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2006年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)理科数学试题及解答(WORD版)


2006 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数学试题(理科)
第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 (1)设集合 A ? { x | ? 1 ? x ? 2} , B ? { x | 0 ? x ? 4} ,则 A ? B ? (A)[0,2] (2)已知
m 1? i

(B)[1,2]

(C)[0,4]

(D)[1,4]

? 1 ? n i ,其中 m , n 是实数, i 是虚数单位,则 m ? ni =

(A) 1 ? 2i

(B) 1 ? 2i

(C) 2 ? i

(D) 2 ? i

(3)已知 0 ? a ? 1, lo g a m ? lo g a n ? 0 ,则 (A) 1 ? n ? m (B) 1 ? m ? n (C) m ? n ? 1 (D) n ? m ? 1

? x ? y ? 2 ? 0, ? (4)在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 , 表示的平面区域的面积是 ? x? 2 ?

(A) 4 2
x
2

(B)4

(C) 2 2

(D)2
1 3

(5) 若双曲线
1 2 1 2

? y ? 1 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的
2

,则 m=
9 8

m

(A)

(B)
2

3 2

(C)

1 8

(D)

(6)函数 y ?
? ?

sin 2 x ? sin x , x ? R 的值域是
? ? 3 1? , 2 2? ?
2 2 1 2 2 2 1? ? 2?

(A) ? ?
? ?

1 3? , 2 2? ?
2 2 1 2 2 2
2

(B) ? ?
1? ? 2?
2

(C) ? ?

?

,

?

(D) ? ?
?

?

?

,

?

(7) “a>b>c”是”ab<

a ?b 2

”的 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
9 10

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (8)若多项式 x ? x
2 10

? a 0 ? a1 ( x ? 1) ? ? ? ? ? a 9 ( x ? 1) ? a1 0 ( x ? 1) ,则 a 9 =

(A)9

(B)10

(C) -9

(D)-10

(9)如图,O 是半径为 1 的球心,点 A、B、C 在球面上,OA、OB、OC 两两垂直, E、F 分别是大圆弧 面上的球面距离是 ? (A)
4

? B 与 ? C 的中点,则点 E、F 在该球 A A

(B)

?
3

(C)

?
2

(D)

2? 4

(10)函数 f:{1,2,3| ? {1,2,3| 满足 f(f(x) )=f(x) ,则这样的函数个数共有 (A)1 个 (B)4 个 (C)8 个 (D)10 个

第Ⅱ卷(共 100 分)
二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 (11) Sn 为等差数列{an}的前 n 项和, S5 = 10, 10 = -5, 设 若 S 则公差为____________ (用数字作答). (12)对 a,b∈R,记 max|a,b|= ?
?a, a ? b ?b, a ? b

,函数 f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)

的最小值是_________________. 2 2 2 (13)设向量 a,b,c 满足 a+b+c=0, (a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a| +|b| +|c| 的值是_______. (14)正四面体 ABCD 的棱长为 l,棱 AB∥平面 ? , 则正四面体上的所有点在平面α 内的射影构成的图 形面积的取值范围是____________.

三、解答题:本大题共 6 小题,每小题 14 分,共 84 分。解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤。 ? (15)如图,函数 y ? 2 sin (? x ? ? ), x ? R (其中 0 ? ? ? )的图像与 y 轴交于点(0,1) 。
2

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)设 P 是图像上的最高点,M、N 是图像与 x 轴的交点,求 P M 与 P N 的夹角。
???? ?

????

(16)设 f ( x ) ? 3 ax ? 2 bx ? c ,若 a ? b ? c ? 0, f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,求证:
2

(Ⅰ) a ? 0 且 ? 2 ?

b a

? ?1 ;

(Ⅱ)方程 f ( x ) ? 0 在(0,1)内有两个实根。

(17)如图,在四棱锥 P ? A B C D 中,底面为直角梯形, A D // B C , ? B A D ? 9 0 ,
P A ? 底面 A B C D ,且 P A ? A D ? A B ? 2 B C , M 、 N 分别为 P C 、 P B 的中点。

?

(Ⅰ)求证: P B ? D M ; (Ⅱ)求 C D 与平面 A D M N 所成的角。

(18)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有 2 个红球,2 个白球;乙袋装 有 2 个红球,n 个白球,现从甲、乙两袋中各任取 2 个球。 (I)若 n=3,求取到的 4 个球全是红球的概率; (II)若取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率为
3 4

,求 n。

(19)如图,椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)与过点 A(2,0) 、B(0,1)的直线有且只

有一个公共点 T,且椭圆的离心率 e=

3 2

.

(I)求椭圆方程; (II)设 F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,M 为线段 AF2 的中点,求证: ? ATM= ? AF1T.

(20)已知函数 f ( x ) =x3+x2,数列 { xn } (xn > 0)的第一项 x1=1,以后各项按如下 方式取定:曲线 y= f ( x ) 在 ( x n ? 1 , f ( x n ? 1 )) 处的切线与经过(0,0)和(xn,f(xn) ) 两点的直线平行(如图) 。求证:当 n ? N 时:
*

(I) x n ? x n ? 3 x n ?1 ? 2 x n ? 1 ;
2 2

(II) ( )
2

1

n ?1

1 n?2 ? xn ? ( ) 2

数学试题(理科)参考答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 (1)A (2)C (3)A (4)B (5)C (6)C (7)A (8)D (9)B (10)D 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 16 分。 (11)-1 (12)
3 2

(13)4

(14) [

2 1 , ] 4 2

三、解答题 (15)本题主要考查三角函数的图像,已知三角函数求角,向量夹角的计算等基础知 识和基本的运算能力。满分 14 分。 解: (I)因为函数图像过点 (0 ,1) , 所以 2 sin ? ? 1, 即 s in ? ? 因为 0 ? ? ?
?
2 1 2 .

,所以 ? ?

?
6

.
?
6 ) 及其图像,得

(II)由函数 y ? 2 sin ( ? x ?
M (? 1

1 5 , 0 ), P ( , ? 2 ), N ( , 0 ), 6 3 6 ???? ? ???? 1 1 所以 P M ? ( ? , 2 ), P N ? ( , ? 2 ), 从而 2 2 ???? ???? ? ???? ???? ? PM ? PN ? ???? co s ? P M , P N ? ? ???? | PM | ? | PN |
? 15 17


15 17

故 ? P M , P N ? ? arcco s

???? ???? ?

.

(16)本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。满分 14 分。 证明: (I)因为 f (0 ) ? 0, f (1) ? 0 , 所以 c ? 0, 3 a ? 2 b ? c ? 0 . 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 b ,得 a ? c ? 0; 由条件 a ? b ? c ? 0 ,消去 c ,得 a ? b ? 0 , 2a ? b ? 0 . 故 ?2 ?
b a ? ?1 .
b 3a 3ac ? b 3a
2

(II)抛物线 f ( x ) ? 3 a x ? 2 b x ? c 的顶点坐标为 ( ?
2

,

),

在 ?2 ?
1 3 ? ? b

b a

? ? 1 的两边乘以 ? ? 2 3

1 3

,得

.

3a

又因为 f (0 ) ? 0, f (1) ? 0,
b 3a a ? c ? ac
2 2

而 f (?

)? ?

? 0,

3a

所以方程 f ( x ) ? 0 在区间 (0 , ?

b 3a

) 与 (?

b 3a

,1) 内分别有一实根。

故方程 f ( x ) ? 0 在 (0 ,1) 内有两个实根. (17)本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识,同时 考查空间想象能力。满分 14 分。 解:方法一: (I)因为 N 是 P B 的中点, P A ? P B , 所以 A N ? P B . 因为 A D ? 平面 P A B ,所以 AD ? PB , 从而 P B ? 平面 A D M N . 因为 D M ? 平面 A D M N , 所以 P B ? D M . (II)取 A D 的中点 G ,连结 B G 、 N G , 则 B G // C D , 所以 B G 与平面 A D M N 所成的角和 C D 与平面 A D M N 所成的角相等. 因为 P B ? 平面 A D M N , 所以 ? B G N 是 B G 与平面 A D M N 所成的角. 在 R t ? B G N 中,
sin ? B N G ? BN BG ? 10 5 10 5

.

故 C D 与平面 A D M N 所成的角是 arcsin 方法二:

.

如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 B C ? 1 ,则
A (0, 0, 0 ), P (0, 0, 2 ), B ( 2, 0, 0 ), C ( 2,1, 0 ), M (1, 1 2 ,1), D ( 0, 2, 0 ) .

(I) 因为
??? ????? ? 3 P B ? D M ? ( 2, 0, ? 2 ) ? (1, ? ,1) 2
? 0,

所以 P B ? D M . (II) 因为
??? ???? ? P B ? A D ? ( 2, 0, ? 2 ) ? (0, 2, 0 )
? 0,

所以 P B ? A D , 又因为 P B ? D M , 所以 P B ? 平面 A D M N . 因此 ? P B , D C ? 的余角即是 C D 与平面 A D M N 所成的角. 因为
??? ???? ? ??? ???? ? PB ? DC ? ???? co s ? P B , D C ? ? ??? | PB | ? | DC |
10 5 10 5

??? ???? ?

?



所以 C D 与平面 A D M N 所成的角为 arcsin

.

(18)本题主要考察排列组合、概率等基本知识,同时考察逻辑思维能力和数学应用 能力。满分 14 分。 解: (I)记“取到的 4 个球全是红球”为事件 A .
P ( A) ? C2 C4
2 2

?

C2 C5

2 2

?

1

?

1

?

1 60

.

6 10

(II)记“取到的 4 个球至多有 1 个红球”为事件 B , “取到的 4 个球只有 1 个红球” 为事件 B1 , “取到的 4 个球全是白球”为事件 B 2 . 由题意,得
P(B) ? 1 ?
1

3 4

?
1

1 4
?

.
Cn
2 2

P ( B1 ) ?

C2 ?C2 C4
2
2

?

C2

2

C n?2

C4

2

?

C2 ?Cn
1

1

C n?2

2

?

2n

3( n ? 2 )( n ? 1)
C2 C4
2 2

;

P ( B2 ) ?

?

Cn
2

2

C n?2

?

n ( n ? 1) 6 ( n ? 2 )( n ? 1)

;

所以
P ( B ) ? P ( B1 ) ? P ( B 2 )

?

2n

2

3( n ? 2 )( n ? 1)

?

n ( n ? 1) 6 ( n ? 2 )( n ? 1)

?

1 4



化简,得
7 n ? 1 1n ? 6 ? 0,
2

解得 n ? 2 ,或 n ? ? 故
n ? 2.

3 7

(舍去) ,

(19)本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质,同时考察解析几何的 基本思想方法和综合解题能力。满分 14 分。 解: (I)过点 A 、 B 的直线方程为
x a
2 2

x 2

? y ? 1.

?

y b

2 2

? 1,

因为由题意得
y ? ?
2

有惟一解,

1 2

x ?1 1 4 a ) x ? a x ? a ? a b ? 0 有惟一解,
2 2 2 2 2 2 2

即 (b ? 所以

? ? a b (a ? 4b ? 4) ? 0
2 2 2 2

( ab ? 0 ) ,



a ? 4b ? 4 ? 0.
2 2

又因为 e ?

3 2

,即

a ?b
2

2

a
2

2

?

3 4

,

所以 从而得

a ? 4b .
2

a ? 2, b ?
2 2

1 2

,
x
2

故所求的椭圆方程为

? 2y ? 1 .
2

2
6 2

(II)由(I)得

c ?

,

故 F1 ( ?

6 2

, 0 ), F 2 (

6 2

, 0 ),

从而 M (1 ?

6 4

, 0 ).

x

2

? 2 y ? 1,
2

2


y ? ? 1 2 x ?1

解得 x1 ? x 2 ? 1, 所以 T (1, ).
2
6 2
, tan ? T M F 2 ?

1

因为 tan ? A F1T ?
1 2

? 1,

又 tan ? T A M ?

2 6

,得

2 tan ? A T M ? 6 1?

? 1

1 2 6

?

6 2

? 1,

因此 ? A T M ? ? A F1T . (20)本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识,以及不等式的证明,同 时考查逻辑推理能力。满分 14 分。 证明: (I)因为 f ( x ) ? 3 x ? 2 x ,
' 2

所以曲线 y ? f ( x ) 在 ( x n ? 1 , f ( x n ? 1 )) 处的切线斜率 k n ? 1 ? 3 x 因为过 (0, 0 ) 和 ( x n , f ( x n )) 两点的直线斜率是 x n ? x n ,
2

2
n ?1

? 2 x n ?1 .

所以 x n ? x n ? 3 x n ? 1 ? 2 x n ? 1 .
2 2

(II)因为函数 h ( x ) ? x ? x 当 x ? 0 时单调递增,
2

而 x n ? x n ? 3 x n ?1 ? 2 x n ?1
2 2

? 4 x n ?1 ? 2 x n ?1
2

? ( 2 x n ?1 ) ? 2 x n ?1 ,
2

所以 x n ? 2 x n ? 1 ,即

x n ?1 xn ?????

?

1 2

,

因此 x n ?

xn x n ?1

?

x n ?1 xn?2

x2

1 n ?1 ? ( ) . x1 2

又因为 x n ? x n ? 2 ( x
2

2
n ?1

? x n ? 1 ),

令 yn ? xn ? xn ,
2



y n ?1 yn

?

1 2

.

因为 y1 ? x1 ? x1 ? 2,
2

所以 y n ? ( )
2
2

1

n ?1

1 n?2 ? y1 ? ( ) . 2 1
n?2

因此 x n ? x n ? x n ? ( )
2

,

故( )
2

1

n ?1

1 n?2 ? xn ? ( ) . 2


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