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2008年成都市树德中学招生考试数学试卷(含答案)


2008 年成都市树德中学自主招生考试数学
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.一列火车花了 H 时行程 D 里从 A 抵达 B,晚点两小时,那么应该以什么样的速度才能准点到达( A.H+2 B.
D H



+2

C.

D H -2

D.

D H ?2

2.若 A.100≤M≤110

均为非负整数,则 M=5x+4y+2z 的取值范围是( B.110≤M≤120 C.120≤M≤130



D.130≤M≤140

3.某天,学校研究性学习小组的同学从 8 时起骑自行车外出调查,17 时回到学校,小组离开学校的距离 与时间的关系可用图中的曲线表示,根据这个曲线图,下列说法错误的是( )

A.在离校最远的地方调查的时间是 14~15 时 C.中午 12~13 时休息的地方离校 15km
2

B.第一次调查从 9 时开始,历时 2h D.返校的速度最慢

4.已知函数 y=|8﹣2x﹣x |和 y=kx+k(k 为常数) ,则不论 k 为何值,这两个函数的图象( ) A.有且只有一个交点 B.有且只有二个交点 C.有且只有三个交点 D.有且只有四个交点

5.如果 x、y 是非零实数,使得

,那么 x+y 等于(



A.3

B.

C.

D.

6.一列数:7,7 ,7 ,7 ,…7 .其中末位数字是 3 的有( ) A.502 个 B.500 个 C.1004 个 D.256 个 7.在△ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c,∠C=90°,CD 和 BE 是△ABC 的两条中线,且 CD⊥BE,那么 a: b:c=( ) A.1:2:3 B.3:2:1 C. D. )

2

3

4

2008

8.已知三角形三个内角的度数都是质数,则这三个内角中必定有一个内角等于( A.2 度 B.3 度 C.5 度 D.7 度
2 2

9.已知:m +n +mn+m﹣n=﹣1,则 A.﹣1 B.0 C.1

的值等于( D.2



10.积(1+ A.1

) (1+ B.2

) (1+ C.3

)…(1+ D.4

) (1+

)值的整数部分是(



二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 11.如图所示,一个大长方形被两条线段 AB、CD 分成四个小长方形,其中长方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别 是 8、6、5,那么阴影部分的面积是: _________ .

12.当|x|≤4 时,函数 y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最大值减去最小值的差是: _________ . 13.今年参加数学竞赛的人数比去年增加了 30%,其中男生增加了 20%,女生增加了 50%,设今年参加竞 赛的总人数为 a,其中男生人数为 b,则: = _________ .

14.如果两点:M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,那么
2 2 2

.已知:A(3,

﹣1) B , (﹣1, , 4) C (1, ﹣6) 在△ABC 内求一点 P, PA +PB +PC 最小, , 使 则点 P 的坐标是 _________ . 15.实数 a、b、c 满足:a +6b=﹣17,b +8c=﹣23,c +2a=14,则 a+b+c=
2 6 2 3 10 11 12 2 2 2

_________ .
2

16.已知恒等式: ﹣x+1) =a0+a1x+a2x +a3x +…+a10x +a11x +a12x ,则(a0+a2+a4+a6+a8+a10+a12) (x 2 ﹣(a1+a3+a5+a7+a9+a11) = _________ . 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 2 2 7 7 17. (1)已知:点(x,y)在直线 y=﹣x+1 上,且 x +y =2,求 x +y 的值.

(2)计算:
2007 ( 2007 ? 2008 )( 2007 ? 2009 ) ? 2008 ( 2008 ? 2009 )( 2008 ? 2007 ) ? 2009 ( 2009 ? 2008 )( 2009 ? 2007 )

(3)已知 a、b、c 是直角三角形△ABC 的角 A、B、C 所对的边,∠C=90°.求: 的值.

18.已知 x、y、z 为实数,且 x+y+z=5,xy+yz+zx=3,试求 z 的最大值与最小值.

19.在成都火车站开始检票时,有 a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.检票开始后,仍有旅客 继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,检票口按固定的速度检票.若开放一个检票口,则需 30 分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则需 10 分钟才能将排队等候的旅客全 部检票完毕; 如果现在要在 5 分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕, 以后进站的旅客能够随到随检, 至少要同时开放几个检票口?

20.如图,△ABC 的三边满足关系 BC= (AB+AC) ,O、I 分别为△ABC 的外心、内心,∠BAC 的外角 平分线交⊙O 于 E,AI 的延长线交⊙O 于 D,DE 交 BC 于 H, 求证: (1)AI=BD; (2)OI= AE.

21. (2004?上海)数学课上,老师提出: 如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A 点的坐标为(1,0) ,点 B 在 x 轴上,且在点 A 的右侧, AB=OA,过点 A 和 B 作 x 轴的垂线,分别交二次函数 y=x 的图象于点 C 和 D,直线 OC 交 BD 于点 M, 直线 CD 交 y 轴于点 H,记点 C、D 的横坐标分别为 xC、xD,点 H 的纵坐标为 yH. 同学发现两个结论: ①S△CMD:S 梯形 ABMC=2:3 ②数值相等关系:xC?xD=﹣yH (1)请你验证结论①和结论②成立; (2)请你研究:如果上述框中的条件“A 的坐标(1,0)”改为“A 的坐标(t,0) (t>0)”,其他条件不变, 结论①是否仍成立(请说明理由) ; (3) 进一步研究: 如果上述框中的条件“A 的坐标 (1, ”改为“A 的坐标 0) (t, (t>0) 又将条件“y=x ” 0) ”, 2 改为“y=ax (a>0)”,其他条件不变,那么 xC、xD 与 yH 有怎样的数值关系?(写出结果并说明理由)
2 2

22.如图所示,在△ABC 中,∠A=90°,AD⊥BC 于 D.∠B 的平分线分别与 AD、AC 交于 E,F,H 为 EF 的中点. (1)求证:AH⊥EF; (2)设△AHF、△BDE、△BAF 的周长为 cl、c2、c3.试证明: ,并指出等号成立时 的值.

2008 年四川省成都市树德中学自主招生考试
参考答案与试题解析
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.一列火车花了 H 时行程 D 里从 A 抵达 B,晚点两小时,那么应该以什么样的速度才能准点到达( A.H+2 B. +2 C. D.



考点:列代数式(分式) 。 分析:根据速度=路程÷时间,可确定该以什么样的速度才能准点到达. 解答:解:根据题意得,以 这样的速度才能准点到达.

故选 C. 点评:本题考查列代数式,关键是知道速度=路程÷时间,从而可列出代数式.

2.若

均为非负整数,则 M=5x+4y+2z 的取值范围是(



A.100≤M≤110 B.110≤M≤120 C.120≤M≤130 D.130≤M≤140 考点:一次函数的性质。 专题:计算题。 分析:将 x+y+z=30,3x+y﹣z=50 联立,得到 y 和 z 的关于 x 的表达式,再根据 y,z 为非负实数,列出关 于 x 的不等式组,求出 x 的取值范围,再将 M 转化为关于 x 的表达式,将 x 的最大值和最小值代入解析式 即可得到 M 的最大值和最小值. 解答:解:将已知的两个等式联立成方程组 所以①+②得, 4x+2y=80,y=40﹣2x. 将 y=40﹣2x 代入①可解得, z=x﹣10. 因为 y,z 均为非负实数, 所以 , ,

解得 10≤x≤20. 于是, M=5x+4y+2z=5x+4(40﹣2x)+2(x﹣10) =﹣x+140. 当 x 值增大时,M 的值减小;当 x 值减小时,M 的值增大. 故当 x=10 时,M 有最大值 130; 当 x=20 时,M 有最小值 120. ∴120≤M≤130. 故选 C. 点评:本题主要考查一次函数的性质的知识,解决本题的关键是根据题目方程组,求得用 M 表示的 x、y、 z 表达式,进而根据 x、y、z 皆为非负数,求得 M 的取值范围.

3.某天,学校研究性学习小组的同学从 8 时起骑自行车外出调查,17 时回到学校,小组离开学校的距离 与时间的关系可用图中的曲线表示,根据这个曲线图,下列说法错误的是( )

A.在离校最远的地方调查的时间是 14~15 时 B.第一次调查从 9 时开始,历时 2h C.中午 12~13 时休息的地方离校 15km D.返校的速度最慢 考点:函数的图象。 分析:根据图中的点的横坐标表示时间,所以点 E 点距离家最远,横坐标表示距家最远的时间,纵坐标表 示离家的距离,故判断 A 选项正确;第一次调查开始,即距离不发生变化,由图象即可看出,故 B 选项正 确;根据图象的信息,可得出此时距学校的距离问为 15km,故 C 选项正确;分别求得各段时间所对应的 直线度斜率,即可判断 D 选项是否正确. 解答:解:A、离校最远的地方的调查时间即为离校最远的地方,由图可知 A 选项正确; B、由图象可知,在 9 时时距离不发生变化,即为第一次调查开始,故此选项正确; C、根据图象的信息,可得出此时距学校的距离问为 15km,故此选项正确; 故 D 选项错误. 点评:本题主要考查动点问题的函数的图象,结合图形判断各项是否正确,本题难度一般,熟练提取图象 信息. 4.已知函数 y=|8﹣2x﹣x |和 y=kx+k(k 为常数) ,则不论 k 为何值,这两个函数的图象( ) A.有且只有一个交点 B.有且只有二个交点 C.有且只有三个交点 D.有且只有四个 交点 考点:二次函数综合题。 分析:首先画出二次函数的图象,一次函数与 x 轴一定经过点(﹣1,1) .根据图象即可确定交点的个数. 解答:解:函数 y=8﹣2x﹣x 中,令 y=0,解得:x=﹣4 或 2. 则二次函数与 x 轴的交点坐标是(﹣4,0)和(2,0) .则函数的图象如图. 一次函数 y=kx+k(k 为常数)中,令 y=0,解得:x=﹣1,故这个函数一定经过点(﹣1,0) . 经过(﹣1,0)的直线无论 k 多大,都是 2 个交点. 故选 B.
2 2

点评:本题主要考查了一次函数与二次函数的图象,正确作出二次函数的答题图象,确定一次函数比经过 (﹣1,0) ,利用数形结合思想是解题关键.

5.如果 x、y 是非零实数,使得

,那么 x+y 等于(



A.3

B.

C.

D.

考点:一元二次方程的应用。

分析:根据绝对值的意义,可知分为两种情况来讨论,即 x>0 和 x<0 来完成我题目,解化简后的一元二 次方程即可得出答案. 解答:解:将 y=3﹣|x|代入|x|y+x =0,得 x ﹣x +3|x|=0. 3 2 2 (1)当 x>0 时,x ﹣x +3x=0,方程 x ﹣x+3=0 无实根; 3 2 2 (2)当 x<0 时,x ﹣x ﹣3x=0,得方程 x ﹣x﹣3=0 解得 于是 ,正根舍去,从而 . .
3 3 2

故 . 故选 D. 点评:本题主要考查了绝对值的性质和解一元二次方程的实际应用,属于基础性题目,要求学生能够熟练 掌握并加以运用. 6.一列数:7,7 ,7 ,7 ,…7 .其中末位数字是 3 的有( ) A.502 个 B.500 个 C.1004 个 D.256 个 考点:有理数的乘方。 专题:规律型。 分析:利用有理数的乘方法则计算出这列数,发现末位上的数字以 7,9,3,1 每四个一循环,故用 2008 除以 4 得 502,表示这列数末位上的数字以 7,9,3,1 每四个一循环,循环了 502 次,因为每循环一次中 末位上数字是 3 的有一个,所以这列数末位上数字是 3 的有 502 个. 解答:解:∵7=7;7 =49;7 =343;7 =2401; 5 6 7 8 7 =16807;7 =117649;7 =823543;7 =5764801; …, 这列数个位数的变化规律为:7,9,3,1 每四个一循环,其中有末位上的数是 3 有一个, ∵2008÷4=502, ∴这列数末位数字是 3 的有 502 个. 故选 A. 点评:此题考查了有理数的乘方.采用的解题法为“循环节定位法”,即观察一个整数的正整数次幂的个位 数字的规律.本题观察出 7 的个位数字的特点,总结出一般性的规律是解题的关键. 7.在△ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c,∠C=90°,CD 和 BE 是△ABC 的两条中线,且 CD⊥BE,那么 a: b:c=( ) A.1:2:3 B.3:2:1 C. D. 考点:勾股定理;三角形的重心。 分析:可以用建立直角坐标系来做.以三角形 BC 所在的边为 x 轴,以 AC 所在的边为 y 轴,C 点为原点 建立直角坐标系.可得,C(0,0) ,B(a,0) ,A(0,b)因为,CD 和 BE 为中线,所以 D,E 为中点, 易得,D( , ) ,E(0, ) .因为 CD 与 BE 垂直,所以 CD 与 BE 所在直线的斜率的乘积为负 1,所以 可得答案. 解答:解:可以用建立直角坐标系来做.以三角形 BC 所在的边为 x 轴,以 AC 所在的边为 y 轴,C 点为 原点建立直角坐标系. 可得,C(0,0) ,B(a,0) ,A(0,b) . ∵CD 和 BE 为中线, ∴D,E 为中点,则 D( , ) ,E(0, ) .
2 3 4 2 3 4 2008

则直线 BE 的斜率是:

=﹣



直线 CD 的斜率是: = .

∵CD 与 BE 垂直,所以 CD 与 BE 所在直线的斜率的乘积为﹣1,即﹣ ∴b =2a . ∴a:b=1: . 2 2 2 又∵a +b =c . ∴a:b:c=1: : 故选 D.
2 2

? =﹣1.



点评: 本题考查了两条直线垂直的条件, 关键是正确建立坐标系, 把三角形的问题转化为一次函数的问题. 8.已知三角形三个内角的度数都是质数,则这三个内角中必定有一个内角等于( ) A.2 度 B.3 度 C.5 度 D.7 度 考点:质数与合数;三角形内角和定理。 专题:探究型。 分析:由题意,根据三个角的内角和是 180°可判断出,三个内角中必有一个内角是偶数,找出既是偶数又 是质数的数即可. 解答:解:∵三个内角的和是 180°,是一个偶数, ∴必有一个内角为偶数, 又∵三角形三个内角的度数都是质数, ∴既是偶数又是质数的只有 2; ∴这三个内角中必定有一个内角等于 2°; 故选 A. 点评:本题考查的是质数与合数,知道既是偶数又是质数的只有 2,是解答此题的关键.
2 2

9.已知:m +n +mn+m﹣n=﹣1,则

的值等于(



A.﹣1 B.0 C.1 D.2 考点:因式分解的应用;代数式求值。 专题:计算题。 分析:把所给等式整理为 3 个完全平方式的和为 0 的形式,得到 m,n 的值,代入求值即可. 2 2 解答:解:整理得:m +n +mn+m﹣n+1=0 (m+n) + (m+1) + (n﹣1) =0, ∴m+n=0,m+1=0,n﹣1=0, 解得 m=﹣1,n=1,
2 2 2



=﹣1+1=0,

故选 B. 点评:考查因式分解的应用;把所给等式整理为 3 个完全平方式的和为 0 的形式是解决本题的突破点;用 到的知识点为:三个完全平方式的和为 0,这三个完全平方式的底数为 0. ) (1+ ) (1+ C.3 )…(1+ D.4 ) (1+ )值的整数部分是( )

10.积(1+

A.1 B.2 考点:分式的混合运算。 专题:规律型。 分析:先将(1+ × × ) (1+ ×…× ) (1+ ×…×

) (1+ × ) (1+ ×

)…(1+

) (1+

)变形为

,再约分化简,从而得出整数部分. )…(1+ ) (1+ )

解答:解:∵(1+ = = = , ) (1+ × ×

∴积(1+

) (1+

)…(1+

) (1+

)值的整数部分是 1.

故选 A. 点评:本题考查了分式的混合运算,是一道找规律的题目,要求学生通过观察,分析、归纳并发现其中的 规律,并应用发现的规律解决问题.解答此题的关键是平方差公式的运用和约分. 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 11.如图所示,一个大长方形被两条线段 AB、CD 分成四个小长方形,其中长方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别 是 8、6、5,那么阴影部分的面积是: .

考点:面积及等积变换。 分析:设大长方形的长为 a,宽为 b,Ⅰ的长为 x,宽为 y,则Ⅱ的长为 a﹣x,宽为 y,Ⅲ的长为 a﹣x,宽 为 b﹣y,阴影部分的长为 x,宽为 b﹣y,设有阴影的矩形面积为 z,再根据等高不同底利用面积的比求解 即可. 解答:解:∵图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为 8、6、5, ∴ = = = ,



=

=

= ,

∴ = ,z= ∴S 阴影= z= × 故答案为: . = .

点评:此题考查的是长方形及三角形的面积公式,解答此题的关键是熟知等高不同底的多边形底边的比等 于其面积的比. 12.当|x|≤4 时,函数 y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最大值减去最小值的差是: 16 . 考点:函数最值问题。 分析:利用绝对值的性质,正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0 的绝对值是 0,对 x 的范围分成﹣4≤x<1,1≤x<2,2≤x<3 和 3≤x≤4 共 4 类,分别对函数解析式化简,然后根据化简结果求得 最值,继而求得答案. 解答:解:∵|x|≤4, ∴﹣4≤x≤4,





∴当 x=﹣4 时,y 取最大值 18, 当 x=2 时,y 取最小值 2. 则最大值与最小值的差是 18﹣2=16. 故答案为:16. 点评:本题主要考查了函数最值问题,考查了绝对值的性质.此题难度较大,解题的关键是正确对 x 的范 围进行分类,准确去绝对值. 13.今年参加数学竞赛的人数比去年增加了 30%,其中男生增加了 20%,女生增加了 50%,设今年参加竞 赛的总人数为 a,其中男生人数为 b,则: = .

考点:分式方程的应用。 分析:根据题干中给出的总人数比 2000 年增加了 30%,其中男生增加了 20%,女生增加 50%,即可列出 关于 a、b 的关系式,即可求得 的值. 解答:解:∵今年参加竞赛的总人数为 a,其中男生人数为 b, ∴女生人数为 a﹣b, ∵总人数比 2000 年增加了 30%,男生增加了 20%,女生增加 50%, ∴ = + ,

整理得:13a=8b, 即 = . .

故答案为

点评:本题考查了分式方程的应用,本题中根据总人数比 2000 年增加了 30%、男生增加了 20%、女生增 加 50%列出关于 a,b 的关系式是解题的关键. 14.如果两点:M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,那么
2 2 2

.已知:A(3,

﹣1) ,B(﹣1,4) ,C(1,﹣6) ,在△ABC 内求一点 P,使 PA +PB +PC 最小,则点 P 的坐标是 (1, ﹣1) . 考点:两点间的距离公式;完全平方式。 专题:计算题。 分析:设点 P(x,y) ,则由两点间的距离公式,推出 3x +3y ﹣6x+6y+64,整理后得到 3(x﹣1) +3(y+1) 2 +58,根据最小值求出即可. 解答:解:设点 P(x,y) ,则由两点间的距离公式,得 PA +PB +PC =(x﹣3) +(y+1) +(x+1) +(y﹣4) +(x﹣1) +(y+6) 2 2 =3x +3y ﹣6x+6y+64, 2 2 =3(x ﹣2x+1)+3(y ﹣2y+1)+58, 2 2 =3(x﹣1) +3(y+1) +58, ∵要使上式的值最小, 必须 x﹣1=0,y+1=0, ∴x=1,y=﹣1, 即 P(1,﹣1) , 故答案为: (1,﹣1) .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

点评:本题主要考查对完全平方公式,两点之间的距离公式等知识点的理解和掌握,能推出 3(x﹣1) +3 2 (y+1) +58 并进一步求出 x、y 的值是解此题的关键. 15.实数 a、b、c 满足:a +6b=﹣17,b +8c=﹣23,c +2a=14,则 a+b+c= ﹣8 . 考点:配方法的应用;非负数的性质:偶次方。 专题:配方法。 2 2 2 分析:将已知三个等式的左右分别相加,然后根据配方法将 a +6b+b +8c+c +2a 转化为偶次方的和的形式 2 2 2 (a+1) +(b+3) +(c+4) =0;最后根据非负数的性质解答. 2 2 2 解答:解:∵a +6b=﹣17,b +8c=﹣23,c +2a=14, 2 2 2 ∴a +6b+b +8c+c +2a=﹣26, 2 2 2 ∴(a +2a+1)+(b +6b+9)+(c +8c+16)=0, 2 2 2 即(a+1) +(b+3) +(c+4) =0, ∴a+1=0,即 a=﹣1;b+3=0,即 b=﹣3;c+4=0,即 c=﹣4; ∴a+b+c=﹣8. 故答案是:﹣8. 点评:本题重点考查了配方法的应用、非负数的性质:偶次方.解题的关键是根据完全平方和公式将代数 式转化为偶次方的和的形式,然后由非负数的性质:偶次方解答. 16.已知恒等式: ﹣x+1) =a0+a1x+a2x +a3x +…+a10x +a11x +a12x ,则(a0+a2+a4+a6+a8+a10+a12) (x 2 ﹣(a1+a3+a5+a7+a9+a11) = 729 . 考点:函数值。 分析:只要把所求代数式因式分解成已知的形式,然后把已知代入即可. 解答:解:根据平方差公式, 原式=(a0+a2+a4+a6+a8+a10+a12+a1+a3+a5+a7+a9+a11) 0+a2+a4+a6+a8+a10+a12﹣a1﹣a3﹣a5﹣a7﹣a9﹣a11) (a =(a0+a1+a2+a3+a4+a15+a16+a7+a8+a9+a10+a11+a12) 0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7+a8﹣a9+a10﹣a11+a12) (a 当 x=1 时, (1﹣1+1) 6 2 3 10 11 12 =a0+a1x+a2x +a3x +…+a10x +a11x +a12x =a0+a1+a2+a3+a4+a15+a16+a7+a8+a9+a10+a11+a12 当 x=﹣1 时,
2 6 2 3 10 11 12 2 2 2 2

2

(1+1+1) =a0+a1x+a2x +a3x +…+a10x +a11x +a12x =a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6﹣a7+a8﹣a9+a10﹣a11+a12∴ 6 6 原式=1 ×3 =729, 故答案为 729. 点评:本题考查了函数值的知识,先根据平方差公式将原式因式分解,再根据式子特点,将 1 或﹣1 代入 求值. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17. (1)已知:点(x,y)在直线 y=﹣x+1 上,且 x +y =2,求 x +y 的值. (2)计算:
2 2 7 7

6

2

3

10

11

12

(3)已知 a、b、c 是直角三角形△ABC 的角 A、B、C 所对的边,∠C=90°.求: 的值. 考点:一次函数图象上点的坐标特征;分式的化简求值;二次根式的混合运算。 分析: (1)根据点(x,y)在直线 y=﹣x+1 上,得出 x+y=1,进而求出 xy 的值,再利用因式分解法求出 7 7 x +y 的值; (2)首先设 ,再替换后整理得出即可; (3)将原式分组进行计算,再利用三角形三边关系求出即可. 解答:解: (1)∵ ∴ ,

, ∴ ;

(2)设 则原式=



=



(3)原式=

=

=

+

=0. 点评:此题主要考查了勾股定理以及一次函数图象上点的特征以及因式分解的应用和换元法解方程等知 识,根据已知选择正确的计算方法是解题关键.

18.已知 x、y、z 为实数,且 x+y+z=5,xy+yz+zx=3,试求 z 的最大值与最小值. 考点:根与系数的关系;根的判别式。 专题:计算题。 分析:由 x+y+z=5 得 y=5﹣x﹣z 代入,xy+yz+zx=3 得 x(5﹣x﹣z)+(5﹣x﹣z)z+zx=3 整理得出关于 x 的一元二次方程 x +(z﹣5)x+(z ﹣5z+3)=0,利用关于 x 的一元二次方程的判别式得到关于 z 的不等 式,解这个一元二次不等式可求得 z 的取值范围. 解答:解:由 x+y+z=5 得 y=5﹣x﹣z 代入 xy+yz+zx=3 得 x(5﹣x﹣z)+(5﹣x﹣z)z+zx=3 整理得 x +(z﹣5)x+(z ﹣5z+3)=0 2 2 因为 x 是实数,那么关于 x 的一元二次方程的判别式是(z﹣5) ﹣4(z ﹣5z+3)≥0 解这个一元二次不等式, 得﹣1≤z≤ . ,最小值为﹣1.
2 2 2 2

故 z 的最大值为

点评:本题考查的是一元二次方程根与系数的关系,根据根的判别式以及不等式等知识点进行求解,考查 学生的逻辑推理能力. 19.在成都火车站开始检票时,有 a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.检票开始后,仍有旅客 继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,检票口按固定的速度检票.若开放一个检票口,则需 30 分钟才能将排队等候的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则需 10 分钟才能将排队等候的旅客全 部检票完毕; 如果现在要在 5 分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕, 以后进站的旅客能够随到随检, 至少要同时开放几个检票口? 考点:一元一次不等式的应用。 专题:应用题。 分析:先设检票开始后每分钟新增加旅客 x 人,检票的速度为每个检票口每分钟检 y 人,5 分钟内将排队 等候检票的旅客全部检票完毕需要同时开放 n 个检票口; 根据开放窗口与通过时间等列方程和不等式解答. 解答:解:设检票开始后每分钟新增加旅客 x 人,检票的速度为每个检票口每分钟检 y 人,5 分钟内将排 队等候检票的旅客全部检票完毕需要同时开放 n 个检票口.

由题意得:

由②×3﹣①得:2a=30y, 得 y= ④, ⑤,

把④代入①,得 x=

把④,⑤代入③,得 a+ ≤n× , ∵a>0, ∴n≥ =3.5,

n 取最小值的整数,∴n=4, 答:至少要同时开放 4 个检票口. 点评:本题考查了一元一次不等式的应用,解决本题的关键是读懂题意,找到符合题意的等量关系和不等 关系式.

20.如图,△ABC 的三边满足关系 BC= (AB+AC) ,O、I 分别为△ABC 的外心、内心,∠BAC 的外角 平分线交⊙O 于 E,AI 的延长线交⊙O 于 D,DE 交 BC 于 H, 求证: (1)AI=BD; (2)OI= AE.

考点:三角形的五心。 专题:证明题。 分析: 作 IG⊥AB 于 G 点, BI, (1) 连 BD, AG= (AB+AC﹣BC) 而 BC= (AB+AC) 可得到 AG= BC, 则 , , 根据题意得∠EAD=90°,得到 ED 为⊙O 的直径,ED 垂直平分 BC,因此 AG=BH,从而得到 Rt△AGI≌ Rt△BHD,即有 AI=BD; (2)由∠BID=∠BAI+∠ABI,而∠BAI=∠DBC,∠ABI=∠CBI,即可得到∠DBI=∠BID,则 ID=DB,得 到 AI=ID,由此得到 OI 为三角形 AED 的中位线,利用中位线的性质即可得到结论. 解答:证明: (1)作 IG⊥AB 于 G 点,连 BI,BD,如图, ∴AG= (AB+AC﹣BC) , 而 BC= (AB+AC) , ∴AG= BC, 又∵AD 平分∠BAC,AE 平分∠BAC 的外角, ∴∠EAD=90°, ∴O 点在 DE 上,即 ED 为⊙O 的直径, 而 BD 弧=DC 弧, ∴ED 垂直平分 BC,即 BH= BC, ∴AG=BH, 而∠BAD=∠DAC=∠DBC, ∴Rt△AGI≌Rt△BHD, ∴AI=BD; (2)∵∠BID=∠BAI+∠ABI, 而∠BAI=∠DBC,∠ABI=∠CBI, ∴∠DBI=∠BID, ∴ID=DB, 而 AI=BD, ∴AI=ID, ∴OI 为三角形 AED 的中位线,

∴OI= AE.

点评:本题考查了三角形内心的性质和圆周角定理及推论.也考查了等腰三角形的判定以及三角形中位线 的性质. 21. (2004?上海)数学课上,老师提出: 如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A 点的坐标为(1,0) ,点 B 在 x 轴上,且在点 A 的右侧, AB=OA,过点 A 和 B 作 x 轴的垂线,分别交二次函数 y=x 的图象于点 C 和 D,直线 OC 交 BD 于点 M, 直线 CD 交 y 轴于点 H,记点 C、D 的横坐标分别为 xC、xD,点 H 的纵坐标为 yH. 同学发现两个结论: ①S△CMD:S 梯形 ABMC=2:3 ②数值相等关系:xC?xD=﹣yH (1)请你验证结论①和结论②成立; (2)请你研究:如果上述框中的条件“A 的坐标(1,0)”改为“A 的坐标(t,0) (t>0)”,其他条件不变, 结论①是否仍成立(请说明理由) ; 2 (3) 进一步研究: 如果上述框中的条件“A 的坐标 (1, ”改为“A 的坐标 0) (t, (t>0) 又将条件“y=x ” 0) ”, 2 改为“y=ax (a>0)”,其他条件不变,那么 xC、xD 与 yH 有怎样的数值关系?(写出结果并说明理由)
2

考点:二次函数综合题。 专题:压轴题。 分析: (1)可先根据 AB=OA 得出 B 点的坐标,然后根据抛物线的解析式和 A,B 的坐标得出 C,D 两点 的坐标,再依据 C 点的坐标求出直线 OC 的解析式.进而可求出 M 点的坐标,然后根据 C、D 两点的坐标 求出直线 CD 的解析式进而求出 D 点的坐标,然后可根据这些点的坐标进行求解即可; (2) (3)的解法同(1)完全一样. 解答:解: (1)由已知可得点 B 的坐标为(2,0) ,点 C 坐标为(1,1) ,点 D 的坐标为(2,4) , 由点 C 坐标为(1,1)易得直线 OC 的函数解析式为 y=x, 故点 M 的坐标为(2,2) , 所以 S△CMD=1,S 梯形 ABMC= 所以 S△CMD:S 梯形 ABMC=2:3,

即结论①成立. 设直线 CD 的函数解析式为 y=kx+b, 则 解得 所以直线 CD 的函数解析式为 y=3x﹣2. 由上述可得,点 H 的坐标为(0,﹣2) H=﹣2 ,y 因为 xC?xD=2, 所以 xC?xD=﹣yH, 即结论②成立; (2) (1)的结论仍然成立. 理由:当 A 的坐标(t,0) (t>0)时,点 B 的坐标为(2t,0) ,点 C 坐标为(t,t2) ,点 D 的坐标为(2t, 4t2) , 由点 C 坐标为(t,t2)易得直线 OC 的函数解析式为 y=tx, 故点 M 的坐标为(2t,2t2) , 所以 S△CMD=t3,S 梯形 ABMC= t3. 所以 S△CMD:S 梯形 ABMC=2:3, 即结论①成立. 设直线 CD 的函数解析式为 y=kx+b, 则 , ,

解得 所以直线 CD 的函数解析式为 y=3tx﹣2t ; 2 由上述可得,点 H 的坐标为(0,﹣2t2) H=﹣2t ,y 2 因为 xC?xD=2t , 所以 xC?xD=﹣yH, 即结论②成立; (3)由题意,当二次函数的解析式为 y=ax (a>0) ,且点 A 坐标为(t,0) (t>0)时,点 C 坐标为(t, 2 2 at ) ,点 D 坐标为(2t,4at ) , 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b, 则: ,
2 2

解得 所以直线 CD 的函数解析式为 y=3atx﹣2at ,则点 H 的坐标为(0,﹣2at ) H=﹣2at . ,y 2 因为 xC?xD=2t , 所以 xC?xD=﹣ yH.
2 2 2

点评:本题主要考查了二次函数的应用、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象的交点等知 识点. 22.如图所示,在△ABC 中,∠A=90°,AD⊥BC 于 D.∠B 的平分线分别与 AD、AC 交于 E,F,H 为 EF 的中点. (1)求证:AH⊥EF; (2)设△AHF、△BDE、△BAF 的周长为 cl、c2、c3.试证明: ,并指出等号成立时 的

值. 考点:相似三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质。 分析: (1)根据∠BAC=90°,AD⊥BC,则∠AFB=90°﹣∠ABF,∠AEF=∠BED=90°﹣∠DEB,再由 BF 平分∠ABC,则∠ABF=∠DBF,从而得出 AE=AF,根据等腰三角形的性质即可证明 AH⊥EF; (2)设 BAF,则得出 并得出当 k= 时,等号成立,即为 的值. ,可证明 Rt△AHF∽Rt△BED∽Rt△ ,再根据三角形的周长得出 cl、c2、c3.的关系式,

解答:证明: (1)∠BAC=90°,AD⊥BC, ∴∠AFB=90°﹣∠ABF,∠AEF=∠BED=90°﹣∠DEB, 又 BF 平分∠ABC, ∴∠ABF=∠DBF, ∵∠AFB=∠AEF, ∴AE=AF,H 为 EF 的中点,∴AH⊥EF; (2)设 ∵∠AFH=∠BED,∴Rt△AHF∽Rt△BED∽Rt△BAF, ∴
2




2

而 FE=BF﹣2HF=x﹣2k?AF=x﹣2k x=(1﹣2k )x, ∴ , , ,





故当



点评:本题考查了相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质,是中考压轴题,难度较大.



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