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河北省邯郸市成安一中2015-2016学年高二上学期12月月考数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年河北省邯郸市成安一中高二(上)12 月月考数学 试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求) 1. △ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 若 sinA= , b= A.3 B. C. D. sinB, 则 a 等于 ( )

2.在△ABC 中,三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若内角 A、B、C 依次成等 差数列,且不等式﹣x +6x﹣8>0 的解集为{x|a<x<c},则 S△ABC 等于( A. B.2 C.3 D.4
2



3.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 3a=2b,则 的值为( A.﹣ B. ) C.1 D.

4.等差数列{an}满足:a2+a9=a6,则 S9=( A.﹣2 B.0 C.1 D.2



5.在等比数列{an}中,S4=1,S8=3,则 a17+a18+a19+a20 的值是( A.14 B.16 C.18 D.20



6.设变量 x、y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x+y 的最小值为(



A.2

B.3

C.4

D.9

7.下列四个命题中,真命题是( ) 2 2 A.a>b,c>d?ac>bd B.a<b?a <b C. ?a>b D.a>b,c<d?a﹣c>b﹣d
2

8.命题?x∈R,x ﹣x≥0 的否定是( ) 2 2 A.?x∈R,x ﹣x≥0 B.?x∈R,x ﹣x≥0

C.?x∈R,x ﹣x<0

2

D.?x∈R,x ﹣x<0

2

9.已知 p:2x﹣3<1,q:x(x﹣3)<0,则 p 是 q 的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件



10.两个正数 1、9 的等差中项是 a,等比中项是 b,则曲线 A. B. C. D. 与

的离心率为(



11. 设 F1、 F2 分别是椭圆

+

=1 的左、 右焦点, P 为椭圆上一点, M 是 F1P 的中点, |OM|=3, )

则 P 点到椭圆左焦点的距离为( A.4 B.3 C.2 D.5
2

12.已知抛物线 y =2px(p>0) ,过其焦点且斜率为﹣1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若 线段 AB 的中点的横坐标为 3,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=l B.x=2 C.x=﹣1 D.x=﹣2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c, 若 则角 B 的值为 14.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n +2n,则这个数列的通项公式 an= 15.命题“ax ﹣2ax+3>0 恒成立”是假命题,则实数 a 的取值范围是 .
2 2





16.对于曲线 C:

=1,给出下面四个命题:

①由线 C 不可能表示椭圆; ②当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆; ③若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4; ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k< 其中所有正确命题的序号为 .

三、计算题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) . 17. (1)点 A(2,﹣4)在以原点为顶点,坐标轴为对称轴的抛物线上,求抛物线方程;

(2)已知双曲线 C 经过点(1,1) ,它渐近线方程为 y=± 18.解下列关于 x 不等式:x ﹣(4a+1)x+3a(a+1)≤0. 19.已知△ABC 的周长为 (Ⅰ)求边长 a 的值; ,且
2

x,求双曲线 C 的标准方程.



(Ⅱ)若 S△ABC=3sinA,求 cosA 的值. 20.数列{an}中 a1=3,已知点(an,an+1)在直线 y=x+2 上, (1)求数列{an}的通项公式; n (2)若 bn=an?3 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

21.p:方程

表示双曲线;命题 q:曲线 y=x +(2a﹣3)x+1 与 x 轴交于不同

2

的两点.如果命题“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数 a 的取值范围.

22.椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且 PF1⊥F1F2,

|PF1|= ,|PF2|=



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过点 M(﹣2,1) ,交椭圆 C 于 A,B 两点,且 M 恰是 A,B 中点,求直线 l 的方程.

2015-2016 学年河北省邯郸市成安一中高二 (上) 12 月月 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求) 1. △ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 若 sinA= , b= A.3 B. C. D. sinB, 则 a 等于 ( )

【考点】正弦定理. 【专题】计算题;解三角形. 【分析】根据正弦定理 题答案. 【解答】解:∵△ABC 中,sinA= ,b= ∴根据正弦定理 ,得 sinB, 的式子,将题中数据直接代入,即可解出 a 长,得到本

解之得 a= 故选:D 【点评】本题给出三角形中 A 的正弦和边角关系式,求 a 之长.着重考查了运用正弦定理 解三角形的知识,属于基础题. 2.在△ABC 中,三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若内角 A、B、C 依次成等 差数列,且不等式﹣x +6x﹣8>0 的解集为{x|a<x<c},则 S△ABC 等于( ) A. B.2 C.3 D.4 【考点】一元二次不等式的解法;等差数列的通项公式. 【专题】对应思想;转化法;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 2 【分析】利用等差数列的性质求出 B,由不等式﹣x +6x﹣8>0 的解集求出 a,c,再由正弦 定理求出△ABC 的面积. 【解答】解:△ABC 中,内角 A、B、C 依次成等差数列, ∴B=60°, 2 ∵不等式﹣x +6x﹣8>0 的解集为{x|2<x<4}, ∴a=2,c=4; ∴△ABC 的面积为 S△ABC= acsinB= ×2×4×sin60°=2 故选:B. .
2

【点评】 本题考查了等差数列的性质与解一元二次不等式以及利用正弦定理的推论求三角形 的面积的应用问题,是基础题目.

3.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 3a=2b,则 的值为( A.﹣ B. ) C.1 D.

【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】根据正弦定理,将条件进行化简即可得到结论. 【解答】解:∵3a=2b,∴b= ,

根据正弦定理可得

=

=

=



故选:D. 【点评】本题主要考查正弦定理的应用,比较基础. 4.等差数列{an}满足:a2+a9=a6,则 S9=( A.﹣2 B.0 C.1 D.2 【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题. )

【分析】利用等差数列的通项公式,结合已知条件列出关于 a1,d 的方程,推出 a1,d 的关 系,然后代入前 n 项和公式求解即可. 【解答】解:设{an}的公差为 d,首项为 a1, 因为 a2+a9=a6, 所以 a1+5d=a1+2d+a1+7d, 所以 a1+4d=0, 所以 s9=9a1+ d=9(a1+4d)=0,

故选 B. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式,熟练应用公式是解题的关键,注 意整体代换思想的运用. 5.在等比数列{an}中,S4=1,S8=3,则 a17+a18+a19+a20 的值是( ) A.14 B.16 C.18 D.20 【考点】等比数列的性质. 【专题】计算题. 【分析】根据等比数列的性质可知,从第 1 到第 4 项的和,以后每四项的和都成等比数列, 由前 8 项的和减前 4 项的和得到第 5 项加到第 8 项的和为 2,然后利用第 5 项到第 8 项的和

除以前 4 项的和即可得到此等比数列的公比为 2,首项为前 4 项的和即为 1,而所求的式子 (a17+a18+a19+a20)为此数列的第 5 项,根据等比数列的通项公式即可求出值. 【解答】解:∵S4=1,S8=3, ∴S8﹣S4=2, 而等比数列依次 K 项和为等比数列, 则 a17+a18+a19+a20=(a1+a2+a3+a4)?2 =16. 故选 B. 【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质,灵活运用等比数列的通项公式化简求值,是一 道中档题.
5﹣1

6.设变量 x、y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x+y 的最小值为(



A.2 B.3 C.4 D.9 【考点】简单线性规划的应用. 【专题】计算题;数形结合.

【分析】本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件

的可行域,再求

出可行域中各角点的坐标, 将各点坐标代入目标函数的解析式, 分析后易得目标函数 Z=2x+y 的最小值.

【解答】解:设变量 x、y 满足约束条件



在坐标系中画出可行域△ABC,A(2,0) ,B(1,1) ,C(3,3) , 则目标函数 z=2x+y 的最小值为 3, 故选 B

【点评】在解决线性规划的问题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可 行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证,求出最优 解. 7.下列四个命题中,真命题是( ) 2 2 A.a>b,c>d?ac>bd B.a<b?a <b C. ?a>b D.a>b,c<d?a﹣c>b﹣d

【考点】不等式的基本性质.

【专题】不等式的解法及应用. 【分析】利用不等式的基本性质即可判断出. 【解答】解:A.取 a=﹣1,b=﹣2,c=﹣1,b=﹣3,则 ac>bd 不成立; 2 2 B.取 a=﹣2,b=﹣1,则 a >b ,因此不正确; C.取 a=﹣1,b=2,则 a>b 不成立; D.a>b,c<d?a﹣c>b﹣d,正确. 故选:D. 【点评】本题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 8.命题?x∈R,x ﹣x≥0 的否定是( ) 2 2 2 2 A.?x∈R,x ﹣x≥0 B.?x∈R,x ﹣x≥0 C.?x∈R,x ﹣x<0 D.?x∈R,x ﹣x<0 【考点】命题的否定. 【专题】常规题型. 【分析】全称命题“?x∈M,p(x)”的否定为特称命题“?x∈M,¬p(x)”. 2 2 【解答】解:命题?x∈R,x ﹣x≥0 的否定是?x∈R,x ﹣x<0. 故选 D. 【点评】本题考查全称命题的否定形式. 9.已知 p:2x﹣3<1,q:x(x﹣3)<0,则 p 是 q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】对应思想;综合法;简易逻辑. 【分析】分别求出关于 p,q 的不等式,结合充分必要条件的性质,从而求出答案. 【解答】解:关于 p:2x﹣3<1,解得:x<2, 关于 q:x(x﹣3)<0,解得:0<x<3, 则 p 是 q 的既不充分也不必要条件, 故选:D. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查集合的包含关系,是一道基础题.
2

10.两个正数 1、9 的等差中项是 a,等比中项是 b,则曲线 A. B. C. D. 与

的离心率为(



【考点】椭圆的简单性质;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由两个正数 1、9 的等差中项是 a,等比中项是 b,知 a=5,b=±3,由此能求出曲线 的方程,进而得到离心率. 【解答】解:∵两个正数 1、9 的等差中项是 a,等比中项是 b,





∴a=5,b=±3, 则当曲线方程为: 时,

离心率为 e=

当曲线方程为:

时,

离心率为 e=

=



故选:D 【点评】本题考查圆锥的简单性质的应用,解题时要认真审题,注意等差中项、等比中项的 灵活运用.

11. 设 F1、 F2 分别是椭圆

+

=1 的左、 右焦点, P 为椭圆上一点, M 是 F1P 的中点, |OM|=3,

则 P 点到椭圆左焦点的距离为( ) A.4 B.3 C.2 D.5 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由题意知,OM 是△PF1F2 的中位线,由|OM|=3,可得|PF2|=6,再由椭圆的定义求 出|PF1|的值. 【解答】解:由题意知,OM 是△PF1F2 的中位线, ∵|OM|=3,∴|PF2|=6, 又|PF1|+|PF2|=2a=10, ∴|PF1|=4, 故选:A. 【点评】本题考查椭圆的定义,以及椭圆的简单性质的应用,判断 OM 是△PF1F2 的中位线 是解题的关键,属于中档题. 12.已知抛物线 y =2px(p>0) ,过其焦点且斜率为﹣1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若 线段 AB 的中点的横坐标为 3,则该抛物线的准线方程为( ) A.x=l B.x=2 C.x=﹣1 D.x=﹣2 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .由于直线过其焦点且斜率为﹣1,可得方程为 y=﹣ .与抛物线的方程联立,化为关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系和中 点坐标公式可得 P,即可得到抛物线的准线方程. 【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .
2

由于直线过其焦点且斜率为﹣1,可得方程为 y=﹣



联立



化为



∴x1+x2=3p=2×3, 解得 p=2. ∴抛物线的准线方程为 x=﹣1. 故选:C. 【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、根与系数的关系和中点坐标公式,属于基 础题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c, 若 则角 B 的值为 或 ,

【考点】余弦定理的应用. 【专题】计算题. 【分析】先根据余弦定理进行化简,进而得到 sinB 的值,再由正弦函数的性质可得到最后 答案. 【解答】解:∵ ∴B= 或 ,∴cosB×tanB=sinB=

故选 B. 【点评】本题主要考查余弦定理的应用.考查计算能力. 14.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n +2n,则这个数列的通项公式 an= 【考点】数列递推式. 【专题】计算题;等差数列与等比数列.
2 2 2

2n+1 .

【分析】由 Sn=n +2n,得 Sn﹣1=(n﹣1) +2(n﹣1) (n≥2) ,两式相减可得 an,注意检验 n=1 时的情形. 2 【解答】解:∵Sn=n +2n①, 2 ∴Sn﹣1=(n﹣1) +2(n﹣1) (n≥2)②, ①﹣②得,an=2n+1(n≥2) , 当 n=1 时,a1=S1=3,适合上式, ∴an=2n+1. 故答案为:2n+1.

【点评】该题考查数列递推式,考查 an 与 Sn 的关系:



15.命题“ax ﹣2ax+3>0 恒成立”是假命题,则实数 a 的取值范围是 a<0 或 a≥3 . 【考点】一元二次不等式的应用;复合命题的真假. 【专题】计算题;分类讨论;转化思想. 2 【分析】将条件转化为 ax ﹣2ax+3≤0 恒成立,检验 a=0 是否满足条件,当 a≠0 时,必须 ,从而解出实数 a 的取值范围. 【解答】 解: 命题“ax ﹣2ax+3>0 恒成立”是假命题, 即“ax ﹣2ax+3≤0 恒成立”是真命题 ①. 当 a=0 时,①不成立, 当 a≠0 时,要使①成立,必须 ,解得 a<0 或 a≥3,
2 2

2

故答案为 a<0 或 a≥3. 【点评】本题考查一元二次不等式的应用,注意联系对应的二次函数的图象特征,体现了等 价转化和分类讨论的数学思想.

16.对于曲线 C:

=1,给出下面四个命题:

①由线 C 不可能表示椭圆; ②当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆; ③若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4; ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k< 其中所有正确命题的序号为 ③④ . 【考点】椭圆的标准方程;双曲线的标准方程. 【专题】计算题. 【分析】据椭圆方程的特点列出不等式求出 k 的范围判断出①②错,据双曲线方程的特点 列出不等式求出 k 的范围,判断出③对;据椭圆方程的特点列出不等式求出 t 的范围,判 断出④错. 【解答】解:若 C 为椭圆应该满足 即 1<k<4 且 k≠ 故①②错

若 C 为双曲线应该满足(4﹣k) (k﹣1)<0 即 k>4 或 k<1 故③对 若 C 表示椭圆,且长轴在 x 轴上应该满足 4﹣k>k﹣1>0 则 1<k< ,故④对 故答案为:③④.

【点评】椭圆方程的形式:焦点在 x 轴时

,焦点在 y 轴时

;双曲线的方程形式:焦点在 x 轴时

;焦点在 y 轴时



三、计算题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) . 17. (1)点 A(2,﹣4)在以原点为顶点,坐标轴为对称轴的抛物线上,求抛物线方程; (2)已知双曲线 C 经过点(1,1) ,它渐近线方程为 y=± x,求双曲线 C 的标准方程. 【考点】双曲线的标准方程;抛物线的标准方程. 【专题】计算题. 2 2 【分析】 (1) 点A (2, ﹣4) 在第四象限, 设抛物线方程为 y =2px ①, 或 x =﹣2py ②, 把点的坐标代入求得 p 值,即得到抛物线方程. (2)根据渐近线方程,设双曲线的方程为 y ﹣3x =λ,将点(1,1)代入可得 λ 值,从 而得到双曲线方程. 2 2 【解答】解: (1)点 A(2,﹣4)在第四象限,设抛物线方程为 y =2px ①,或 x =﹣ 2py ②, 将点 A(2,﹣4)代入①解得 p=4,将点 A(2,﹣4)代入②解得 p= , 故抛物线的方程为:y =8x,或 x =﹣y. 2 2 (2)解:设双曲线的方程为 y ﹣3x =λ,将点(1,1)代入可得 λ=﹣2, 故答案为 =1.
2 2 2 2

【点评】本题考查抛物线、双曲线的标准方程,以及双曲线、抛物线的简单性质的应用,体 现了分类讨论的数学思想,设出抛物线的标准方程是解题的易错点,容易漏掉另一种情况. 18.解下列关于 x 不等式:x ﹣(4a+1)x+3a(a+1)≤0. 【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】分类讨论;转化法;不等式的解法及应用. 【分析】把不等式化为(x﹣3a)[x﹣(a+1)]<0,讨论 a 的取值,求出对应不等式的解集. 【解答】解:原不等式可以化为(x﹣3a)[x﹣(a+1)]<0; (1)当 3a=a+1,即 a= 时,不等式为 <0,解得 x∈?;
2

(2)当 3a>a+1,即 a> 时,解不等式得 a+1<x<3a; (3)当 3a<a+1,即 a< 时,解不等式得 3a<x<a+1; 综上:当 a= 时,不等式的解集为?;

当 a> 时,不等式的解集为(a+1,3a) ; 当 a< 时,不等式的解集为(3a,a+1) . 【点评】 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题, 解题时应对字母系数分类讨 论,是基础题目. 19.已知△ABC 的周长为 (Ⅰ)求边长 a 的值; ,且 .

(Ⅱ)若 S△ABC=3sinA,求 cosA 的值. 【考点】余弦定理的应用;正弦定理的应用. 【专题】计算题. 【分析】 (I)根据正弦定理把 转化为边的关系,进而根据△ABC 的周 长求出 a 的值. (II)通过面积公式求出 bc 的值,代入余弦定理即可求出 cosA 的值. 【解答】解: (I)根据正弦定理, 可化为 . 联立方程组 解得 a=4. ∴边长 a=4; (II)∵S△ABC=3sinA, ∴ 又由(I)可知, ∴ . , . ,

【点评】本题主要考查了余弦定理、正弦定理和面积公式.这几个公式是解决三角形边角问 题的常用公式,应熟练记忆,并灵活运用. 20.数列{an}中 a1=3,已知点(an,an+1)在直线 y=x+2 上, (1)求数列{an}的通项公式; n (2)若 bn=an?3 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【考点】等差数列的通项公式;数列的求和. 【专题】计算题. 【分析】 (1)把点(an,an+1)代入直线 y=x+2 中可知数列{an}是以 3 为首项,以 2 为公差 的等差数,进而利用等差数列的通项公式求得答案. n (2)把(1)中求得 an 代入 bn=an?3 ,利用错位相减法求得数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【解答】解: (1)∵点(an,an+1)在直线 y=x+2 上. ∴数列{an}是以 3 为首项,以 2 为公差的等差数, ∴an=3+2(n﹣1)=2n+1 n (2)∵bn=an?3 ,

∴bn=(2n+1)?3 ∴Tn=3×3+5×3 +7×3 +…+(2n﹣1)?3 +(2n+1)?3 ① 2 3 n n+1 ∴3Tn=3×3 +5×3 +…+(2n﹣1)?3 +(2n+1)?3 ② 2 3 n n+1 由①﹣②得﹣2Tn=3×3+2(3 +3 ++3 )﹣(2n+1)?3 =
n+1

n

2

3

n﹣1

n

=﹣2n?3

n+1

∴Tn=n?3 . 【点评】 本题主要考查了等差数列的性质和通项公式. 当数列由等比和等差数列构成的时候, 常可用错位相减法求和.

21.p:方程

表示双曲线;命题 q:曲线 y=x +(2a﹣3)x+1 与 x 轴交于不同

2

的两点.如果命题“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数 a 的取值范围. 【考点】双曲线的标准方程;复合命题的真假. 【专题】综合题. 【分析】先研究 p 真,q 真时,参数的范围,再将命题“p∨q”为真,“p∧q”为假,转化为 p 真 q 假,或 p 假 q 真,分类求解,最后求其并集即可. 【解答】解:p 真:a(1﹣a)>0,则 0<a<1 q 真: (2a﹣3) ﹣4>0,则 ∵命题“p∨q”为真,“p∧q”为假 ∴p 真 q 假,或 p 假 q 真 当 p 真 q 假时,
2



当 p 假 q 真时, 故 或

【点评】本题考查复合命题真假的运用,解题的关键是分类求出命题为真时,参数的范围, 将命题“p∨q”为真,“p∧q”为假,转化为 p 真 q 假,或 p 假 q 真.

22.椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且 PF1⊥F1F2,

|PF1|= ,|PF2|=



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过点 M(﹣2,1) ,交椭圆 C 于 A,B 两点,且 M 恰是 A,B 中点,求直线 l 的方程.

【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】综合题. 【分析】 (Ⅰ)根据椭圆的定义,可得 a 的值,在 Rt△PF1F2 中, |F1F2|= ,可得椭圆的半焦距 c= ,从而可求椭圆 C 的方程为

=1; (Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2) ,设过点(﹣2,1)的直线 l 的方程为 y=k (x+2)+1,代入椭圆 C 的方程,利用 A,B 关于点 M 对称,结合韦达定理,即可求得结 论. 【解答】解: (Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a=|PF1|+|PF2|=6,a=3. 在 Rt△PF1F2 中,|F1F2|= ﹣c =4, 所以椭圆 C 的方程为 =1. (6 分)
2

,故椭圆的半焦距 c=

,从而 b =a

2

2

(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2) .若直线 l 斜率不存在,显然不合题意. 从而可设过点(﹣2,1)的直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 2 2 2 2 代入椭圆 C 的方程得(4+9k )x +(36k +18k)x+36k +36k﹣27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称,所以 ,解得 k= ,

所以直线 l 的方程为

,即 8x﹣9y+25=0.

经检验,△>0,所以所求直线方程符合题意. (14 分) 【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,确 定椭圆的方程,联立方程是关键.


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