M D

N

(1) 试将△ AGM、 △ AGN 的面积 (分别记为 S1 与 S2) ; (2)表示为?的函数,求 y= 小值。

C

1 1 + 2 的最大值与最 2 S1 S2

解析: (1)因为 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心,所以

AG=

2 3 3 ? = , 3 2 3

?MAG =

3 GM GA ? ,由正弦定理 得 GM= , 则 S1 = = ? ? ? 6 6sin (?+ ) sin sin (?-?- ) 6 6 6

1 sin ? sin ? GM?GA?sin?= 。同理可求得 S2= 。 ? ? 2 12sin (?+ ) 12sin (?- ) 6 6
( 2 ) y=

1 1 144 ? ? 2 2 =72(3+cot2?)因为 + 2 = 2 〔sin( ?+ )+sin( ?- )〕 2 y1 y 2 sin ? 6 6

?
3

?? ?

2? , 3

所以当?= =216。

2? ? ? 或?= 时,y 取得最大值 ymax=240,当?= 时,y 取得最小值 ymin 3 3 2

点评:三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例。通过引入角度,将图形的 语 言转 化为三 角的 符号语 言, 再通过 局部的 换元 ,又 将问题 转化为 我们 熟知 的函数
f (t ) ? t ? 4 ,这些解题思维的拐点,你能否很快的想到呢? t

五.思维总结
1.解斜三角形的常规思维方法是: (1)已知两角和一边(如 A、B、C),由 A+B+C = π 求 C,由正弦定理求 a、b; (2)已知两边和夹角(如 a、b、c),应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求较 短边所对的角,然后利用 A+B+C = π,求另一角; (3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A),应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况; (4)已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π,求角 C。 2.三角形内切圆的半径: r ?

a ? b ? c斜 2S? ,特别地, r直 ? ; 2 a?b?c

3.三角学中的射影定理:在△ ABC 中, b ? a ? cosC ? c ? cos A ,… 4.两内角与其正弦值:在△ ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B ,… 5.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角 定理及几何作图来帮助理解”。


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