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河北省普通示范高中2014届高三考前强化模拟训练数学理3


河北省普通示范高中 2014 届高三考前强化模拟训练数学理 3
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)
一.选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且只 有一项符合题目要求。 1.如图所示的韦恩图中, A 、 B 是非空集合,定义 A * B 表示阴影部分集合.若 x, y ? R ,

A ? ?x

y ? 2x ? x2

?, B ? ?y

y ? 3x , x ? 0

? ,则 A *B=
D. 0,1 ?[2, ??)

A. (2, ??) B. 0,1? ? (2, ??) C. 0,1 ? (2, ??)

?

? ?

? ?

2.设等差数列 ?an ? 的公差 d ≠0, a1 ? 4d .若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项,则 k ? A. 3 或 -1 B. 3
2

C. 3 或 1 ,若 f [cos(

D. 1

3.已知函数 f(x)=e 2 x A.

?1

?
2

? ? )] ? 1 ,则 ? 的值为
D. k ? ?

k? ? ? 2 4

B.

k? 2

C. k? ?

?
4

?
4

(其中 k∈Z)

4.某几何体的一条棱长为 7,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6的线段, 在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+ b 的 最大值为 A.2 2 B.2 3 C.4 D.2 5

5. 设 ? 是三角形的一个内角,且 sin ? ? cos ? ? 所表示的曲线为 A.焦点在 x 轴上的双曲线 C.焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y2 1 ? ?1 ,则方程 5 sin ? cos?

开始 n= 1
1 3 1 3 z?? ? i, z 0 ? ? ? i 2 2 2 2

B.焦点在 y 轴上的的双曲线 D.焦点在 y 轴上的椭圆

6.执行如图所示的程序框图,则输出的复数 z 是 z=z · z0 A. ?

1 3 ? i 2 2

B. ?

1 3 ? i 2 2

C.1

D. ? 1

n=n+1 n>2013
Y

7. 若 0 ? x ?

?
2

, 则“ x ?

1 1 ? x” ”是“ sin x sin x

A.必要不充分条件 C.充要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分与不必要条件 结束

8. 2012 年 10 月 18 日全国第二届绿色运动会在池洲隆垦开幕。本次大会的主题是“绿色、 低碳、环保”为大力宣传这一主题,主办方将这 6 个字做成灯笼悬挂在主会场(如图所 示) ,大会结束后,要将这 6 个灯笼撤下来,每次撤其中一列最下面的一个,则不同的撤 法种数为 A.36 B .54 C.72 D.90

第 1 页 共 9 页

9.等比数列 { an } 中 a1 ? 512 ,公比 q ? ?

1 ,记 ? n ? a1 ? a 2 ? 2

? an

(即 ? n 表示数列 { an } 的前 n 项之积) , ? n 取最大值时 n 的值为 A. 8 10. 定 义 域 为 B. 9 C.9 或 10 D. 11

R 的 函 数 f (x) 满 足 f (x+2)=2 f (x) , 当

x ? [0 , 2) 时 ,

? x 2 -x,x ? [0,1) t 1 f (x)= ? 若 x ? ?? 4,?2? 时, f ? x ? ? ? 有解,则 |x-1.5| 4 2t ,x ? [1,2) ?-(0.5)
实数 t 的取值范围是 A.[-2,0) C.[-2,l] (0,l) B.[-2,0) D.( -? ,-2] [l,+∞) (0, l]

P

E

11.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ⊥底面 ABC ,∠ ACB = 90? , AE ⊥ PB 于 E , AF ⊥ PC 于 F ,若 PA ? AB ? 2 ,∠ BPC = ? , 则当 ?AEF 的面积最大时, tan ? 的值为 A.2 B.

F A C

B

1 2

C. 2

D.

2 2
2 π ,弦 AB 中点 M 在准 3

12.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,点 A, B 在抛物线上,且 ?AFB ? 线 l 上的射影为 M ?, 则 | MM ? | 的最大值为 | AB | A.

4 3 3

B.

3 3

C.

2 3 3

D. 3

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)
二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 设 函 数 f ( x) ? ( x ? 2) , 其 中 n ? 6
n

?

?

2 0

cos xdx , 则 f ( x) 展 开 式 中

x

4

的系数





14.如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 CD 至 E,使得 DE=CD. 若动点 P 从点 A 出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点, 其中 AP ? ? AB ? ? AE , 则 ? ? ? 的最大值为 .

15.若实数 a、 b、 c 成等差数列, 点 P(–1, 0)在动直线 l: ax+by+c=0 上的射影为 M, 点 N(0, 3),则 线段 MN 长度的最小值是 .

16.对于函数 f ? x ? 和g ? x ? ,设 ? ? x ? R f ? x ? ? 0 , ? ? x ? R g ? x ? ? 0 ,若存在 ? 、

?

?

?

?

? ,使得 x?1 ? ? ? ? 1,则称 f ? x ? 与g ? x ? 互为“零点关联函数” 。若函数 f ? x ? ? e ? x ? 2 与

g ? x ? ? x2 ? ax ? a ? 3 互为“零点关联函数” ,则实数 a 的取值范围为
第 2 页 共 9 页



三.解答题:大本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 点 M 是 BC 的中点,?AMC 的三边长是连续的三个正整 数,且 tan ?C ?

(1)判断 ?ABC 的形状; (2)求 ?BAC 的余弦值 .

1 . tan ?BAM

18. (本小题满分 12 分) 某校中学生篮球队假期集训, 集训前共有 6 个篮球, 其中 3 个是新球 (即没有用过的球) , 3 个是旧球(即至少用过一次的球) .每次训练,都从中任意取出 2 个球,用完后放回. (1)设第一次训练时取到的新球个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?A1 AB ? ?A1 AC, AB ? AC, A1 A ? A1 B ? a , 侧面 B 1 BCC 1 与底面 ABC 所成的二面角为 120? , E、 F 分别是棱 B1C1、A1 A 的中点。 (1)求 A1 A 与底面 ABC 所成的角; (2)证明 A1 E ∥平面 B1 FC ; (3)求经过 A1、A、B、C 四点的球的体积.

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F, 过点 K (?1, 0) 的 直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D . (1)判断点 F 是否在直线 BD 上; (2)设 FA ? FB

?

8 9

,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax+x lnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数的 底数)处的切线斜率为 3.

(1)求实数 a 的值; (2)若 k∈Z,k<

f ( x) 对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值; x ?1
n m m n

(3)当 n>m ≥ 4 时,证明 (mn ) >(nm ) .

第 3 页 共 9 页

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号后方的方框涂黑

22. (本小题满分 10 分) 《选修 4-1:几何证明选讲》 如图,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交 ⊙O2 于点 C,过点 B 和两圆的割线,分别交⊙O1 、⊙O2 于点 D、E, DE 与 AC 相交于点 P。 (1)求证:AD ∥EC; (2)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长。 23.(本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 在极坐标系中,极点为 O ,曲线 C1 : ? ? 2 与曲线 C2 : ? sin(? ? 两点 A, B . (1)求 AB 的值; (2)求过点 C (1,0) 且与直线 AB 平行的直线 l 的极坐标方程.

?
4

) ? 2, 交于不同的

24.(本小题满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 设不等式 2x ? 1 ? 1 的解集为 M , 且 a ? M , b ? M . (Ⅰ) 试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小; (Ⅱ) 设 max A 表示数集 A 中的最大数, 且 h ? max ?

? 2 ? a

,

a?b ab

,

2 ? ? , 求 h 的范围. b?

数学试题(理科)答案
一.选择题 CBACA,AADBB,DB 二.填空题:13 .60; 14.3; 15. 2 ; 16. [2,3] 。

三.解答题 17.解: (I )设 ?BAM ? ? , ?MAC ? ? , 则由 tanC ? cot?得? ? C ? 90?
第 4 页 共 9 页

????1 分 ? ? ? B ? 90? ?ABM 中,由正弦定理得 BM AM sin B AM sin C AM ?3 分 ? ,即 ? . 同理得 ? , sin ? sin B sin ? MB sin ? MC sin B sin C ? , ? sin ? sin C ? sin ? sin B ? MB ? MC, ? sin ? sin ? ????5 分 ?? ? C ? 90?, ? ? B ? 90?, ? sin ? cos? ? sin ? cos ? 即 sin 2? ? sin 2? , ?? ? ?或? ? ? ? 90? 1 当 ? ? ? ? 900 时, AM ? BC ? MC , 与 ?AMC 的三边长是连续三个正整数矛盾, 2 ????7 分 ?? ? ? ,? ?B ? ?C ,? ?ABC 是等腰三角形。 (II)地直角三角形 AMC 中,设两直角边分别为 n, n ? 1, 斜边为n ? 1, 由 (n ? 1) 2 ? n 2 ? (n ? 1) 2 得 n=4, 由余弦定理或二倍角公式得 cos ?BAC ? 12 分 18.解: (1) ? 的所有可能取值为 0,1,2. ????????1 分 ????9 分

7 7 . 或 cos ?BAC ? ? . 25 25

?

设“第一次训练时取到 i 个新球(即 ? ? i ) ”为事件 Ai ( i ? 0,1,2) .因为集训前共 有 6 个篮球,其中 3 个是新球,3 个是旧球,所以

P( A0 ) ? P(? ? 0) ? P( A2 ) ? P(? ? 2) ?
所以 ? 的分布列为

C32 1 ? 2 C6 5 C32 1 ? . 2 C6 5

P( A1 ) ? P(? ? 1) ?

1 1 C3 C3 3 ? 2 C6 5



?

0

1

2

1 3 5 5 1 3 1 ? 的数学期望为 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 1 . 5 5 5
P

1 5
????????6 分

(2)设“从 6 个球中任意取出 2 个球,恰好取到一个新球”为事件 B . 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 A0 B ? A1 B ? A2 B . 而 事 件

A0 B



A1B



A2 B













P( A0 B ? A1 B ? A2 B) ? P( A0 B) ? P( A1 B) ? P( A2 B) .
由条件概率公式,得

1 C1C1 1 3 3 P( A0 B) ? P( A0 ) P( B | A0 ) ? ? 3 23 ? ? ? 5 C6 5 5 25
第 5 页 共 9 页



3 C1C1 3 8 8 , P( A1 B) ? P( A1 ) P( B | A1 ) ? ? 2 24 ? ? ? 5 C6 5 15 25 1 C1C1 1 1 1 P( A2 B) ? P( A2 ) P( B | A2 ) ? ? 1 2 5 ? ? ? . 所以,第二次训练时恰好取到 5 C6 5 3 15 3 8 1 38 一个新球的概率为 P( A0 B ? A1 B ? A2 B) ? ????12 分[ ? ? = . 25 25 15 75 19.解: (Ⅰ)过 A1 作 A1 H ? 平面 ABC ,垂足为 H .连结 AH ,并延长交 BC 于 G , 于是 ?A1 AH 为 A1 A 与底面 ABC 所成的角. ∵ ?A1 AB ? ?A1 AC ,∴ AG 为 ?BAC
的平分线. 又∵ AB ? AC ,∴ AG ? BC ,且 G 为 BC 的中点. 因此,由三垂线定理 A1 A ? BC .∵ A1 A // B1 B ,且 EG // B1 B ,∴ EG ? BC . 于是 ?AGE 为二面角 A ? BC ? E 的平面角,---------------2 分 即 ?AGE ? 120? . 由于四边形 A1 AGE 为平行四边形,得 ?A1 AG ? 60? .---4 分

(Ⅱ)证明:设 EG 与 B1C 的交点为 P ,则点 P 为 EG 的中点.连结 PF . 在平行四边形 AGEA 1 中,因 F 为 A 1 A 的中点,故 A 1 E // FP . 而 FP ? 平面 B1 FC , A1 E ? 平面 B1 FC , 所以 A1 E // 平面 B1 FC . --------------8 分 ( Ⅲ ) 连 结 A1C . 在 ?A1 AC 和 ?A1 AB 中 , 由 于 AC ? AB , ?A1 AB ? ?A1 AC ,

A1 A ? A1 A ,则 ?A1 AC ≌ ?A1 AB ,故 A1C ? A1 B .由已知得 A1 A ? A1 B ? A1C ? a . 又∵ A1 H ? 平面 ABC ,∴ H 为 ?ABC 的外心. 设所求球的球心为 O ,则 O ? A1 H ,且球心 O 与 A1 A 中点的连线 OF ? A1 A . 1 a A1 F 3a 3 2 ? ? 在 Rt?A1 FO 中, A1O ? .故所求球的半径 R ? a, ? cos AA1 H cos30 3 3
球的体积 V ?

4 3 4 3 3 ?R ? ?a .--------------------12 分 3 27

20.解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , D( x1 , ? y1 ) , l 的方程为 x ? my ? 1(m ? 0) . (Ⅰ)将 x ? my ? 1 代人 y 2 ? 4 x 并整理得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,从而 y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? 4.

y ? y1 ? ( x ? x2 ) ,即 直线 BD 的方程为 y ? y2 ? 2 x2 ? x1
令 y ? 0, 得x ?

2 y2 4 y ? y2 ? ? (x ? ) y2 ? y1 4

y1 y2 ? 1. 4

所以点 F (1, 0) 在直线 BD 上。???4 分

2 (Ⅱ)由①知 x1 ? x2 ? (my1 ?1) ? (my2 ?1) ? 4m ? 2 x1 x2 ? (my1 ?1)(my2 ?1) ? 1. ,

因为

uur uur FA ? ( x1 ? 1, y1 ), FB ? ( x2 ? 1, y2 ) ,

uur uur FA ? FB ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 4 ? 8 ? 4m2
第 6 页 共 9 页

故 8 ? 4m 2 ?

8 4 , 解得 m ? ? 9 3

???6 分

所以 l 的方程为 3x ? 4 y ? 3 ? 0,3x ? 4 y ? 3 ? 0 又由①知

y2 ? y1 ? ? (4m) 2 ? 4 ? 4 ? ?

4 7 3

故直线 BD 的斜率

4 3 , ?? y2 ? y1 7

因而直线 BD 的方程为 3x ? 7 y ? 3 ? 0,3x ? 7 y ? 3 ? 0. 因为 KF 为 ? BKD 的平分线,故可设圆心 M (t ,0)(?1 ? t ? 1) , M (t ,0) 到 l 及 BD 的距

离分为

3 t ? 1 3 t ?1 3 t ? 1 3 t ?1 1 . 由 得 t ? ,或 t ? 9 (舍去) , ? , 9 5 4 5 4
M
的 半 径 r?

故 圆

3 t ?1 2 . ? 5 3

所 以 圆

M

的 方 程 为

21 .解:(1 )解:因为 f ? x ? ? ax ? x ln x ,所以 f ? ? x ? ? a ? ln x ? 1 .???????1 分 因为函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图像在点 x ? e 处的切线斜率为 3, 所以 f ? ? e? ? 3 ,即 a ? ln e ? 1 ? 3 .所以 a ? 1 .???????????2 分 (2)解:由(1 )知, f ? x ? ? x ? x ln x , 所以 k?

1 4 ( x ? )2 ? y 2 ? . 9 9

????? 12 分

f ? x? x ? x ln x 对 任 意 x ?1 恒 成 立 , 即 k ? 对 任 意 x ?1 恒 成 x ?1 x ?1

立.???????3 分 令 g ? x? ?

x ? x ln x x ? ln x ? 2 ,则 g ? ? x ? ? ,?????????????4 分 2 x ?1 ? x ? 1?
1 x ?1 ? ?0, x x

令 h ? x ? ? x ? ln x ? 2 ? x ? 1? ,则 h? ? x ? ? 1 ?

所以函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增.??????????? 5 分 因为 h ?3? ? 1 ? ln3 ? 0, h ? 4? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 所以方程 h ? x ? ? 0 在 ?1, ?? ? 上存在唯一实根 x0 ,且满足 x0 ? ? 3, 4? . 当 1 ? x ? x0时,h( x) ? 0 , 即

g ?( x) ? 0 ,????6 分 x ? x ln x 所以函数 g ? x ? ? 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增. x ?1 x0 ?1 ? ln x0 ? x0 ?1 ? x0 ? 2 ? ? ? x0 ? ? 3, 4 ? .????7 分 所以[ ? ? g ? x ?? ? min ? g ? x0 ? ? x ?1 x ?1
所以 k ? ? ? g ? x ?? ? min ? x0 ? ? 3, 4 ? .故整数 k 的最大值是 3.??????8 分
第 7 页 共 9 页
0 0

g ?( x) ? 0 , 当 x ? x0时,h( x) ? 0 , 即

(3)证明 1:由(2)知, g ? x ? ?

x ? x ln x 是 ? 4, ??? 上的增函数,?????9 分 x ?1 n ? n ln n m ? m ln m 所以当 n ? m ? 4 时, .???????10 分 ? n ?1 m ?1
即 n ? m ?1??1 ? ln n? ? m ? n ?1??1 ? ln m? .整理,得

mn ln n ? m ln m ? mn ln m ? n ln n ? ? n ? m? . 因为 n ? m ,所以 mn ln n ? m ln m ? mn ln m ? n ln n .

即 ln nmn ? ln mm ? ln mmn ? ln nn .即 ln n mn m m ? ln m mn n n . 所以 mn n

?

?

?

?

?

? ? ? nm ? .??????12 分
m m n

证明 2:构造函数 f ? x ? ? mx ln x ? m ln m ? mx ln m ? x ln x ,??????9 分 则 f ? ? x ? ? ? m ?1? ln x ? m ?1 ? m ln m .?????10 分 因为 x ? m ? 4 ,所以 f ? ? x ? ? ? m ?1? ln m ? m ?1 ? m ln m ? m ?1 ? ln m ? 0 . 所以函数 f ? x ? 在 m, ??? 上单调递增. 因为 n ? m , 所以 f ? n ? ? f ? m? . 所以 mn ln n ? m ln m ? mn ln m ? n ln n ? m2 ln m ? m ln m ? m2 ln m ? m ln m ? 0 . 即 mn ln n ? m ln m ? mn ln m ? n ln n .即 ln nmn ? ln mm ? ln mmn ? ln nn . 即 ln n mn m m ? ln m mn n n .所以 mn n 证明 3:要证 mn n

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? nm ? ? ln ? n
m m n

mn

? ? ? nm ? .?????12 分 n ln n m ln m ? m ? ? ln ? m n ? ? n ?1 m ?1
m m n
m mn n

构造函数 f ( x) ? 则 f ?( x) ?

x ln x x ?1

(ln x ? 1)(x ? 1) ? x ln x x ? ln x ? 1 ? ? 0 在 (1,??) 上恒成立 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2
x ln x 在 (1,??) 上 递 增 , 所 以 x ?1

? f ( x) ?
n m

n ? m ? 4 时 f (n) ? f (m) 即

? mn ? ? ? nm ?

m n

22.证明:解: (I)∵AC 是⊙O1 的切线,∴∠BAC=∠D, 又∵∠BAC=∠ E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC. (II)设 BP=x,PE=y,∵ PA=6,PC=2, ∴xy=12 ∵AD∥EC,∴ ① ················

5?

PD AP 9+x 6 = ,∴ = PE PC y 2


O1

A O2 P C E

? ?x=3 由①、②解得? ?y=4 ?

(∵x>0,y>0)
D

B

∴DE=9+x+ y=16,

图6 ∵AD 是⊙O2 的切线,∴AD2 =DB·DE=9×16,∴AD= 12. ··········· 23.解: (1)曲线 C1 的普通方程为 x ? y ? 4 ,曲线 C 2 的普通方程为:x-y=2.
2 2

10?

第 8 页 共 9 页

圆心到直线的距离为 d ?

2 2

2 2 ? 2 , AB ? 2 r ? d ? 2 4 ? 2 ? 2 2

(2)由(1)知 k ? 1 ,过(1,0) ,所以直线 l 的普通方程为:x-y=1 所以极坐标方程为: ? sin(

?
4

?? ) ?

2 2

另解: (1)设 A( ? ,?1), B( ? ,?2 ),?1,?2 ? 0,2? ? ,则 sin(?1 ?

?

?

?1 ,? 2 ? ? 0, 2? ? ,? ?1 ? ? 2 ?

?
2





2 ? 2 , ,sin(? 2 ? ) ? 4 2 4 2 ? , 又 ?AOB ? 2 )?

。 。5 分 OA ? OB ? 2,? AB ? 2 2 。 (2)设点 P( ? ,? ) 为直线 l 上任一点,因为直线 AB 与极轴成 则 ?PCO ?

3? 或 ?PCO 4

?

?
4

? 的角, 4

,当 ?PCO ?

3? 时 4

3? ? , ?OPC ? ? ? , 4 4 1 ? ? 2 由正弦定理可知: , ? ,即? sin( ? ? ) ? ? ? 4 2 sin( ? ? ) sin 4 4 ? 2 即直线 l 的极坐标方程为: ? sin( ? ? ) ? .同理,当 ?PCO ? ? 极坐标方程 4 2 4
在 ?POC 中, OP ? ? , OC ? 1, ?POC ? ? , ?PCO ?

2 ? 2 , 当 P 在点 C 时显然满足 ? sin( ? ? ) ? 4 2 4 2 24.(Ⅰ) M ? ?x | 0 ? x ? 1 ?, a, b ? M , ? 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1 ab ? 1 ? a ? b ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0
也为 ? sin(

?

?? ) ?

10 分

? ab ? 1 ? a ? b 4(a ? b) 4(a 2 ? b 2 ) 4 ? 2ab 2 a?b 2 3 h ? ? ? ?8 (Ⅱ) h ? ,h ? ,h ? ab ab ab a ab b h ? ?2,??? ???????????????? 10 分

??????????????? 4 分

第 9 页 共 9 页


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