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高等数学与初等数学有什么不同


绪论
高等数学与初等数学有什么不同?它们各自研究的 对象和方法是什么? 大千世界万事万物,无不在一定的空间中运动变化, 而在这过程 中都存在一定的数量关系。 数学——研究现实中数量关系与空间形式的科学。

阿基米德圆锥曲线的研究,变速运动,坐标系的出现是 数学的转折点。 初等数学:形式逻辑。孤立,静止,一个一个的数。 微积分——无穷小量分析 在微积分中要加强而不是回避逻辑,要从直观上理解和 分析漂亮的概念,严密性不妨碍直观理解。学会方向思 维。 21世纪的高科技——“数学技术”,不仅是工具,而且 从后台走到了前台。要明白:(1)数学作为科学方法 的效力,他应有的统一与美;(2)数学的应用,最好 的学习就是用?要培养应用数学的意识、兴趣和能力。

三、函数
1.函数概念 定义 设数集D?R, 则称映射f : D →R为定义在D上的函数, 通常简记为 y=f(x), x∈D, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即Df=D.
说明: 函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, =f(x), x∈D”来 记号f和f(x)的区别: 前者表示自变量x和因变量y之间的对 为了叙述方便, 常用记号“f(x), x∈D”或“y 还可用“g” 应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 、“F”、“?”等, 此时函数就记作y=g(x)、 y=F(x)、y=?(x) 表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . 等. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.

函数的两要素 构成函数的要素是定义域Df及对应法则f. 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么 这两个函数就是相同的, 否则就是不同的. 函数的定义域 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际 意义确定. 对抽象地用算式表达的函数, 其定义域是使得算式 有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的 自然定义域. 求函数的定义域举例>>>

单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个x∈D, 对应的函数值y总是唯 一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个x∈D, 总 有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这 种法则确定了一个多值函数. 例如, 由方程x2+y2=r2确定的函数是一个多值函数:

y =± r ? x .
2 2

此多值函数附加条件“y≥0”后可得到一个单值分支

y = y1 (x)= r 2 ? x2 .

函数的表示法 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解 析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平 面上的点集 {P(x, y)|y=f(x), x∈D} 称为函数y=f(x), x∈D的图形.

函数举例 例5 函数 y=2. 这是一个常值函数, 其定义域为D=(?∞, +∞), 其值域为Rf ={2}. 例6 函数 y =| x|=? x x≥0 . ?? x x<0 ? 此函数称为绝对值函数, 其定义域为D=(?∞, +∞), 其值域为Rf =[0, + ∞).

? 1 x>0 例7 函数 y =sgn x=? 0 x=0 . ? ??1 x<0 ? 此函数称为符号函数, 其定义域为D=(?∞, +∞) , 其值域为Rf ={?1, 0, 1}.
例8 函数y=[x]. 此函数称为取整函数, 其定义域为D=(?∞, +∞), 其值域为Rf =Z. 注: 设x为任上实数, 不超过x的最大整数称为x的整数部 分, 记作[x].

例9 函数 y =?2 x 0≤ x≤1. ? ?1+ x x>1 此函数的定义域为D=[0, 1]∪(0, +∞)=[0, +∞).

当 0 ≤ x ≤ 1 时, y = 2 x ; 当 x>1 时, y=1+x. 1) = 2 1 = 2 例如 f ( ; 2 2 f (1 = 2 1 = 2 ; f(3)=1+3=4. )
分段函数 在自变量的不同变化范围中, 对 应法则用不同式子来表示的函数称 为分段函数.

2.函数的几种特性 (1)函数的有界性 设函数f(x)的定义域为D, 数集X?D. 如果存在数K1, 使对任一x∈X, 有f(x)≤K1, 则称函数f(x) 在X上有上界. 如果存在数K2, 使对任一x∈X, 有f(x)≥K2, 则称函数f(x) 在X上有下界. X . 如果存在正数M, 使对任一x∈X, 有|f(x)|≤M, 则称函数f(x)在X上有界; 如果这样的M不存在, 则称函数f(x) 在X上无界.

?函数的有界性举例 f(x)=sin x在(?∞, +∞)上是有界的: |sin x|≤1.

1 函数 f (x)= 在开区间(0, 1)内是无上界的. x 1 <1 这是因为, 对于任一 M>1, 总有 x1 : 0<x1 < , 使 M f (x1)= 1 >M , x1 所以函数无上界. 1 函数 f (x)= 在(1, 2)内是有界的. x

(2)函数的单调性 设函数y=f(x)在区间I上有定义, x1及x2为区间I上任意 两点, 且x1<x2. 如果恒有f(x1)<f(x2), 则称f(x)在I上是单调增加的. 如果恒有f(x1)>f(x2), 则称f(x)在I上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.

(3)函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域D关于原点对称, 如果在D上有f(?x)=f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果在D上有f(?x)=?f(x), 则称f(x)为奇函数. ?奇偶函数举例 y=x2, y=cos x都是偶函数. y=x3, y=sin x 都是奇函数. = = .

(3)函数的奇偶性 设函数f(x)的定义域D关于原点对称, 如果在D上有f(?x)=f(x), 则称f(x)为偶函数. 如果在D上有f(?x)=?f(x), 则称f(x)为奇函数. ?奇偶函数的图形特点

偶函数的图形对称于y轴

奇函数的图形对称于原点

(4)函数的周期性 设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个不为零的数l, 使得对于任一x∈D有(x±l)∈D, 且f(x+l)=f(x), 则称f(x)为周 期函数, l称为f(x)的周期. ?周期函数的图形特点

3.反函数与复合函数 反函数 设函数 f : D→f(D)是单射, 则它存在逆映射 f ?1: f(D)→D, 称此映射f ?1为函数 f 的反函数. 按习惯, y=f(x), x∈D的反函数记成y=f ?1(x), x∈f(D). 例如, 函数y=x3, x∈R是单射, 所以它的反函数存在, = ∈ 其反函数为
1 y= x 3 ,

R x∈ .
y∈R.

提问: 下列结论是否正确?
1 函数y=x3, x∈R的反函数是 x= y 3 ,

3.反函数与复合函数 反函数 设函数 f : D→f(D)是单射, 则它存在逆映射 f ?1: f(D)→D, 称此映射f ?1为函数 f 的反函数. 按习惯, y=f(x), x∈D的反函数记成y=f ?1(x), x∈f(D). 若 f 是定义在D上的单调函数, 则 f : D→f(D) D , D→f(D)是单射, , 于是 f 的反函数f ?1必定存在, 而且容易证明f ?1也是f(D)上 的单调函数.

3.反函数与复合函数 反函数 设函数 f : D→f(D)是单射, 则它存在逆映射 f ?1: f(D)→D, 称此映射f ?1为函数 f 的反函数. 按习惯, y=f(x), x∈D的反函数记成y=f ?1(x), x∈f(D). 相对于反函数y=f ?1(x) y=f (x)来说, , 原来的函数y=f(x)称为直接函数. 函数y=f(x)和y=f ?1(x)的图形 关于直线 y=x 是对称的.

3.反函数与复合函数 复合函数 设函数y=f(u)的定义域为D1, 函数u=g(x)在D上有定义 且g(D)?D1, 则由 y=f[g(x)], x∈D 确定的函数称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函 数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. 函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为f o g, 即 (f o g)(x)=f[g(x)]. 说明: g与f 构成的复合函数f o g的条件是: 是函数g在D上 的值域g(D)必须含在f 的定义域Df 内, 即g(D)?Df . 否则, 不能构成复合函数. 例如>>>

4.函数的运算 设函数f(x), g(x)的定义域依次为D1, D2, D=D1∩D2≠?, 则可以定义这两个函数的下列运算: 和(差) f ±g : (f ±g)(x)=f(x)±g(x), x∈D; 积 f ?g : (f ?g)(x)=f(x)?g(x), x∈D;

f 商 : g

f f (x) , x∈D\{x|g(x)=0}. ( )(x) = g g(x)

例10 设函数f(x)的定义域为(?l, l), 证明必存在(?l, l) 上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得f(x)=g(x)+h(x). 证 作 g(x) = 1[ f (x) + f (?x)] , h(x)= 1[ f (x) ? f (?x)] , 2 2 则 f(x)=g(x)+h(x), 且
1 g(?x) = [ f (?x) + f (x)]= g(x) , 2 1 1 h(?x) = [ f (?x) ? f (x)]=? [ f (x) ? f (?x)]=?h(x) . 2 2

提示: 如果f(x)=g(x)+h(x), 则f(?x)=g(x)?h(x), 于是
1 1 g(x) = [ f (x) + f (?x)] , h(x) = [ f (x) ? f (?x)] . 2 2

5.初等函数 基本初等函数 幂函数: y=x ? (?∈R是常数); 指数函数: y=a x(a>0且a≠1); 对数函数: y=loga x (a>0且a≠1), 特别当a=e时, 记为y=ln x; 三角函数: y=sin x, y=cos x, y=tan x, y=cot x, y=sec x, y=csc x; 反三角函数: y=arcsin x, y=arccos x, y=arctan x, y=arccot x . >>>

5.初等函数 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有 限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 例如, 函数

y=

1?x2

,

y =sin2 x ,

y= cot x 2

都是初等函数.

双曲函数与反双曲函数 ?双曲函数 应用上常遇到的双曲函数是:

ex ?e?x 双曲正弦: sh x = 2 ex +e?x 双曲余弦: ch x = x= 2 x ?x 双曲正切: th x = shx = e ?e chx ex +e?x

双曲函数与反双曲函数 ?双曲函数的性质 sh(x±y)=sh x ch y±ch x sh y, >>> ch(x±y)=ch x ch y±sh x sh y, ch2 x? sh2 x=1, sh 2x=2sh x ch x, ch 2x=ch2x+sh2x. 比较 sin(x±y)=sin x cos y±cos x sin y. ± 比较 cos(x±y)=cos x cos y sin x sin y.

双曲函数与反双曲函数 ?反双曲函数 双曲函数 y=sh x, y=ch x, y=th x的反函数依次记为 反双曲正弦: y=arsh x, 反双曲余弦: y=arch x, 反双曲正切: y=arth x. 可以证明 y =arsh x =ln(x+ x2 +1) , >>>

y =arch x=ln(x+ x2 ?1) , y =arth x= 1 ln 1+ x . 2 1?x


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