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新人教版高中数学必修四第三章检测


新人教版高中数学必修四第三章检测
一.选择题(共 11 小题) 1. (2012?绵阳二模)若实数 x,y 满足方程组 A .0 B. C. 则 cos(x+2y)=( D.1 )

2. (2011?安徽模拟)对?a,b∈R,运算“?”、“⊕ ”定义为:a?b= 中恒成立的是( ) ① (sinx?cosx)+(sinx⊕ cosx)=sinx+c

osx, ② (2 ?x )﹣(2 ⊕ x )=2 ﹣x , ③ (sinx?cosx)?(sinx⊕ cosx)=sinx?cosx, ④ (2 ⊕ x )﹣(2 ?x )=2 ﹣x . ② ③ ④ ② ③ A .① B.① 3. (1999?广东)若 A. B. C.
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

,则下列各式

③ C .① ,则 α∈( )

④ D.②

D.

4.如果 θ 是第二象限角,且满足 A.是第一象限角 B. 是第三象限角 C. 可能是第一象限角,也可能是第三象限角 D.是第二象限角 5.若 α 是锐角,且满足 A. B.

,那么





,则 cosα 的值为( C.

) D.

6.已知 sinθ+cosθ= ,θ∈( A. ﹣

,π) ,则 tanθ 的值是( B. ﹣

) C. D.

7.在 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,那么 sinAcos (45°﹣ )﹣sin cos ( A. 有最大值 和最小值为 0 B.

2



有最大值 ,但无最小值

C. 既无最大值,也无最小值

D. 有最大 ,但无最小值

8.计算 cos20°sin50°sin170°=(



A.

B.

C.

D.

9.若 a,b,c 是△ ABC 的三边,直线 ax+by+c=0 与圆 x +y =1 相离,则△ ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

2

2

10.已知△ ABC,若对任意 k∈R,有| A.直角三角形 B.钝角三角形

|≥

,则△ ABC 一定是( C.锐角三角形

) D.以上均有可能

11.已知 O 为△ ABC 内一点,若对任意 k∈R 有| A.直角三角形 二.填空题(共 5 小题) B.钝角三角形

+(k﹣1)

﹣k

|≥|



|,则△ ABC 一定是( D.以上均有可能



C.锐角三角形

12. (2012?道里区三模)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 B)取最大值时,角 C 的值为 _________ . 13. (2011?安徽)设 f(x)=asin2x+bcos2x,a,b∈R,ab≠0 若 f(x)≤|f( ① f( ② |f( )=0. )|<|f( )|.

,当 tan(A﹣

)|对一切 x∈R 恒成立,则

③ f(x)既不是奇函数也不是偶函数. ④ f(x)的单调递增区间是[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) .

⑤ 存在经过点(a,b)的直线于函数 f(x)的图象不相交. 以上结论正确的是 _________ 写出正确结论的编号) . 14. (2011?涟源市模拟)在△ ABC 中,给出下列四个命题: ① 若 sin2A=sin2B,则△ ABC 为等腰三角形; ② 若 sinA=cosB,则△ ABC 是直角三角形; ③ 若 cosA?cosB?cosC<0,则△ ABC 是钝角三角形; ④ 若 cos(A﹣B)?cos(B﹣C)?cos(C﹣A)=1,则△ ABC 是等边三角形. 以上命题正确的是 _________ (填命题序号) . 15. (2010?重庆)如图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 C,各段弧所在的圆经过同一点 P(点 P 不在 C 上)且半径相等.设第 i 段弧所对的圆心角为 αi(i=1,2,3) ,则 = _________ .

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16. (2010?延庆县一模)直线 y=2x+1 和圆 x +y =1 交于点 A,B 两点,以 x 轴的正方向为始边,OA 为终边(O 是 坐标原点)的角为 α,OB 为终边的角为 β,则 sin(α+β)= _________ . 三.解答题(共 14 小题) 17. (2011?广东)已知函数 f(x)=2sin( x﹣ (1)求 f( )的值; ],f(3α+ )= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. ) ,x∈R

2

2

(2)设 α,β∈[0,

18.解方程 cos2x=cosx+sinx,求 x 的值.

19. (2015?惠州模拟)设函数 f(x)=

cosx+ sinx+1

(1)求函数 f(x)的值域和函数的单调递增区间; (2)当 f(a)= ,且 <α< 时,求 sin(2α+ )的值.

20. (2015?资阳模拟)已知函数 f(x)=

msinxcosx+mcos x+n(m>0)在区间

2

上的值域为[1,2].

(Ⅰ ) 求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ ) 在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若 f(A)=1,sinB=4sin(π﹣C) ,△ ABC 的面积为 求边长 a 的值. 21. (2015?资阳模拟)已知向量 =(1,3cosα) , =(1,4tanα) , (Ⅰ ) 求| + |; (Ⅱ ) 设向量 与 的夹角为 β,求 tan(α+β)的值. ,且 ? =5.



22. (2014?天津)已知函数 f(x)=cosx?sin(x+ (Ⅰ )求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ )求 f(x)在闭区间[﹣ ,

)﹣

cos x+

2

,x∈R.

]上的最大值和最小值.

23. (2014?福建)已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . (1)若 0<α< ,且 sinα= ,求 f(α)的值;

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 24. (2014?江西)已知函数 f(x)=(a+2cos x)cos(2x+θ)为奇函数,且 f( (1)求 a,θ 的值;
2

)=0,其中 a∈R,θ∈(0,π) .

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(2)若 f(

)=﹣ ,α∈(

,π) ,求 sin(α+

)的值.

25. (2014?江苏)已知函数 f0(x)= (1)求 2f1( )+ f2(
*

(x>0) ,设 fn(x)为 fn﹣1(x)的导数,n∈N .

*

)的值; )+ fn( )|= 都成立.

(2)证明:对任意 n∈N ,等式|nfn﹣1(

26. (2014?四川)已知函数 f(x)=sin(3x+ (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 α 是第二象限角,f( )= cos(α+

) .

)cos2α,求 cosα﹣sinα 的值.

27. (2014?江苏)已知 α∈( (1)求 sin( (2)求 cos( +α)的值;

,π) ,sinα=



﹣2α)的值.

28. (2014?江西)已知函数 f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ) ,其中 a∈R,θ∈(﹣ (1)当 a= (2)若 f( ,θ= 时,求 f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;





)=0,f(π)=1,求 a,θ 的值.

29. (2014?福建)已知函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx) . (Ⅰ )求 f( )的值;

(Ⅱ )求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 30. (2014?市中区二模)已知△ ABC 的面积为 1,且满足 0 (Ⅰ )求 θ 的取值范围; (Ⅱ )求函数 f(θ)=2sin (
2

?

≤2,设



的夹角为 θ

+θ)﹣cos(2θ+

)的最大值及取得最大值时的 θ 值.

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新人教版高中数学必修四第三章检测
参考答案与试题解析
一.选择题(共 11 小题) 1. (2012?绵阳二模)若实数 x,y 满足方程组 A .0 B. C. 则 cos(x+2y)=( D.1 )

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 将方程组中的第二个方程第二项利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后设 t=﹣2y,变形后与第一个方程 完全相同,可得出 t=x,进而得到 x 与 y 的关系式 x=﹣2y,即 x+2y=0,代入所求的式子中,利用特殊角的 三角函数值化简即可求出值. 解答: 解: ,
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由② 化简得:8y ﹣(1+cos2y)+2y+3=0, 3 3 整理得:﹣8y +cos2y﹣2y﹣2=0,即(﹣2y) +cos(﹣2y)+(﹣2y)﹣2=0, 3 设 t=﹣2y,则有 t ﹣cost+t﹣2=0, 与方程① 对比得:t=x,即 x=﹣2y, ∴ x+2y=0, 则 cos(x+2y)=1. 故选 D 点评: 此题考查了二倍角的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,利用了换元的思想,灵活变换第二个方程 是解本题的关键.

3

2. (2011?安徽模拟)对?a,b∈R,运算“?”、“⊕ ”定义为:a?b= 中恒成立的是( ) ① (sinx?cosx)+(sinx⊕ cosx)=sinx+cosx, x 2 x 2 x 2 ② (2 ?x )﹣(2 ⊕ x )=2 ﹣x , ③ (sinx?cosx)?(sinx⊕ cosx)=sinx?cosx, x 2 x 2 x 2 ④ (2 ⊕ x )﹣(2 ?x )=2 ﹣x . ② ③ ④ ② ③ A .① B.① 考点: 专题: 分析: 解答:

,则下列各式

③ C .①

④ D.②

三角函数中的恒等变换应用;有理数指数幂的运算性质. 压轴题;新定义. 结合新定义,验算① ② ③ ④ ,即可判断正确选项. 解:由题意可知:① (sinx?cosx)+(sinx⊕ cosx)=sinx+cosx.③ (sinx?cosx)?(sinx⊕ cosx)=sinx?cosx, 加法与乘法满足交换律,正确; x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 ② (2 ?x )﹣(2 ⊕ x )=2 ﹣x ,④ (2 ⊕ x )﹣(2 ?x )=2 ﹣x 不恒成立, 故选 C. 点评: 本题是基础题,考查新定义的应用,考查发现问题解决问题的能力,常考题型.
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3. (1999?广东)若 A. B. C.

,则 α∈(

) D.

考点: 弦切互化;任意角的三角函数的定义;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据 sinα> ,整理求得 sinα<0,判断出 α 的范围,进而根据 tanα>cota 转化成正弦和余弦,可推
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断 解答:

>﹣1,进而根据正切函数的单调性求得 α 的范围,最后综合答案可得. ,

解:∵ sinα>

∴ cosαsinα﹣sinα>0,即 sinα(cosα﹣1)>0 ∵ cosα﹣1<0 ∴ sinα<0,﹣ ∵ tanα>cota ∴ ∵ ﹣ ∴ > <α<0 >﹣1 <α<0

即 tanα>﹣1 ∴ α>﹣ 综合得﹣ <α<0

故选 B 点评: 本题主要考查了弦切互化的问题.解题的关键是通过弦切的互化找的解决问题的突破口.

4.如果 θ 是第二象限角,且满足 A.是第一象限角 B. 是第三象限角 C. 可能是第一象限角,也可能是第三象限角 D.是第二象限角 考点: 半角的三角函数. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据 θ 的范围确定
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,那么





的范围,再由

可确定

的大小关系,

进而确定 解答:

的象限. ∴ (k∈Z)

解:∵ θ 是第二象限角∴

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∴ 当 k 为偶数时, ∵ ∴ ∴ 是第三象限角

在第一象限;当 k 为奇数时, =

在第三象限; =

故选 B. 点评: 本题主要考查象限角和二倍角公式以及同角三角函数的基本关系.属基础题.

5.若 α 是锐角,且满足 A. B.

,则 cosα 的值为( C.

) D.

考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据 α 是锐角,且满足

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求出

的值,再由

根据两角和与差的余弦公式得到最后答案. 解答: 解:由 α 是锐角,且 可得 , = 故选 B. 点评: 本题主要考查两角和与差的余弦公式、同角三角函数的基本关系. 6.已知 sinθ+cosθ= ,θ∈( A. ﹣ .

,π) ,则 tanθ 的值是( B. ﹣

) C. D.

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 利用万能公式把 tan 代入题设等式,求得 tan
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的值,进而利用正切的二倍角公式求得答案.

解答: 解:设 tan =x(x>0) ,则 + = ,解出 x=2,

∴ tanθ=

=﹣

故选 A; 点评: 本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值.考查了考生对三角函数基础公式的熟练应用. 7.在 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,那么 sinAcos (45°﹣ )﹣sin cos (
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2



A.

有最大值 和最小值为 0

B.

有最大值 ,但无最小值

C. 既无最大值,也无最小值

D. 有最大 ,但无最小值

考点: 二倍角的正弦. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 2 先根据二倍角公式将 sinAcos (45°﹣ )﹣sin cos 化简,然后再由 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,确定 A 的范围,
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进而根据正弦函数的性质可得到答案. 解答: 解:∵ sinAcos (45°﹣ )﹣sin cos =sinA = = ﹣ sinA=sinA ﹣ sinA
2

∵ Rt△ ABC 中,∠ C=90°∴ 0°<A<90°∴ 0°<2A<180° ∴ 有最大值 ,但无最小值

故选 B. 点评: 本题主要考查二倍角公式的应用和正弦函数的性质.考查基础知识的综合应用. 8.计算 cos20°sin50°sin170°=( A. B. ) C. D.

考点: 二倍角的正弦. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先将三角函数式看成分母为 1 的分式,再分子、分母同乘以 8sin20°,凑出连续的二倍角正弦公式,从而化 简三角函数式. 解答: 解: .
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故答案为



故选 C. 点评: 本题考查凑公式的能力及考查二倍角的正弦公式.解答关键是配个分母后逆用二倍角公式,属于基础题. 9.若 a,b,c 是△ ABC 的三边,直线 ax+by+c=0 与圆 x +y =1 相离,则△ ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 考点: 三角形的形状判断;直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=1 相离,可得到圆心到直线 ax+by+c=0 的距离大于半径 1,进而可得到
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2

2

,即 c >a +b ,可得到 可判定.

2

2

2

,从而可判断角 C 为钝角,故三角形的形状

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解答: 解:由已知得, ,

∴ c >a +b ,∴

2

2

2



故△ ABC 是钝角三角形. 故选 C. 点评: 本题主要考查三角形形状的判定、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系.考查基础知识的综合运用.

10.已知△ ABC,若对任意 k∈R,有| A.直角三角形 B.钝角三角形

|≥

,则△ ABC 一定是( C.锐角三角形

) D.以上均有可能

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 图中 BC′ 的长度就是| 为直角. 解答:

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|,要使不等式成立,则|AC|必须是 BC′ 的最小值,即 AC 垂直 BC,故角 C

解:当 k 为任意实数时,那么 k 图中 BC′ 的长度就是|

的方向有可能向左,也可能向右.长度也是不确定的, |有最小值,要使不等式成立,

|,可以看出,当 BC′ 垂直 CB 时,|

则|AC|必须是 BC′ 的最小值,即 AC 垂直 BC,故角 C 为直角, 故选 A.

点评: 本题考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,判断三角形的形状的方法,判断|AC|必须是 BC′ 的 最小值,是 解题的关键.

11.已知 O 为△ ABC 内一点,若对任意 k∈R 有| A.直角三角形 B.钝角三角形

+(k﹣1)

﹣k

|≥|



|,则△ ABC 一定是( D.以上均有可能



C.锐角三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据题意画出图形,在边 BC 上任取一点 E,连接 AE,根据已知不等式左边绝对值里的几何意义可得 k
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=

,再利用向量的减法运算法则化简,根据垂线段最短可得 AC 与 EC 垂直,进而确定出三角形为直角

三角形. 解答: 解:从几何图形考虑: | ﹣k |≥| |的几何意义表示:在 BC 上任取一点 E,可得 k
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=



∴ | ﹣k

|=|



|=|

|≥|

|,

又点 E 不论在任何位置都有不等式成立, ∴ 由垂线段最短可得 AC⊥ EC,即∠ C=90°, 则△ ABC 一定是直角三角形. 故选 A

点评: 本题考查了三角形形状的判断,涉及的知识有平面向量的加减法的法则,以及其几何意义,判断出 AC⊥ BC 是解题的关键. 二.填空题(共 5 小题) 12. (2012?道里区三模)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 B)取最大值时,角 C 的值为 . ,当 tan(A﹣

考点: 两角和与差的正切函数;正弦定理的应用. 专题: 压轴题;三角函数的求值. 分析: 利用正弦定理及诱导公式化简已知的等式,整理后利用同角三角函数间的基本关系弦化切后得到 tanA=3tanB, 利用两角和与差的正切函数公式化简 tan (A﹣B) , 将 tanA=3tanB 代入, 利用基本不等式变形, 求出 tan(A﹣B)取得最大值时 tanA 与 tanB 的值,进而确定出 A 与 B 的度数,即可此时得到 C 的度数. 解答: 解:利用正弦定理化简已知的等式得:sinAcosB﹣sinBcosA= sinC= sin(A+B)= (sinAcosB+cosAsinB) ,
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整理得:sinAcosB=3cosAsinB, 两边除以 cosAcosB 得:tanA=3tanB, 则 tan(A﹣B)= = = ,

∵ A、B 是三角形内角,且 tanA 与 tanB 同号, ∴ A、B 都是锐角,即 tanA>0,tanB>0, ∴ 3tanB+ ≥2 ,当且仅当 3tanB= , , ,即 tanB= 时取等号,

∴ tanA=3tanB= ∴ A= 则 C= ,B= .

故答案为: 点评: 此题考查了两角和与差的正切函数公式,正弦定理,同角三角函数间的基本关系,诱导公式,以及基本不 等式的运用,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.

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13. (2011?安徽)设 f(x)=asin2x+bcos2x,a,b∈R,ab≠0 若 f(x)≤|f( ① f( ② |f( )=0. )|<|f( )|.

)|对一切 x∈R 恒成立,则

③ f(x)既不是奇函数也不是偶函数. ④ f(x)的单调递增区间是[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z) .

⑤ 存在经过点(a,b)的直线于函数 f(x)的图象不相交. 以上结论正确的是 ① ,③ 写出正确结论的编号) . 考点: 两角和与差的正弦函数;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先化简 ( f x) 的解析式, 利用已知条件中的不等式恒成立, 得到 是三角函数的对称轴,将其代入整体角令整体角等于 数的性质. 解答: 解:∵ f(x)=asin2x+bcos2x= ∵ ∴ ∴ ∴ 对于 对于② , ,故② 错 = =0,故① 对 (k 为整数)

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是三角函数的最大值, 得到 求出辅助角 θ,再通过整体处理的思想研究函

对于③ ,f(x)不是奇函数也不是偶函数 对于④ ,由于 f(x)的解析式中有±,故单调性分情况讨论,故④ 不对 对于⑤ ∵ 要使经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交,则此直线须与横轴平行,且|b|
2 2 2



此时平方得 b >a +b 这不可能,矛盾,故∴ 不存在经过点(a,b)的直线于函数 f(x)的图象不相交故⑤ 错 故答案为① ③ 点评: 本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整体处理的思想方法. 14. (2011?涟源市模拟)在△ ABC 中,给出下列四个命题: ① 若 sin2A=sin2B,则△ ABC 为等腰三角形; ② 若 sinA=cosB,则△ ABC 是直角三角形; ③ 若 cosA?cosB?cosC<0,则△ ABC 是钝角三角形; ④ 若 cos(A﹣B)?cos(B﹣C)?cos(C﹣A)=1,则△ ABC 是等边三角形. 以上命题正确的是 ③ ④ (填命题序号) .

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考点: 三角形的形状判断. 专题: 证明题;压轴题;解三角形. 分析: ① 若 sin2A=sin2B,则 2A=2B,或 2A+2B=π,即 A=B 或 C=
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,可知① 不正确.

② 若 sinA=cosB,找出∠ A 和∠ B 的反例,即可判断则△ ABC 是直角三角形错误,故② 不正确. ③ 若 cosA?cosB?cosC<0,cosA、cosB、cosC 两个是正实数,一个是负数,故 A、B、C 中两个是锐角,一 个是钝角, 故③ 正确. ④ 若 cos(A﹣B)?cos(B﹣C)?cos(C﹣A)=1 可得 A=B=C,故△ ABC 是等边三角形,故④ 正确. 解答: 解:① 若 sin2A=sin2B,则 2A=2B,或 2A+2B=π,即 A=B 或 C= ,故△ ABC 为等腰三角形 或直角三角

形,故① 不正确. ② 若 sinA=cosB,例如∠ A=100°和∠ B=10°,满足 sinA=cosB,则△ ABC 不是直角三角形,故② 不正确. ③ 若 cosA?cosB?cosC<0,则由三角形各个内角的范围及内角和等于 180° 知,cosA、cosB、cosC 两个是正 实数, 一个是负数,故 A、B、C 中两个是锐角,一个是钝角,故③ 正确. ④ 若 cos(A﹣B)?cos(B﹣C)?cos(C﹣A)=1,则由三角形各个内角的范围及内角和等于 180° 知, cos(A﹣B)=cos(B﹣C)=cos(C﹣A)=1,故有 A=B=C,故△ ABC 是等边三角形,故④ 正确. 故答案为 ③ ④ . 点评: 本题考查判断三角形的形状的方法,注意角的范围及内角和等于 180°,属于中档题. 15. (2010?重庆)如图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 C,各段弧所在的圆经过同一点 P(点 P 不在 C 上)且半径相等.设第 i 段弧所对的圆心角为 αi(i=1,2,3) ,则 = .

考点: 两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据 cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ 公式的逆运算得到
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,由题意可知,α1+α2+α3=2π 得到 cos 解答: 解: =cos = . ,方法

可令同过 P 点的三圆的交点分别是 A,B,C,连接 PA,PB,PC,可得得出∠ APB+∠ APC+∠ BPC=2π 因为在各个圆的半径相等,故此三个角的大小都为 由于在圆中同弦所对的圆周角互补,故在各个圆中,AB,BC,CA 所与三角相对的圆周角为 故 AB,BC,CA 所对的圆心角是 ,
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又 α1+α2+α3=2π,所以 故答案为: .



点评: 此题考查学生利用两角和与差的余弦函数的能力. 16. (2010?延庆县一模)直线 y=2x+1 和圆 x +y =1 交于点 A,B 两点,以 x 轴的正方向为始边,OA 为终边(O 是 坐标原点)的角为 α,OB 为终边的角为 β,则 sin(α+β)= .
2 2

考点: 专题: 分析: 解答:

两角和与差的正弦函数. 常规题型;压轴题. 先联立方程得到点 AB 的坐标,进而得到 α 与 β 的正余弦值,再由两角和与差的正弦公式可得答案.
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解:联立 y=2x+1 与 x +y =1,

2

2

解得:





故 A(0,1)B(﹣ ,﹣ ) ∴ cosα=0,sinα=1,cosβ=﹣ ,sinβ=﹣ ∴ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=1×(﹣ )+0×(﹣ )=﹣ 故答案为:﹣ 点评: 本题主要考查三角函数的概念和两角和与差的正弦公式.属基础题. 三.解答题(共 14 小题) 17. (2011?广东)已知函数 f(x)=2sin( x﹣ (1)求 f( )的值; ],f(3α+ )= ,f(3β+2π)= ,求 cos(α+β)的值. ) ,x∈R

(2)设 α,β∈[0,

考点: 两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)把 x= 代入函数 f(x)的解析式中,化简后利用特殊角的三角函数值即可求出对应的函数值;
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(2) 分别把 x=3α+

和 x=3β+2π 代入 f(x)的解析式中,化简后利用诱导公式即可求出 sinα 和 cosβ 的值,

然后根据 α 和 β 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 和 sinβ 的值,然后把所求的式子利用两 角和的余弦函数公式化简后,将各自的值代入即可求出值. 解答: 解: (1)把 x= f( 代入函数解析式得: ﹣ )=2sin = ;

)=2sin( ×

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(2)由 f(3α+ 2sin[ (3α+ sinα=

)=

,f(3β+2π)= ,代入得: ]=2sinα= ,2sin[ (3β+2π)﹣ ], ]=2sin(β+ )=2cosβ=

)﹣

,cosβ= ,又 α,β∈[0, ,sinβ= ,

所以 cosα=

则 cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ=

× ﹣

× =



点评: 此题考查学生掌握函数值的求法,灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值,是一道中档 题. 18.解方程 cos2x=cosx+sinx,求 x 的值. 考点: 二倍角的余弦;任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 本题是一个三角恒等变换问题,解题的关键是减小角的倍数,化异为同,利用方程的思想解题是三角函数 常见的做法,最后是给值求角的问题,注意不要漏解. 解答: 解:cos2x﹣sin2x=cosx+sinx, (cosx+sinx) (cosx﹣sinx)﹣(cosx+sinx)=0, (cosx+sinx) (cosx﹣sinx﹣1)=0. 如果 cosx+sinx=0 则得 1+tgx=0,tgx=﹣1,
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∴ 如果 cosx+sinx﹣1=0 则得 cosx﹣sinx=1, ∴ ,

∴ 点评: 本题是一个三角恒等变换问题,与初中学习锐角三角函数一样,高中也要研究同角三角函数之间关系,弄 清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化.

19. (2015?惠州模拟)设函数 f(x)=

cosx+ sinx+1

(1)求函数 f(x)的值域和函数的单调递增区间; (2)当 f(a)= ,且 <α< 时,求 sin(2α+ )的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据三角函数的关系式,即可求求函数 f(x)的值域和函数的单调递增区间. (2)根据三角函数的诱导公式即可得到结论. 解答: 解: (1)依题意 f(x)= cosx+ sinx+1=sin(x+ )+1,
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∵ ﹣1≤sin(x+

)≤1,则∵ 0≤sin(x+

)+1≤2,

函数 f(x)的值域是[0,2],
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令﹣

+2kπ≤x+

≤2kπ+

,k∈Z,解得﹣ +2kπ,

+2kπ≤x≤

+2kπ,k∈Z,

所以函数 f(x)的单调增区间为[﹣ (2)由 f(a)=sin(α+ ∵ <α< ∴ sin(2α+ ,∴ <α+ )=sin2(α+

+2kπ],k∈Z. )= , )= , )=﹣2× × = .

)+1= ,得 sin(α+ <π 时,得 cos(α+ )=2sin(α+

)cos(α+

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质以及三角函数求值,考查学生的运算能力,利用三角函数的诱导公式 进行化简即可得到结论.
2

20. (2015?资阳模拟)已知函数 f(x)=

msinxcosx+mcos x+n(m>0)在区间

上的值域为[1,2].

(Ⅰ ) 求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ ) 在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若 f(A)=1,sinB=4sin(π﹣C) ,△ ABC 的面积为 求边长 a 的值.



考 三角函数中的恒等变换应用;余弦定理的应用. 点: 专 三角函数的图像与性质;解三角形. 题: 分 (Ⅰ )函数可化简为 f(x)= ,从而可根据其值域求出 m,n 的值,从而确定解析式,由 析: 正弦函数的性质即可确定单调区间; (Ⅱ )f(A)=1 即可求得 A,由 sinB=4sin(π﹣C) ,△ ABC 的面积为 ,可求得 bc=4,根据余弦定理即可求边 长 a 的值. 解 解: (Ⅰ ) 答: = = =
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, 当 时, ,则 .

由 m>0,则

解得 m=2,n=﹣1,

所以 由

, (k∈Z) , ,k∈Z. ,即 ,所以 .

故函数 f(x)的单调递增区间是 (Ⅱ )由

因为 sinB=4sin(π﹣C) ,所以 sinB=4sinC,则 b=4c,

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又△ ABC 面积为

,所以

,即 bc=4, ,

所以 b=4,c=1,则

所以 . 点 本题主要考察了余弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用,三角形面积公式的应用,属于中档题. 评:

21. (2015?资阳模拟)已知向量 =(1,3cosα) , =(1,4tanα) , (Ⅰ ) 求| + |; (Ⅱ ) 设向量 与 的夹角为 β,求 tan(α+β)的值.

,且 ? =5.

考点: 两角和与差的正切函数;数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题;三角函数的求值;平面向量及应用. 分析: (Ⅰ )由向量的数量积的坐标公式化简即得 sinα,由同角公式,求得 cosα,tanα,得到向量 m,n,再由模 的公式即可得到所求的值; (Ⅱ )运用向量的夹角公式,求得 cosβ,进而得到 sinβ,tanβ,再由两角和的正切公式,即可得到所求的值. 解答: 解: (Ⅰ )由 =(1,3cosα) , =(1,4tanα) ,
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则 ? =1+12cosαtanα=5,解得 因为 则 =(1,2 则 即有| = |= = ) , =(1, , ; ,所以 )

, , .

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 =(1,2 则 cosβ=cos< >=

) , =(1, = ,

) ,

即有

,所以



所以



点评: 本题考查平面向量的运用和两角和的正切公式及运用,考查向量的数量积的坐标公式和性质及运用,考查 运算能力,属于中档题.
2

22. (2014?天津)已知函数 f(x)=cosx?sin(x+ (Ⅰ )求 f(x)的最小正周期;

)﹣

cos x+

,x∈R.

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(Ⅱ )求 f(x)在闭区间[﹣



]上的最大值和最小值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ )根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简,再由复合三角函数的周期公式
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求出

此函数的最小正周期; (Ⅱ )由(Ⅰ )化简的函数解析式和条件中 x 的范围,求出 知区间上的最大值和最小值. 解答: 解: (Ⅰ )由题意得,f(x)=cosx?( sinx = = = = 所以,f(x)的最小正周期 (Ⅱ )由(Ⅰ )得 f(x)= 由 x∈[﹣ ∴ 当 当 , =﹣ = ]得,2x∈[﹣ 时,即 , ],则 =π. , ∈[ , ], , cosx) 的范围,再利用正弦函数的性质求出再已

=﹣1 时,函数 f(x)取到最小值是: = 时,f(x)取到最大值是: , .

时,即

所以,所求的最大值为 ,最小值为 点评:

本题考查了两角和差的正弦公式、 倍角公式, 正弦函数的性质, 以及复合三角函数的周期公式 考查了整体思想和化简计算能力,属于中档题.

应用,

23. (2014?福建)已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . (1)若 0<α< ,且 sinα= ,求 f(α)的值;

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用同角三角函数关系求得 cosα 的值,分别代入函数解析式即可求得 f(α)的值. (2)利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换,进而利用三角函数性质和周期公式求得函 数最小正周期和单调增区间.
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解答:

解: (1)∵ 0<α< ∴ cosα= ,

,且 sinα=



∴ f(α)=cosα(sinα+cosα)﹣ , = ×( + )﹣

= . (2)f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . =sinxcosx+cos x﹣ = sin2x+ cos2x = ∴ T= sin(2x+ =π, ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ﹣ ,kπ+ ≤x≤kπ+ ],k∈Z. ,k∈Z, ) ,
2

由 2kπ﹣

∴ f(x)的单调递增区间为[kπ﹣

点评: 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用.考查了学生对基础知识的综合运用.
2

24. (2014?江西)已知函数 f(x)=(a+2cos x)cos(2x+θ)为奇函数,且 f( (1)求 a,θ 的值; (2)若 f( )=﹣ ,α∈( ,π) ,求 sin(α+ )的值.

)=0,其中 a∈R,θ∈(0,π) .

考点: 三角函数中的恒等变换应用;函数奇偶性的性质. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)把 x= 代入函数解析式可求得 a 的值,进而根据函数为奇函数推断出 f(0)=0,进而求得 cosθ,则
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θ 的值可得. (2) 利用 f ( ) =﹣ 和函数的解析式可求得 sin , 进而求得 cos , 进而利用二倍角公式分别求得 sinα,

cosα,最后利用两角和与差的正弦公式求得答案. 解答: 解: (1)f( )=﹣(a+1)sinθ=0,

∵ θ∈(0,π) . ∴ sinθ≠0, ∴ a+1=0,即 a=﹣1 ∵ f(x)为奇函数, ∴ f(0)=(a+2)cosθ=0, ∴ cosθ=0,θ= .
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(2)由(1)知 f(x)=(﹣1+2cos x)cos(2x+ ∴ f( )=﹣ sinα=﹣ ,

2

)=cos2x?(﹣sin2x)=﹣



∴ sinα= , ∵ α∈( ∴ cosα= ∴ sin(α+ ,π) , =﹣ , )=sinαcos +cosαsin = .

点评: 本题主要考查了同角三角函数关系,三角函数恒等变换的应用,函数奇偶性问题.综合运用了所学知识解 决问题的能力. (x>0) ,设 fn(x)为 fn﹣1(x)的导数,n∈N .
*

25. (2014?江苏)已知函数 f0(x)= (1)求 2f1( )+ f2(
*

)的值; )+ fn( )|= 都成立.

(2)证明:对任意 n∈N ,等式|nfn﹣1(

考点: 三角函数中的恒等变换应用;导数的运算. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的求值. 分析: (1)由于求两个函数的相除的导数比较麻烦,根据条件和结论先将原函数化为:xf0(x)=sinx,然后两边
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求导后根据条件两边再求导得:2f1(x)+xf2(x)=﹣sinx,把 x=

代入式子求值;

(2)由(1)得,f0(x)+xf1(x)=cosx 和 2f1(x)+xf2(x)=﹣sinx,利用相同的方法再对所得的式子两 边再求导,并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳,再进行猜想得到等式,用数学归纳法进行证明等 式成立,主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明,最后再把 x= 解验证. 解答: 解: (1)∵ f0(x)= ,∴ xf0(x)=sinx, 代入所给的式子求

则两边求导,[xf0(x)]′ =(sinx)′ , * ∵ fn(x)为 fn﹣1(x)的导数,n∈N , ∴ f0(x)+xf1(x)=cosx, 两边再同时求导得,2f1(x)+xf2(x)=﹣sinx, 将 x= 代入上式得,2f1( )+ f2( )=﹣1, ) ,

(2)由(1)得,f0(x)+xf1(x)=cosx=sin(x+

恒成立两边再同时求导得,2f1(x)+xf2(x)=﹣sinx=sin(x+π) , 再对上式两边同时求导得,3f2(x)+xf3(x)=﹣cosx=sin(x+ ) ,

同理可得,两边再同时求导得,4f3(x)+xf4(x)=sinx=sin(x+2π) , 猜想得,nfn﹣1(x)+xfn(x)=sin(x+ 下面用数学归纳法进行证明等式成立:
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)对任意 n∈N 恒成立,

*

① 当 n=1 时, ② 假设 n=k(k>1 且 k∈N )时等式成立,即 ∵ [kfk﹣1(x)+xfk(x)]′ =kfk﹣1′ (x)+fk(x)+xfk′ (x) =(k+1)fk(x)+xfk+1(x) 又 = =
* *

成立,则上式成立; ,

=

, 也成立, )对任意 n∈N 恒成立,
*

∴ 那么 n=k+1(k>1 且 k∈N )时.等式 由① ② 得,nfn﹣1(x)+xfn(x)=sin(x+ 令 x= 代入上式得,nfn﹣1(
*

)+

fn( )+

)=sin( fn( )|=

+

)=±cos





所以,对任意 n∈N ,等式|nfn﹣1(

都成立.

点评: 本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式,以及数学归纳法证明命题、转化思想等, 本题设计巧妙,题型新颖,立意深刻,是一道不可多得的好题,难度很大,考查了学生观察问题、分析问 题、解决问题的能力,以及逻辑思维能力.

26. (2014?四川)已知函数 f(x)=sin(3x+ (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 α 是第二象限角,f( )= cos(α+

) .

)cos2α,求 cosα﹣sinα 的值.

考点: 两角和与差的余弦函数;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)令 2kπ﹣ ≤3x+ ≤2kπ+ ,k∈z,求得 x 的范围,可得函数的增区间.
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(2)由函数的解析式可得 f( (α+

)=sin(α+
2

) ,又 f(

)= cos(α+

)cos2α,可得 sin(α+

)= cos

)cos2α,化简可得 (cosα﹣sinα) = .再由 α 是第二象限角,cosα﹣sinα<0,从而求得 cosα﹣

sinα 的值. 解答: 解: (1)∵ 函数 f(x)=sin(3x+ 求得 ﹣ ≤ x≤ + ) ,令 2kπ﹣ ≤3x+ ≤2kπ+ ﹣ , ,k∈z, + ],k∈z. )cos2α,
2 2

,故函数的增区间为[ )=sin(α+

(2)由函数的解析式可得 f( ∴ sin(α+ ∴ sinαcos 即 )= cos(α+ +cosαsin

) ,又 f(

)= cos(α+

)cos2α,即 sin(α+
2 2

)= cos(α+

) (cos α﹣sin α) ,

= (cos α﹣sin α)?
2

(sinα﹣cosα) , (sinα+cosα) ,

(sinα﹣cosα)= ?(cosα﹣sinα) ?

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又∵ α 是第二象限角,∴ cosα﹣sinα<0, 当 sinα+cosα=0 时,此时 cosα﹣sinα=﹣ 当 sinα+cosα≠0 时,此时 cosα﹣sinα=﹣ 综上所述:cosα﹣sinα=﹣ 或﹣ .

. .

点评: 本题主要考查正弦函数的单调性,三角函数的恒等变换,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 27. (2014?江苏)已知 α∈( (1)求 sin( (2)求 cos( +α)的值; ﹣2α)的值.

,π) ,sinα=



考点: 两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)通过已知条件求出 cosα,然后利用两角和的正弦函数求 sin(
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+α)的值;

(2)求出 cos2α,然后利用两角差的余弦函数求 cos( 解答: 解:α∈( (1)sin( ∴ sin( ,π) ,sinα= +α)=sin .∴ cosα=﹣ cosα+cos . sinα= =

﹣2α)的值.

=﹣



+α)的值为:﹣ ,π) ,sinα=

(2)∵ α∈( ∴ cos( cos(

.∴ cos2α=1﹣2sin α= ,sin2α=2sinαcosα=﹣ sin2α= =﹣ .

2

﹣2α)=cos

cos2α+sin .

﹣2α)的值为:﹣

点评: 本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力. 28. (2014?江西)已知函数 f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ) ,其中 a∈R,θ∈(﹣ (1)当 a= (2)若 f( ,θ= 时,求 f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;





)=0,f(π)=1,求 a,θ 的值.

考点: 两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数;正弦函数的定义域和值域. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为 f(x)=﹣sin(x﹣
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) ,再根据 x∈[0,

π],利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值. (2)由条件可得 θ∈(﹣ , ) ,cosθ﹣asin2θ=0 ① ,﹣sinθ﹣acos2θ=1 ② ,由这两个式子求出 a 和 θ 的值.
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解答:

解: (1)当 a= =sin(x+ =sin( )+

,θ=

时,f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ) )= ) . , ], sinx+ cosx﹣ sinx=﹣ sinx+ cosx

cos(x+

﹣x)=﹣sin(x﹣ ∈[﹣

∵ x∈[0,π],∴ x﹣ ∴ sin(x﹣ ∴ ﹣sin(x﹣ )∈[﹣

,1], ], . , ) ,

)∈[﹣1,

故 f(x)在区间[0,π]上的最小值为﹣1,最大值为

(2)∵ f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ) ,a∈R,θ∈(﹣ f( )=0,f(π)=1,

∴ cosθ﹣asin2θ=0 ① ,﹣sinθ﹣acos2θ=1 ② , 由① 求得 sinθ= ,由② 可得 cos2θ=
2

=﹣ ﹣ =1﹣2× ,



再根据 cos2θ=1﹣2sin θ,可得﹣ ﹣ 求得 a=﹣1,∴ sinθ=﹣ ,θ=﹣ 综上可得,所求的 a=﹣1,θ=﹣ . .

点评: 本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式,正弦函数的定义域和值域,属于中档题. 29. (2014?福建)已知函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx) . (Ⅰ )求 f( )的值;

(Ⅱ )求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 考点: 二倍角的正弦;二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ )利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f(x)= sin(2x+
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)+1,从而求得 f( ≤2x+

)的值. ,k∈Z,求

(Ⅱ )根据函数 f(x)=

sin(2x+

)+1,求得它的最小正周期.令 2kπ﹣

≤2kπ+

得 x 的范围,可得函数的单调递增区间. 解答: 解: (Ⅰ )∵ 函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)=sin2x+1+cos2x= ∴ f( )= sin( + )+1= sin +1= sin(2x+ )+1,

+1=2. =π.

(Ⅱ )∵ 函数 f(x)= 令 2kπ﹣ ≤2x+

sin(2x+

)+1,故它的最小正周期为 ≤x≤kπ+ ,

≤2kπ+

,k∈Z,求得 kπ﹣

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故函数的单调递增区间为[kπ﹣

,kπ+

],k∈Z.

点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换,三角函数的周期性和单调性,属于中档题.

30. (2014?市中区二模)已知△ ABC 的面积为 1,且满足 0 (Ⅰ )求 θ 的取值范围; (Ⅱ )求函数 f(θ)=2sin (
2

?

≤2,设



的夹角为 θ

+θ)﹣cos(2θ+

)的最大值及取得最大值时的 θ 值.

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值;数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )设△ ABC 中角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且设 和

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的夹角为 θ,利用三角形的面积公式表

示出面积,令面积为 1 列出关系式 bcsinθ=1,表示出 bc,且得到 bccosθ 的范围,将表示出的 bc 代入求出 的范围中,利用同角三角函数间的基本关系化简,整理后求出 tanθ 的范围,由 θ∈(0,π) ,利用正切函数 的图象与性质即可求出 θ 的范围; (Ⅱ )将函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简,第二项利用两角和与差的余弦函数公式化简, 整理后,再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由第一问求出的 θ 的范围,求出这个 角的范围,利用正弦函数的定义域与值域即可求出函数的最大值及取得最大值时的 θ 值. 解答: 解: (Ⅰ )设△ ABC 中角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, ∵ △ ABC 的面积为 1,且满足 ∴ bcsinθ=1,即 bc= ∴ 0< ,0<bccosθ≤2, ,设 和 的夹角为 θ,

≤2,即 tanθ≥1,

∵ θ∈(0,π) , ∴ θ∈[ , ) ; +2θ)]﹣[ cos2θ﹣ sin2θ] )+1,

(Ⅱ )f(θ)=[1﹣cos( =1+sin2θ﹣ ∵ θ∈[ ∴ 当 θ= ,

cos2θ+ sin2θ= ) ,2θ﹣ ∈[ ,

sin(2θ﹣ )

时,f(θ)max=

+1.

点评: 此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值,以及平面向量的数量积运算,涉及的知识有:二倍角的余弦 函数公式,两角和与差的正弦、余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,正切函数的图象与性质,正 弦函数的定义域与值域,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键.

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