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一道2009韩国奥林匹克不等式试题的再思考


?

课外园地?  

数 学通讯 一 2 1 年 第 4期 ( 01 下半月)  

6  1



道 2 0 韩 国奥林 匹克不等式试 题的再思考  09
安振平  
( 陕西省咸 阳师范学 院基础教育课程研究 中心 , 100  720)

文[ ] 了如下不等式赛题 : 1刊登   问题 1 设 a b c   , , 为三角形的三边长 , 记 
A=

等式, 得 

舒 + + ,   舒  
— — — — — — — — — — — —   — — — — — — — 一  

B  
— — . — — — — .

专 i 
— — — — —   — —   . — — . — 一  



R 一 ———————— ——————_ 一  一


2/  ̄  _
— — — — — — — — — — — — — — —   — — —   — — — — 一  

2  
’ 

= 

≥  
— — 。 — — — — — — — — — — — —   — — — — — — — — — 一  


— .— —— — ——一

 
 

。  

’   。 . — — .— —— —— .— — —— .—  

求证 : B   A 99

① 

( +c ) f b —n +( +口一6  )
.. — —— — —— —— — —— ——   — 。 .   . —— —— — —— 一  

文[ ] 2 又给 出了该不等式 的两种简单证法 . 其 

( c+口一6 +( ) 口+b—c  )
=  +

实, 早在文E ] , 3里 笔者就得到了如下不等式趣题 .  
问题 2 已知 a b c   , , 为正数 , 求证 :  


吉   +,
.  

6+c  

2 b + c

+  。 c  a   十 

+  ’  

a+  ≥    b ” 

。  

+c 。  

②  一 

  即 B≥ 上 + 1 +


证明 对正数  , , 注意到  Y ,

于是 , 应用三元均值不等式, A ≥ ( +b   得 B a +

(   + ( z+ ( x≥,   )姜  )  z )o —  一  -    
变形 , 可得 y +z + ≥ + + z x           ③  令 z=b , =c , +c Y +a =a+b 代人不等式  ,
③, 得 

c + +)3 ? =故 A )    ≥瓶 3 9 有B ( 1 丢 √ ,  
99  .

如上 , 我们把不等式①和经典的不等式③ , 以及 
新颖的不等式②联 系起来 , 复杂 的问题转化为优  将

f ±垒 ( £ )垒±垒  + )   (± ( 垒  2  ±£  + 2  
b+ c   。   c+ a  

美、 简单 的问题 , 这是 分析 问题 、 解决 问题 的有效 
方法 .   更进一步 , 令  =b十Z ,f 十A , c 3=c a z=n+  


≥2 口+6 ) ( +c ,  
即  +   +  

代人不等式② , 得 

(± 垒(   ) £   2堡±  
b+ 2   c

(  2  ) + 垒± ( £     ±
c+ A   a

( +6 )  口 +c ,

等  91 ( 6 , ( 口      +
即  (   )   6+ +c   +(   )口 +   )   1   +   (  口

所 ++ + ≥+ 以2c a   舒 口6 b  
从如上的证法 , 自然得知 , 不等式②等价于常见 
的经典不等式  问题 3 对i数  , , , F _ Y 2 求证 :  
+ + ≥ + +         ③ 

+b ) +c ,   再做恒等变形 , 就得不等式②的一种深化.  

问题 4 已知 口 b c   , ,,  为正数 , 求证 :  

下面给出不等式①的另一证法 .   由不等式②得 A≥ a+b+c 利用二元均值不  .

垒 ± +垒 ±丝 + ±堡  !  !  : 垒
^+ 】   ’ r+ 2   ’n +  | a 1 )  

数学通讯 一 2 1 0 1年第 4期 ( 下半月)  

? 课外 园地?  



道波 罗的海奥赛试题的简证 与推广 
卢 琼    
( 湖北省武汉市黄陂区第一中学 , 3 3 0  400)

题目

已知 口, c , 口c 1求 证 : b, >0 且 b  ,  

丽 走 ≤成 . b+ 1立  
解法朴实 、 自然 , 好接受、 易理解 . 在证 明中, 不  等式  +   +   ≥1 是个“ 眼9 起着  题 9 ,

+  + 蕊b  

≤1对这道 波罗的海奥赛试题 , 笔 
?

者在本文中将给出一种最初等 、 更简捷的证法 , 并对  解题策略加以巧妙地引 申, 给读者提供两个精彩 的 
配对推广 .  

关键作用 , 笔者还想借题发挥 , 进一步放大这个 “ 题 
眼” 的功效 , 得到下面的命题 :  

证明 设 A=( + a ( + b +( + b ( + 1 2 )1 2 ) 1 2 ) 1  
2 ) 1 c ( +2 ) ( b+6 +c +4 口+b c +( +2 )1 a =4 a c a) (  
+f +3 )  

命题 已知 口>0 i ,,  ,   , =12 …,  EN ≥3 , ,   且满足 a a …a =1 则  l2   .
1  
十 

.  

1  

.  

” 十 

  .

1  

B=( +2 ) 1 b ( +2 ) ( b c   1 a ( +2 ) 1 c =4 a +b +
c) ( a 十2 a+b+f +9 )  
≥1  .

于是 A— B=2 a+b+c 一6 已知 口 b C ( ) , , , > 
0且 ac , , b =1因此 口+6+f 3 ≥   =3所 以 A ~ ,  

证明

引入参数 , 构造不等式 

1 ( 一 )  + , 1a≥  z :

② 

B660 A B O 含 1   ≥—=,  ̄ >, =  + 即 而
+ 

1 .   因此 

一  

十  

一 —   一

+  

≥1


即得 

下面来研究不等式②成立的可行性.   已知 a >0 ≥3 整理后 , 1 ,   , 不等式②等价于 

1 口  1 2   1 2 ≤ 一1 +2   b   +  + 
一  

c 

① 

口 十口 +…+口≥(   §    一1n ){  

③ 

由均值不等式, n +口 +…+n≥( 一1 ? 得   §   , ) z  
( 23    , a口 …口 ) 又因为 a 口 口 …n :1所 以( 一 l2 3   ,    
1  

在不等式 ① 的两 边 同时加 上 3 再 除 以 2 得  , ,
+   +   ≤1 .  



 

1 ?an …n ) =( ) 2 3     一1a - , ) 1 1由此可得  n
土  

因为 口 +l 口 ,  ≥2 >0 C +1 c   ≥2 >0 b +1 6 ,   ≥2  
>0。  

口  +口  +… +口≥ ( 一1a ”      )1一

④ 

所 以 

比 ③④,  I= 1  = ! , 较 令一z 1 + , 7一 一  解得 一   
于是 , 存在参数 =一旦  , 使得不等式②成立 .  
同理 , i , ,, , 时 , 等式  当 =123 … 7 不 z

a+b+ ≤ + + , 丽 南        
由此 可知 , 道 波 罗 的海 奥 赛 试 题  这 +  

≥ 

参考文献 :  
[] 1 中等数学编辑部. 08 20 国内外数学竞赛奥林匹  20- 09

±(   )£    = ( =堡
+ |2   ;口 I

克赛题及精解[ 中等数学 2 1 增刊()【]21 ,. 00 2 ] .007 J   [] 2 田富德. 一道 2 0 09年韩国奥林匹克试题的另证与推 
广[] 数学通讯 ,0 0 1 )下半 月) J. 2 1 (1 ( .  

④ 

[] 罗增儒 . 中数学好题 巧思妙解 [ . 安 : 师范  3 高 M]西 陕西
大学出版社 ,97 2  19 ,. ( 收稿 日期 :0 1 1 0 ) 2 1 —0 — 5 


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