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3.2 一元二次不等式及其解法(一) 学案(人教A版必修5)


3.2

一元二次不等式及其解法(一)
自主学习

知识梳理 1.一元一次不等式 一元一次不等式经过变形,可以化成 ax>b (a≠0)的形式. (1)若 a>0,解集为________________;(2)若 a<0,解集为________________. 2.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示: 判别式 Δ=b2- 4ac 二次函数 y=ax2 +bx+c (a>0)的 图象 一元二次方程 ax2 +bx+c=0(a>0) 的根 ax2+bx+c>0 R (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 自主探究 一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间存在怎样的关系, 并利用这种关系解决下 2 面的问题:已知不等式 x -ax-b<0 的解集为{x|2<x<3},求 a、b 的值. Δ>0 Δ=0 Δ<0

对点讲练 知识点一 一元二次不等式的解法 例 1 求下列不等式的解集 (1)-2x2-x+1>0; (2)(x2-x-1)(x2-x+1)>0.

总结 一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”:第一步,化二次项的系数为正数; 第二步,求解相应的一元二次方程的根;第三步,根据根的情况结合图象写出一元二次不等 式的解集. 变式训练 1 求下列关于 x 的不等式的解集. (1)-x2+7x>6; (2)x2-(2m+1)x+m2+m<0.

知识点二 二、解含参数的一元二次不等式 例2 解关于 x 的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R).

总结 解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论.讨论一般分为三个层次, 第一层次是二次项系数为零和不为零;第二层次是有没有实数根的讨论,即判别式 Δ>0,Δ =0,Δ<0;第三层次是根的大小的讨论. 变式训练 2 解关于 x 的不等式 x2-(a+a2)x+a3>0.

知识点三 一元二次不等式与一元二次方程的关系 例3 1 ? ? 若不等式 ax2+bx+c≥0 的解集为?x|-3≤x≤2?,求关于 x 的不等式 cx2-bx+
? ?

a<0 的解集.

总结 利用根与系数关系寻找根之间的联系, 借此求出方程的根, 其中观察根与系数关 系的结构变化是解题的关键. 变式训练 3 已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|α<x<β}, 其中 0<α<β, a<0, 2 求 cx +bx+a>0 的解集.

1.解一元二次不等式可按照“一看,二算,三写”的步骤完成,但应注意,当二次项 系数为负数时,一般先化为正数再求解,一元二次不等式的解集是一个集合,要写成集 合的形式. 2.含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论,分类标准要明确,表达要有层次, 讨论结束后要进行总结. 3.由一元二次不等式 ax2+bx+c>0(或 ax2+bx+c<0 (a>0))的解集为{x|x<x1 或 x>x2}(或 {x|x1<x<x2} (x1<x2)),可得出 x1,x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两个实数根. 课时作业 一、选择题 1.不等式-6x2-x+2≤0 的解集是( ) 2 1? 2 1? ? ? A.?x|-3≤x≤2? B.?x|x≤-3或x≥2? ? ? ? ? 1? 3? ? ? C.?x|x≥2? D.?x|x≤-2? ? ? ? ? 2.不等式 f(x)=ax2-x-c>0 的解集为{x|-2<x<1},则函数 y=f(-x)的图象为(

)

3.函数 y=lg(x2-4)+ x2+6x的定义域是( ) A.(-∞,-2)∪[0,+∞) B.(-∞,-6]∪(2,+∞) C.(-∞,-2]∪[0,+∞) D.(-∞,-6)∪[2,+∞) 4.若不等式 mx2+2mx-4<2x2+4x 的解集为 R,则实数 m 的取值范围是(

)

A.(-2,2) B.(-2,2] C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,2) 2 5.已知 x1、x2 是方程 x2-(k-2)x+k2+3k+5=0(k∈R)的两个实数根,则 x2 1+x2的最大 值为( ) 5 A.18 B.19 C.5 D.不存在 9 1 2 3 4 5 题 号 答 案 二、填空题 6.二次函数 y=ax2+bx+c 的部分对应点如下表: x 0 1 2 3 4 -3 -2 -1 y 6 0 0 6 -4 -6 -6 -4 则不等式 ax2+bx+c>0 的解集是______________. 7.不等式-1<x2+2x-1≤2 的解集是________. 8.若函数 f(x)=lg(ax2-x+a)的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是________. 三、解答题 1 1? ? 9.已知 x2+px+q<0 的解集为?x|-2<x<3?,求不等式 qx2+px+1>0 的解集. ? ?

10.解关于 x 的不等式:ax2-2x+1>0.

§ 3.2
知识梳理 b? b? ? ? 1.(1)?x|x>a? (2)?x|x<a?
? ? ? ?

一元二次不等式及其解法(一)

b 2.(-∞,x1)∪(x2,+∞) {x|x∈R 且 x≠- } 2a {x|x1<x<x2} ? ? 自主探究 解 一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根.例如本题,方程

? ? ?2+3=a ?a=5 x2-ax-b=0 的根就是 2 和 3.∴? ,∴? . ?2×3=-b ?b=-6 ? ? 对点讲练 例 1 解 (1)由-2x2-x+1>0,得 2x2+x-1<0,因式分解得(x+1)(2x-1)<0,∴- 1 1<x< . 2 1? ? 即不等式的解集为?x|-1<x<2?. ? ? 1 3 2 2 ? (2)∵x -x+1=? ?x-2? +4>0, ∴(x2-x-1)(x2-x+1)>0. 即解不等式 x2-x-1>0, 1- 5 1+ 5 由求根公式知 x1= ,x2= . 2 2 ∴x2-x-1>0 的解集是 ? 1- 5 1+ 5? ?x|x< ?. 或x> 2 2 ? ? ? 1- 5 1+ 5? ?. ∴原不等式的解集为?x|x< 或x> 2 2 ? ? 变式训练 1 解 (1)∵-x2+7x>6,∴-x2+7x-6>0. ∴x2-7x+6<0,∴(x-1)(x-6)<0. ∴1<x<6,即不等式的解集是{x|1<x<6}. (2)x2-(2m+1)x+m2+m<0, 因式分解得(x-m)[x-(m+1)]<0. ∵m<m+1,∴m<x<m+1. 即不等式的解集为{x|m<x<m+1}. 例 2 解 原不等式移项得 ax2+(a-2)x-2≥0,化简为(x+1)(ax-2)≥0. 2 当 a=0 时,x≤-1;当 a>0 时,x≥ 或 x≤-1; a 2 当-2<a<0 时, ≤x≤-1; a 2 当 a=-2 时,x=-1;当 a<-2 时,-1≤x≤ . a 综上所述, 2 ? ? 当 a>0 时,解集为?x|x≥a或x≤-1?; ? ? 当 a=0 时,解集为{x|x≤-1}; ? 2 ? 当-2<a<0 时,解集为?x|a≤x≤-1?; ? ? 当 a=-2 时,解集为{x|x=-1}; 2? ? 当 a<-2 时,解集为?x|-1≤x≤a?. ? ? 2 变式训练 2 解 将不等式 x -(a+a2)x+a3>0 变形为 (x-a)(x-a2)>0. ∵a2-a=a(a-1). ∴当 a<0 或 a>1 时,a<a2,解集为{x|x<a 或 x>a2}. 当 0<a<1 时,a2<a,解集为{x|x<a2 或 x>a}. 当 a=0 或 1 时,解集为{x|x∈R 且 x≠a}. 综上知,当 a<0 或 a>1 时, 不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}; 当 0<a<1 时,不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a};

当 a=0 或 1 时,不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠a}. 1 ? ? 例 3 解 由 ax2+bx+c≥0 的解集为?x|-3≤x≤2?, ? ? 1 知 a<0,且关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的两个根分别为- ,2, 3 1 b - +2=- 3 a 5 2 ∴ ,∴b=- a,c=- a. 3 3 1 c - ×2= 3 a

? ? ?

所以不等式 cx2-bx+a<0 可变形为 ?-2a?x2-?-5a?x+a<0, ? 3 ? ? 3 ? 2 即 2ax -5ax-3a>0. 1 ? ? 又因为 a<0,所以 2x2-5x-3<0,所以所求不等式的解集为?x|-2<x<3?.
? ?
2

变式训练 3 解 ∵α、β 为方程 ax +bx+c=0 的两根, b c ∴α+β=- ,αβ= .∵a<0, a a c b ∴cx2+bx+a>0 同解变形为 x2+ x+1<0. a a 由根与系数关系将 α、β 代入,得 αβx2-(α+β)x+1<0. 1?? 1? 即 αβ? ?x-α??x-β?<0, 1 1 由 0<α<β,可知 > . α β 所以不等式 cx2+bx+a>0 的解集为 1? ? 1 ?x| <x< ?. α? ? β 课时作业 1.B 1 -2+1= ?a=-1, a ? 2.C [由已知 ?? c ?c=-2, ? -2×1=- a

? ? ?

y=f(-x)=ax2+x-c, 即 y=-x2+x+2,其图象为 C.] 3.B 4.B 5.A [由已知方程有两实数根得:Δ≥0, 4 解得-4≤k≤- , 3 2 2 2 又 x2 + x = ( x + x 1 2 1 2) -2x1x2=-(k+5) +19, 2 ∴当 k=-4 时,x2 1+x2有最大值,最大值为 18.] 6.{x|x<-2 或 x>3} 7.{x|-3≤x<-2 或 0<x≤1} 1 8.a> 2 解析 f(x)=lg(ax2-x+a)的定义域为 R. 1 ∴a>0 且 Δ=1-4a2<0,∴a> . 2 1 1? ? 2 9.解 ∵x +px+q<0 的解集为?x|-2<x<3?, ? ?

1 1 ∴- , 是方程 x2+px+q=0 的两实数根, 2 3 1 1 - =-p 3 2 由根与系数的关系得 , 1 ? 1? ×?-2?=q 3

? ? ?

?p=6 ∴? 1 ?q=-6

1



1 1 ∴不等式 qx2+px+1>0 可化为- x2+ x+1>0,即 x2-x-6<0, 6 6 ∴-2<x<3, ∴不等式 qx2+px+1>0 的解集为{x|-2<x<3}. 10.解 ①当 a=0 时,不等式即-2x+1>0, 1? ? ∴解集为?x|x<2?; ? ? ②当 a<0 时,Δ=4-4a>0, 2 1 此时不等式为 x2- x+ <0, a a 1- 1-a 1+ 1-a 2 1 由于方程 x2- x+ =0 的两根分别为 、 , a a a a 1- 1-a 1+ 1-a 且 > , a a ∴不等式的解集为 ? 1+ 1-a 1- 1-a? ?x| ?; <x< a a ? ? 2 1 ③当 a>0 时,若 0<a<1,则 Δ>0,此时不等式即 x2- x+ >0. a a 1- 1-a 1+ 1-a ∵ < , a a ∴当 0<a<1 时,不等式解集为 ? 1- 1-a 1+ 1-a? ?x|x< ?. 或x> a a ? ? 若 a=1,则不等式为(x-1)2>0, ∴当 a=1 时,不等式解集为{x|x∈R 且 x≠1}; 若 a>1 时,则 Δ<0,不等式解集为 R. 综上所述,当 a<0 时,不等式的解集为 ? ? ?1+ 1-a ? 1- 1-a? ?x? ?; <x< a a ? ? ? ? ? ? 1 ? x< ?; 当 a=0 时,不等式的解集为?x? ? ? 2 ? 当 0<a<1 时,不等式的解集为 ? ? 1- 1-a ? ? 1+ 1-a? ?x?x< ?; 或x> a a ? ? ? ? ? 当 a=1 时,不等式的解集为 {x|x∈R且x≠1 }; 当 a>1 时,不等式的解集为 R.


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