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广州市2007年普通高中毕业班综合测试(一)数学(文)


2007 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数 学(文 科)

本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上用 2B 铅笔将 答题卡上试卷类型(A)涂黑在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号,在“座位号列表”内填写座

位号,并用 2B 铅笔将相应的信息点涂黑 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答 的答案无效 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

第一部分
题目要求的. 1. 已知 i 是虚数单位, 复数 ?1 ? i ? ?
2

选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合

A. 2i

B. - 2i

C. 2 ? 2i

D. 2 ? 2i

2. 已知 m ?R, 向量 a ? ? m,1? ,若 a ? 2 ,则 m ? A. 1 B.

3

C. ?1

D. ? 3

3. 函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? x ?R? 的最小正周期是 A.

? 2

B.

?

C. 2?

D. 3?

、 4. 如图 1 所示, U 是全集, A B 是 U 的子集,则阴影 部分所表示的集合是
A. A ? B B. B ? ? A U

?

?

C. A ? B

D. A ? ? B U

?

?

5. 如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 A.

5 4

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

1

6. 如图 2 所示的算法流程图中(注:“ A ? 1 ”也可写成“ A :? 1 ”或“ A ? 1 ” ,均表示赋值语句),第 3 个输出的数是 A.1 C. 2 B.

3 2 5 D. 2

7. 某市 A 、 B 、 C 三个区共有高中学生 20000 人, 其中 A 区高中学生 7000 人,现采用分层抽样的 方法从这三个区所有高中学生中抽取一个容量为 600 人的样本进行学习兴趣调查,则 A 区应抽取 A. 200 人 B. 205 人 C. 210 人 D. 215 人 8. 下列函数中,既是偶函数又在 ? 0,??? 上单调递增的是 A. y ? x3 C. y ? B. y ? cos x D. y ? ln x 图2

1 x2

9. 如果一个几何体的三视图如图 3 所示(单位长度:cm) , 则此几何体的表面积是 A.

?80 ? 16 2 ? cm
2

2

B.

?96 ?16 2 ? cm
2

2

C. 96 cm

D. 112 cm

图3 10. 如图 4 所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai ?i ? 1,2,3,4? ,此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 hi ? i ? 1, 2,3, 4? ,若
4 a1 a2 a3 a4 2S ? ? ? ? k ,则 ? ? ihi ? ? .类比以上性质, 1 2 3 4 k i ?1

体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si ?i ? 1,2,3,4? , 此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离 记 为 Hi ? i ? 1, 2,3, 4? ,若
4 S1 S 2 S3 S 4 ? ? ? ? K , 则 ? ? iH i ? ? 1 2 3 4 i ?1

A.

4V K

B.

3V K

C.

2V K

D.

V K

图4

第二部分 非选择题(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,其中 11~13 题是必做题,14~15 题是选做题.每小题 5 分,满分 20 分. 11.命题“若 m ? 0, 则方程 x ? x ? m ? 0 有实数根”的逆命题是
2



12. 双 曲 线 的 中 心 在 坐 标 原 点 , 离 心 率 等 于 2 , 一 个 焦 点 的 坐 标 为 ?2,0? , 则 此 双 曲 线 的 方 程
2





? x ? y ? 2 ? 0, ? 13.不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 所确定的平面区域记为 D .若点 ? x, y ? 是区域 D 上的点, ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?
则 2x ? y 的最大值是 ; 若圆 O : x2 ? y 2 ? r 2 上的所有点都在区域 D 上,则圆 O 的

面积的最大值是 ▲选做题:在下面两道小题中选做一题,两道都选的只计算第 14 题的得分. 14. 如图 5 所示,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D ,

CD ? 4, BD ? 8 ,则圆 O 的半径等于



15. 在极坐标系中,圆 ? ? 2 上的点到直线 ? cos? ? 3 sin ? ? 6 的距离的最小值是 .

?

?

图5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16.(本小题满分 12 分) 已知 sin ? ?

3 ? ?? , ? ? ? 0, ? ,求 tan ? 和 cos 2? 的值. 5 ? 2?

17.(本小题满分 14 分) 如图 6 所示,在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AB ? BC ? 1, BB1 ? 2 , 1 连结 A1C 、 BD .(Ⅰ)求证: AC ? BD ; 1 (Ⅱ)求三棱锥 A1 ? BCD 的体积. 18.(本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ? 2 和 g ( x) ? x 的图像的示意图如图 7 所示,
x 3

图6

设两函数的图像交于点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 . (Ⅰ)请指出示意图中曲线 C1 , C2 分别对应哪一个函数? (Ⅱ)若 x1 ?[a, a ? 1] , x2 ?[b, b ? 1] ,且

a , b ??1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12? ,
指出 a , b 的值,并说明理由; (Ⅲ)结合函数图像的示意图,判断 f (6) , g (6) , f (2007) , 图7

g (2007) 的大小,并按从小到大的顺序排列.
3

19.(本小题满分 12 分)
* 某工厂日生产某种产品最多不超过 30 件,且在生产过程中次品率 p 与日产量 x ( x ? N )

件间的关系为

? x ? 20 0 ? x ? 15, ? 200 , ? p?? 2 ? x ? 300 , 15 ? x ? 30. ? 3000 ?
每生产一件正品盈利 2900 元,每出现一件次品亏损 1100 元. (Ⅰ)将日利润 y (元)表示为日产量 x (件)的函数; (Ⅱ)该厂的日产量为多少件时,日利润最大? ( 注:次品率p ?

次品个数 ? 100%, 正品率 ? 1 ? p ) 产品总数

20.(本小题满分 14 分) 已知圆 C :x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 , 直线 l :y ? kx , l 与圆 C 相交于 P 、 两点, M ? 0, b ? , 且 点 Q 且 MP ? MQ . (Ⅰ)当 b ? 1 时,求 k 的值; (Ⅱ)当 b ? ?1, ? ,求 k 的取值范围. 21.(本小题满分 14 分) 设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意 n?N 总有 Sn ? qan ? 1? q ? 0, q ? 1? , m, k ? N *, 且 m ? k .
*

? 3? ? 2?

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (Ⅱ)试比较 Sm? k 与

1 ? S2 m ? S2 k ? 的大小; 2

(Ⅲ)当 q ? 1 时,试比较

2 Sm?k



1 1 的大小. ? S2 m S2 k

4

2007 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算 共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题 号 答 案 (1) A (2) D (3) C (4) B (5) B (6) C (7) C (8) D (9) A (10) B

二、填空题: 本大题主要考查基本知识和基本运算. 本大题共 5 小题,其中 11~13 题是必做题,14~15 题是选做题. 每小题 5 分,满分 20 分. 第 13 小题的第一个空 2 分、第二个空 3 分. 11.若方程 x ? x ? m ? 0 有实数根, 则 m ? 0
2

y2 ?1 12. x ? 3
2

13. 14 ;

4 ? 5

14. 5

15. 1

三、解答题 16. 本小题主要考查三角函数的诱导公式及和(差)角公式等基础知识,考查运算能力.满分 12 分. 解:

? sin ? ?

3 ? ?? 且 ? ? ? 0, ? , 5 ? 2?
2 2

4 ?3? ? cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ? ? ? . 5 ?5?
? tan ? ? sin ? 3 ? , cos ? 4
2
2

??4 分

??8 分

7 ?3? cos 2? ? 1 ? 2sin ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? . ? 5 ? 25

??12 分

17. 本小题主要考查空间线面关系,考查空间想象能力和推理运算能力.满分 14 分. (Ⅰ)证明:连 AC .∵ AB ? BC ,∴ BD ? AC . ?? 2 分 ∵ A1 A ? 底面 ABCD ,∴ BD ? A1 A . ?? 4 分 ∵ A1 A ? 平面 A1 AC, AC ? 平面 A1 AC ,

A1 A ? AC ? A ,∴ BD ? 平面A1 AC .
∴ BD ? AC . ??8 分 1 (Ⅱ)解:? A1 A ? 平面 BCD , ∴ V A1 ? BCD ?

?? 6 分

1 S ?BCD ? AA1 ??11 分 3 1 1 1 ? ? ? 1? 1? 2 ? . ?? 14 分 3 2 3
5

18. 本小题主要考查函数的概念、性质和图像及其应用,考查综合运用数学知识分析和解 决问题能力. 满分 14 分. 解: (Ⅰ) C1 对应的函数为 g ( x) ? x3 , C2 对应的函数为 f ( x) ? 2x . (Ⅱ) a ? 1 , b ? 9 . ??4 分 ??6 分

理由如下:令 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2x ? x3 ,则 x1 , x2 为函数 ? ( x) 的零点, 由于 ? (1) ? 1 ? 0 , ? (2) ? ?4 ? 0 , ? (9) ? 29 ? 93 ? 0 , ? (10) ? 210 ?103 ? 0 , 则方程 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的两个零点 x1 ? (1,2) x2 ? (9,10) , , 因此整数 a ? 1 , b ? 9 . ??9 分 ?11 分

(Ⅲ)从图像上可以看出,当 x1 ? x ? x2 时, f ? x ? ? g ? x ? ,∴ f (6) ? g (6) . 当 x ? x2 时, f ? x ? ? g ? x ? ,∴ g (2007) ? f (2007) , ??13 分

? g (6) ? g (2007) ,∴ f (6) ? g (6) ? g (2007) ? f (2007) .??14 分
19. 本小题主要考查函数和导数的应用,考查综合运用数学知识分析和解决实际问题能力.满分 12 分.

? x ? 20 ? x ? 20 ? 0 ? x ? 15, ? ? 2900 1 ? 200 ? x ? 1100? 200 ? x, ? ? ? 解: (Ⅰ) y ? ? 2 2 ? ? ?2900 1 ? x ? 300? x ? 1100? x ? 300 ? x, 15 ? x ? 30. ? ? ? 3000 ? 3000 ? ? ?
?2500x ? 20x 2 , 0 ? x ? 15, ? ?? 4 3 ? 2500x ? 3 x , 15 ? x ? 30. ?
2

??4 分

125? ? ? 125? (Ⅱ)当 0 ? x ? 15 时, y ? 2500x ? 20x ? ?20? x ? ? ? 20? ? ? . 2 ? ? ? 2 ?

2

2

? 当 x ? 15 时, y 取得最大值 33000(元).
' 2 当 15 ? x ? 30 时, y ? 2500? 4 x .
' 令 y ? 0 ,得 x ? 25 .

??6 分

' ' 当 15 ? x ? 25 时, y ? 0 ;当 25 ? x ? 30 时, y ? 0 .

? y ? 2500 x ?

4 3 x 在区间 ?15,25?上单调递增,在区间 ?25,30? 上单调递减. ??8 分 3 4 125000 3 故当 x ? 25 时, y 取得最大值是 2500 ? 25 ? ? 25 ? (元). ??10 分 3 3 125000 125000 ? 33000 ? ,? 当 x ? 25 时, y 取得最大值 (元). 3 3
答: 该厂的日产量为 25 件时, 日利润最大. ??12 分

6

20. 本小题主要考查直线和圆的位置关系, 考查综合运用数学知识分析和解决问题能力. 解: (Ⅰ)圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 ,当 b ? 1 时,点 M ? 0, b ? 在圆 C 上,
2 2

满分 14 分.

当且仅当直线 l 经过圆心 C 时, 满足 MP ? MQ .

??2 分

? 圆心 C 的坐标为 ?1,1? ,
(Ⅱ)由 ?

? k ? 1.

??4 分

? y ? kx, ? 2 2 消去 y 得: ?1 ? k ? x ? 2 ?1 ? k ? x ? 1 ? 0 . 2 2 ?? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1. ?
2 ?1 ? k ? 1 , x1 x2 ? . 2 1? k 1? k 2
?? 6 分



设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,? x1 ? x2 ?

? MP ? MQ ,? MP ? MQ ? 0 .

? ?x1 , y1 ? b? ? ?x2 , y2 ? b? ? 0 , 即 x1 x2 ? ? y1 ? b?? y2 ? b? ? 0 .? y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,

?? kx1 ? b?? kx2 ? b? ? x1x2 ? 0 , 即 ?1 ? k 2 ? x1 x2 ? kb ? x1 ? x2 ? ? b 2 ? 0 .
2 ?1 ? k ? 2 1 ? ?1 ? k ?? ? kb? ?b ? 0 , 1? k 2 1? k 2
2

??8 分

2k ?1 ? k ? b2 ? 1 1 ? ?b? . 即 2 1? k b b

令 f ?b? ? b ?

1 1 1 ? 3? ' ' , 则 f ? b ? ? 1 ? 2 .当 b ? ?1, ? 时, f ? b ? ? 1 ? 2 >0. b b b ? 2?
当 b ? ?1, ? 时, f ? b ? ? ? 2,

? 3? ? f ?b? 在区间 ?1, ? 上单调递增.? ? 2?

? 3? ? 2?

? 13 ? ?. ? 6?

??11 分

?2k ?1 ? k ? ? 2 ?1 ? k 2 ? , ?k ? 1, 2k ?1 ? k ? 13 ? ? ?2 ? ? .即 ? 解得 ? 2 13 2 1? k 6 ?k ? 6 ? 23或 k ? 6 ? 23. ? ?2k ?1 ? k ? ? ?1 ? k ? . 6 ?

?1 ? k ? 6 ? 23 或 k ? 6 ? 23 .
由①式得 ? ? ? 2 ?1 ? k ? ? ? 4 1 ? k ? ?
2

??13 分

?

2

? ? 0 , 解得 k ? 0 .

?1 ? k ? 6 ? 23 或 k ? 6 ? 23 .? k 的取值范围是 1, 6 ? 23 ? 6 ? 23, ?? .?14 分
21. 本小题主要考查数列的概念和不等式等知识,考查综合运用数学知识分析和解决问题能力.满分 14 分. 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? qa1 ? 1,? q ? 1,? a1 ?

?

? ?

?

1 . 1? q

??1 分

? Sn ? qan ? 1 ,


7

? Sn?1 ? qan?1 ? 1 .



②-①得 Sn?1 ? Sn ? qan?1 ? qan ,? an?1 ? qan?1 ? qan .

? ? q ? 1? an?1 ? qan ,? q ? 1,? an ?1 ?

q an . q ?1

??3 分
n ?1

1 ? q ? 1 q ?? ,公比为 的等比数列.? an ? ? 数列 ?an ? 是首项为 ? 1? q ? q ?1 ? 1? q q ?1 ? q ? q ?? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 S n ? qan ? 1 ? ? 1? q ? q ?1?

n ?1 n

. ??4 分

? q ? ?1 ? 1? ? ? . ??5 分 ? q ?1?

q ? t , 则 Sm?k ? 1 ? t m?k , S2m ? 1 ? t 2m , S2k ? 1 ? t 2k . q ?1

? Sm? k ?

1 1 ??7 分 ? S2m ? S2k ? ? ?1 ? t m?k ? ? ??1 ? t 2m ? ? ?1 ? t 2k ?? ? 2 2? 2 1 1 1 ? ?? t 2 m ? t 2 k ? ? 2t m ? k ? ? ? t m ? t k ? ? 0 .? Sm? k ? ? S2 m ? S2 k ? .??9 分 ? ? 2 2 2

(Ⅲ)当 q ? 1 时, t ?

q ? 1, ? m ? k , q ?1

? t 2 m ? t 2 k , 1 ? t 2m ? 0,1 ? t 2k ? 0,1 ? t m?k ? 0 .

? 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? 2 ?? ?? ? ? ?2 ? S2 m S2 k ? ? S2 m ? ? S2 k ? ? S2m ?? S2k ?

?t

2m

? 1?? t 2k ? 1?
??11 分
2

1



? 0< ? t 2 m ? 1?? t 2 k ? 1? ? t 2 m? 2 k ? ? t 2 m ? t 2 k ? ? 1 ? t 2 m? 2 k ? 2 t 2 m ? t 2 k ? 1 ? ?1 ? t m? k ? .
?

?t

2m

? 1?? t

1

2k

? 1?

?

1

?1 ? t m?k ?
1

2



??13 分

? 1 1 ? ??? ? ??2 ? S2 m S2 k ?
? 2 S m? k ?

?1 ? t m?k ?

2

?

2 t
m? k

?1

??

2 Sm ? k



1 1 ? . . ??14 分 S 2m S 2k

8


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